第２５卷第５期 高等函授学报（自然科学版） Ｖ０１．２５ Ｎｏ．５ ２０１２年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２０１２ ・中小学教学・ 高中物理必修２中竖直平面内圆周 运动极值条件的证明 查永强 徐晓梅 （云南师范大学物理与电子信息学院，云南昆明６５０５００） 摘要：对高中物理必修ｚ中竖直平面内圆周运动极值条件进行了证明，意在帮助学生解除 对圆周运动轨道变化的疑惑。证明分两步：第一，证明小球到达最高点的下一时刻依然在圆周上； 第二，证明在平面直角坐标系第一象限中的任意时刻小球都在圆周上。还提示了在证明中结合学 生自身实际要注意的机械能守恒和三角函数取值范围这两个问题。 关键词：高中物理必修２；竖直平面内圆周运动；极值条件；证明 中图分类号：Ｇ６４０ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—７３５３（２０１２）０５—００８７—０２ 圆周运动在中学物理中是一个知识重点，尤 解求最高点的最小速度，在最高点只有重 其是竖直平面内的圆周运动更是重点中的难 力提供向心力，有 点［１］。有很多教师、学者都发表过关于这方面的 ｍｇ—ｍＶ ／Ｌ 教学文章，尤其是关于竖直平面内圆周运动的极 ， 得 ． 值（条件）问题的文章，对这类知识进行归纳概括． Ｖｏ一 （１） 不过在竖直平面内圆周运动的条件分析上，很多 再根据机械能守恒可以得到Ｖ，。一般情况 人都忽略了一个问题，那就是这个“条件”为什么 下，只要得出了①式也就算得到了整个题目的答 能够满足物体在竖直平面内做圆周运动。 以轻绳类为例：如图ｌ，在竖直平面内，轻绳 案： ≥￣／ｇＬ 的长度为Ｌ，其一端固定，另一端连接一个质量为 而问题在于，中学生对于的圆周运动的感性 ｍ的小球，求小球能在这个竖直平面内做完整圆 认识并不丰富，题目解答到这里普遍都会产生一 周运动的条件？ 个疑问：小球以Ｖ。到达最高点之后的运动轨迹 为什么还是圆周，为什么不是抛物线呢？ 一般来说，教师在遇到学生的这个问题时，给 出的答案肯定是圆周，而至于解释，无非是运动的 对称性或者机械能守恒，甚至是“感觉”。运动的 对称性显然无法让学生真正明白其中原因；而根 据机械能守恒，小球通过最高点后位置下降，动能 增大速度也增大，对应的向心力也增大，增大的那 ， 图１ 部分向心力正好由轻绳的拉力提供。但“机械能 分析：对于这种题目，无非就两个答案，在最 守恒”这个解释成立的前提是，小球在最高点之后 高点的最小速度Ｖ。，或者在最低点的最小速 的运动轨迹依然是圆周，因为如果小球随后做平 度Ｖ 。 抛运动的话，依然是遵循机械能守恒定律的。所 收稿日期：２０１２－０５－０６． 作者简介：查永强（１９８６一），男，硕士研究生，研究方向：课程与教学论（物理） ８７ 第２５卷第５期 高等函授学报（自然科学版） ＶｏＩ．２５ Ｎｏ．５ ２０１２年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２Ｏ１２ 以单纯的用机械能守恒的文字解释也并不科学． 第一象限中的某个时刻小球会脱离圆周，那么只 至于“感觉”这个解释，就更无法让学生信服。 有一种可能出现，即轻绳会松弛，那么在轻绳松弛 问题的关键其实就是，小球以Ｖ０一￣／ 经 的前一个时刻小球必然还处于圆周上做圆周运 过最高点后的轨迹是否依然是圆周？