异面直线练习1含答案
异面直线练习1
一、选择题
1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A．异面 C．平行 解析：
B．相交 D．异面或相交
( )
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB与B′C′为两条异面直线，则BB′与AC′两条直线都与AB、B′C′相交，BB′与AC′异面，而BB′、BC′都与AB、B′C′相交，BB′、BC′却相交．
答案：D
2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线
B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线
( )
解析：c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾． 答案：C
3．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，则平面ABC与β的交线是
A．直线AC C．直线BC
B．直线AB D．直线CM
( )
解析：通过直线AB与点C的平面，为面ABC，M∈AB.∴M∈面ABC，而C∈面ABC，又∵M∈β，C∈β.∴面ABC和β的交线必通过点C和点M.
答案：D
4．(2012年重庆)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是
A．(0，2) C．(1，2) 解析：
B．(0，3) D．(1，3)
( )
构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝2， AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E， 则AE＝BE＝故选A. 答案：A
5．(2012年大同调研)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A．30° C．60°
B．45° D．90°
( )
222
，∴＋>a,0 所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝2，DF＝6，由余弦定理得，∠DEF＝120°. 答案：C 6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 A．1条 C．3条 解析：如图所示． B．2条 D．4条 AC1，AC2，AC3，AC4即为所求． 答案：D 二、填空题 7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________． 解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角． 设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝ AF2＋AE2＝6a， 2a2＋2a2－6a21 根据余弦定理，得cos∠FDE＝＝－，所以∠FDE＝120°. 22×2a×2a所以PC与AB所成角的大小是60°. 答案：60° 8．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)． 解析：①、②、④对应的情况如下： 用反证法证明③不可能． 答案：①②④ 9．(2012年南京一模)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 解析：图①中，直线GH∥MN； 图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图③中，连接MG，GM∥HN； 因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN， ∴GH与MN异面． 所以图②、④中GH与MN异面． 答案：②④ 三、解答题 10. 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. (1)求AH∶HD； (2)求证：EH、FG、BD三线共点． AECF 解：(1)∵EB＝FB＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， AHCG ∴AC∥GH.∴HD＝GD＝3， 即AH∶HD＝3∶1. EF1GH1 (2)证明：∵EF∥GH，且AC＝，AC＝， 34∴EF≠GH. ∴四边形EFGH为梯形． 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，所以P∈面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，所以P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点． 11．如图所示，在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝ 133 ，AC＝，求AC和BD所成的角的大小． 22 解：如图所示，分别取AD，CD，AB，DB的中点E，F，G，H， 连接EF，FH，HG，GE，GF， 则由三角形中位线定理知EF∥AC 13 且EF＝AC＝， 24 113 GE∥BD且GE＝BD＝， 2411 GH∥AD，GH＝AD＝， 2213 HF∥BC，HF＝BC＝， 22 从而可知GE与EF所成的锐角(或直角)即为BD和AC所成的角，GH和HF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角． ∵AD⊥BC，∴∠GHF＝90° ∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90°，即AC与BD所成的角为90°. 12．正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 解：(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°. 即A1D与AC所成的角为60°. (2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD－A1B1C1D中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90°. [热点预测] 13．(1)在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是 A．①③④⑤ C．①②③⑤ B．①②④⑤ D．①②③④ ( ) (2)如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 解析：(1)由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABC符合条件． (2)还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH 与MN成60°角，DE⊥MN. 答案：(1)A (2)②③④ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容