数学论文论三国杀中的数学问题

人品？科学？

——论三国杀中的数学问题

北京市北外附属外国语学校 黄飞越

本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的指导下进行研究的成果，除文中已注明引用的内容外，本文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体均已在文中已明确方式表明。

论文作者签名：黄飞越 指导教师：贾清建

2014年3月26日

人品？科学？

——论三国杀中的数学问题

当今社会，桌游是十分流行的。像同学聚会，老友相会，坐下无聊时，总会来上一局。扑克牌应该可以说是非常传统的桌游了，玩法也是数不胜数。由扑克牌衍生出的游戏也很多，比如三国杀就是其中一种。三国杀的卡牌上都是带有花色和点数的，武将技能也有一部分是从花色点数上衍生过来的。

说到游戏，基本上所有游戏都有运气成分在内，纸牌游戏更是如此。抽到牌的好坏直接关系到游戏的输赢。有些玩家输了后就推说自己“人品太差”，真的如此吗？我们来看下面这个问题：

1.甄姬洛神

关于甄姬洛神，这一直是一个很有争议的问题。有时“人品爆发”能连续洛到张，有时却背到一张都洛不到。甄姬洛神的具体内容，卡牌上原话是这么说的：

洛神 回合开始阶段，你可以进行判定：若为梅花或黑桃，你立即获得此牌，并可以再次使用洛神——如此反复，直到出现红桃或方片为止。

所谓判定，就是翻开牌堆顶的第一张牌。可能说的有些不明白，那么我们将其中的数学模型剥离出来就是这样的：

数学模型1：一个事件A发生的概率为0.5，若该事件发生，则可继续执行该事件。求该事件发生次数的数学期望。

也可以做成如图1所示的框图，目标就是求输出的i的期望值。

1；当i=1时，P0=0，21111P1=1，概率为。同理可得，当i=n时，概率为n1。但是

2224接下来进行具体分析。当i=0时，概率为P0=1，

考虑到实际情况，牌堆中不可能有无穷多张黑牌。按照一副三国杀来算，一共是160张，80张黑牌。所以说获得80张牌的概率应为这是因为第81张牌一定是红色的，即

1，280P81=1。

2 „„ 1 8据此我们写出张数i和概率P（i）的分布列： i P(i) 0 121 1479 128080 1280 „„ 然后就可以计算数学期望E（i）=11111279808080 4822这里涉及到了一个差比数列。经计算：

1111E1279808080（1）482211112E1279798079（2） 2422（2）（1）得：11111E798024822根据等比数列求和公式得：E=1-

1即为所求 80211<1。看起来每次发生概率都为，8022所以我们通过计算，得到甄姬洛神的数学期望为1-

最后得到的数学期望连1都不到！一般在游戏中，甄姬总是连续数次一张都洛不到，这个现象现在也不难解释了，因为他的数学期望不到1啊！每当有新手看到这个技能时都会感叹，这太厉害了，不是无限拿牌么？其实实际上并不强，也就算个小英姿吧。

通过这个问题我们得出的结论是：有些事情是不能怪运气差的，毕竟科学数据摆在面前，也不全是运气问题。带着这个结论，我们来重审一些其他三国杀中靠运气的技能：

2.马谡心战

说到运气就不得不提到马参军了。马谡作为一个三血将，第二个技能比较废，真正起作用的就是这心战了。所谓心战，就是这样的：

心战 出牌阶段，若你的手牌数大于你的体力上限，你可以观看牌堆顶上的三张牌，然后展示其中任意数量的红桃牌并获得之，其余以任意顺序置于牌堆顶，每回合限一次。

这段话从数学角度来看，前面后面都是无关紧要的，最重要的就是中间那句，我们抽离数学模型：

数学模型2：将1,2,3,4随机填入三个格内，每个数字可以重复使用，记填1的格的数量为x，求x的数学期望。

也可以化成框图，如图2所示。

若要解决这个问题，一种思路是求出总可能数，在求出x=0,1,2,3时的可能数，然后求数学期望。这个思路首先必须求出总可能数。容易想到每个格都有4种填法，共有444种填法，而仔细想想我们会发现，如果我们研究的是有几个1的话，那么112,121,211三种情况所得的结果是一样的。看到这里有人会想到用

排除掉重复的内容，但结果是除不尽。这是因为1113A33只有一种排法，而不是A3种。为了弄清两种算法到底哪种对，我们不妨两种一起算：

记所有可能共有444种， 若记类似于112,121,211这样的相同数的不同 则易知： 排列为一种：设该排列为a1a2a3，且

（41）27 1的个数为0的可能数为

3a1a2a3；a1，a2，a3{1,2,3,4,}

1的个数为1的可能数为（41）C31的个数为2的可能数为（41）C32127 则a1a2a3的所有排列为：111、112、113、114； 9 122、123、124；133、134；144

11的个数为3的可能数为1种。 a1=1时，共有4+3+2+1种

列出x的分布列为： 易想到，当a1=2时，共有3+2+1种，以此类推

于是可得总可能数为：1+3+6+10=20种。 1的个数为0的可能数为4+3+2+1=10种 1的个数为1的可能数为3+2+1=6种 1的个数为2的可能数为2+1种 1的个数为3的可能数为1种 列出x的分布列为：

E2718336633即为所求 E即为所求 42020204通过上面两种计算我们可以看出，这两种方法的结果是完全一致的，虽然过程与得出的概率不同。容易发现左边的算法思路更简单，但是计算量比右边的大；右边的数字小，但不容易想到。这就好像几何的数解和形解，同样是一个思路简单，一个计算简单。条条大路通罗马，更偏爱哪一种，就看不同人的喜好了。

不说远了，回到原题：马谡心战。对于这个问题，有些人可能会说，不用算这么麻烦吧，直接用313就可以了。是的，这就是一个伯努利概型的问题，这样想的话其实就是上面左边44方法的扩展。这里用上面这两种计算方法，主要就是为了引出用全排当总可能数和用简化后的当总可能数这两种不同方法。在后面的问题上还会有所涉及。

通过上面的结果我们发现马谡心战拿牌的数学期望为0.75，似乎并不高，但心战这个技能主要强就强在可以看牌、换顺序，相当于一个小观星了。但总体来讲马谡在人少的时候还是很强的。

3.神吕蒙涉猎

至于神吕蒙涉猎，一般还是不会出现清一色的情况，收获还是比较可观的。涉猎这个技能说的也比较明白：

涉猎 摸牌阶段，你可以选择采取以下行动来取代摸牌：从牌堆顶亮出五张牌，拿走不同花色的牌各一张，弃掉其余的。

这个技能说的还是很明白的，我们还是把它数学模型化： 数学模型3：将1,2,3,4随机填入5个空格内中，每个数可以重复使用。记五格共有x种不同的数，求x的数学期望。

这个问题与上一个相似，我们还是有两种思路，如下： 由题知，5个格每个有4种填法，故共有41024种。 可以发现，这里总可能数比较大，如果再继续下去很可能出

5现多数漏数的现象。如：

当x=1时，可能数为4； 当x=2时，总可能数为

1132(C5C52C5C)·A4180种。 2当x=3时，我们会发现情况非常多，几乎无从下手，所以在这里就不再继续算下去了，我们来试试方法。

设五个数为a1a2a3a4a5且a1a2a3a4a5。列举

一些：11111；11112、11113、11114；11122、11123、11124、11133、11134、11144；11222、11223、11224、11233、11234、11244、11333、11334、11344、11444；12222、12223、12224、12233、12234、12244、12333、12334、12344、12444、13333、13334、13344、13444、14444„„

前五项为1，即将3个数放在0个空中有1种； 前四项为1，即将3个数放在1个空中有1+2=3种； 前三项为1，即将3个数放在2个空中有1+2+3=6种； 前二项为1，即将3个数放在3个空中有1+2+3+4=10种； 前一项为1，即将3个数放在4个空中有1+2+3+4+5=15种； 于是可以推出，将3个数放在5个空中有1+2+3+4+5+6=21种。

不难发现这些数都在杨辉三角的第三行上（第三列上），而它们的和，就是最下面那个数的下面两个数中靠里的那一个，即56，据此我们可以推出：

如果将m个数填入n个空格中，每个数可以重复使用，那么排除所有组成相同而顺序不同的重复排列，共有Cmn1种可能。

这个结论通过杨辉三角和排列组合的关系很容易就能得到，还有：

m1Ci0mimm1Cn1

得出这些结论后，我们回到原问题。总可能数C8356种

当x=1时，可能数为4；当x=2时，可以视为先将a和b填入5个格中，再将1,2,3,4填入a和b两个空格中，共有（C62)·(C5134)24种，这里面的-2与-4分别是排除掉5个格都填入

2213=24种；当x=4时，共C3(C62)3]C4a或b的情况和a=b的情况。当x=3时，共有[C7有4种可能。

列出x的分布列： x P(x） 1 2 3 4 4 5487216E2.5

5624 5624 5 56从这里可以看出，神吕蒙不愧是神将，平均下来拿牌数还是比其他人多。至于上面所用到的方法，在许多其他问题中也同样会用到，比如曹冲称象：

称象 每当你受到伤害后，你可以亮出牌堆顶的四张牌，然后获得其中点数之和小于13的至少一张牌，将其他牌置入弃牌堆。

这个问题比较复杂，主要是和小于13这一项，需要分类讨论，过程很繁琐。可以发现如果还沿用原来求全排的方法，总可能有1328561之多！这样计算量是相当大的，而如果用上面的结论，不难得到总可能数为C161241820种。这里就体现出我们上面给出的方法的优势。具体

我过程我就不写了，给出答案拿牌数的数学期望为E2.05，有兴趣的读者可以自己算一下。

最后再说一个人，是三国杀靠人品的武将中很重要的一位，他就是周泰。 4.周泰不屈

不屈 任何时候，当你的体力被扣减到0或更低时，每扣减1点体力，从牌堆翻开一张牌放在你的角色牌上，若该牌的点数与你角色牌上已有的任何一张都不同，你不会死去。

说的有点啰嗦，简单解释，其实就是扑克牌中开火车的问题。目标要求在第多少张牌时首先出现相同点数的牌。应注意到的是，能翻开第三张牌的前提是前两张牌不同，所以第三张牌两种概率的和应为

1312而不是1。 132

根据上面的表，不难算出：

j132113123213121131414j15iE[ii(i1)] 231413131313i2E5 最后让我们总结一下这些三国杀中的数学问题。甄姬洛神，马谡心战，神吕蒙涉猎，曹冲称象，还有周泰不屈，每一个运气成分的背后都是有科学根据的。当然，我们这里也是纯理论分析，如果结合游戏实际，结果肯定不一样，比如甄姬洛神的期望会略高一点，因为回合外其他玩家一般手中会留红牌，这样就加大了牌堆中黑牌的比例。

这些问题告诉我们的道理是：很多时候不要总是抱怨运气差，运气成分背后是有科学道理的。还有就是，在游戏之余也要分析游戏中的问题，从生活一点一滴中发现问题，并映射出一个道理，还是很有意义的。

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