下面进行 动，并且轻绳对小球没有拉力，即Ｆ ＝０，即此时 证明。 只有重力的一个分力提供向心力。设此时小球的 １证明小球到达最高点的下一时刻依然在圆 １ 重力与轻绳的夹角为 （０＜ ＜去７ｃ），速度为 周上 如图２所示： Ｖ，那么根据向心力公式有这样的关系存在： ｙ Ｊ ． １ ０ 图２ 假设小球在到达最高点的时刻轻绳突然断 图３ 开，那么小球的随后的轨迹必然是平抛运动的抛 物线，这条抛物线有两种情况，即图２中Ａ和Ｃ 孵ｃｏｓ 一 （４） 两条抛物线。如果轻绳断开后小球的轨迹是Ａ， 选取最高点为零势能点，由机械能守恒可以 那么就算轻绳不断，小球随后的轨迹依然是Ａ；如 得到： 果轻绳断开后小球的轨迹是Ｃ，就说明小球在经 过最高点后有远离圆心运动（离心运动）的趋势， ÷ 一ｍｇ（１～ｃ０ｓ Ｏ）Ｌ＝告ｍＶｏ （５） 那么在绳子的束缚下，小球将依然在圆周上，也就 由（１）式和（５）式可以解出： 是说，小球到达最高点的下一时刻的位置依然在 ＝（３—２ｃｏｓ Ｏ）ｇＬ （６） 圆周上。要证明轻绳断开后小球的轨迹是Ａ还 将（６）式代人（４）式可以得到： 是Ｃ，只需要比较小球落到圆心Ｏ的水平高度时 ｍｇｃｏｓ ０一（３—２ｃｏｓ ）ｍｇ （７） 的水平位置ｘ和半径Ｌ的大小即可。 因为在第一象限内ｏ＜ ＜妻７ｒ，ＣＯＳ ＜１ 设绳子断开后，小球下落到Ｏ的水平高度所 花时间为ｔ，那么可以得到： 且３—２ｃｏｓ ＞１，所以（７）式的右边显然大于左 Ｘ—Ｖ０ｔ （２） 边，也就是说此时刻重力的分力根本不足以提供 １ 向心力，此时轻绳的拉力必须存在。也就是说在 Ｌ一÷ （３） 厶 整个第一象限内，轻绳的拉力都存在，而轻绳要产 再联合（１）式解得Ｘ＝￣，－Ｌ，显然，Ｘ＞Ｌ，也 生拉力就必须绷紧，那么小球就必然还处于圆周 就是说小球的水平位移是Ｘ ，在圆周之外，即轻 上．而在于ｘ轴交点位置 ＝要处，（７）式的左边 厶 绳断开后小球的轨迹应该是Ｃ；也就证明了小球 到达最高点的下一时刻由于轻绳的束缚会依然在 为０，即是此时运动的向心力跟重力无关全部由 绳子的拉力提供，通过计算还可算出此时的向心 圆周上。 力大小为３ ｍｇ。至于到了第四象限，由于小球原 ２证明在平面直角坐标系第一象限中的任意时 本向下的速度方向趋势以及轻绳不能伸缩的束 刻小球都在圆周上 缚，小球必然还处于圆周之上，到了最低点后，小球 如图３所示，以圆心Ｏ为原点作直角坐标 （下转第９１页） 系，将圆周分为四部分。通过前述可知，如假设在 ８８ 第２５卷第５期 高等函授学报（自然科学版） ＶｏＩ．２５ ＮＯ．５ ２０１２年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃ０ｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２Ｏ１２ 能力和合作结果的作出整体评价。 同时，由于学生自主选择作业，作业在内容、水平 ３．２关注结论向关注过程转变 上存在差异，所以对学生个体要注重作纵向的、横 传统的作业由于大多是习题或专题的操练， 向的内差评价，以鼓励学生更好的发展。 只用分数或等级对学生作业的正确率给予评价。 ３．５师生单向评价向多向评价的转变 而改革后的单科型作业，作业设计考虑学生个性， 新型的师生关系如此表述：教师是平等中的 充分尊重学生的独特见解，尽量允许有多元的答 首席。这一说法打破了“教师中心论”，又一次将 案，因此更关注作业的过程，关注作业中学生思维 学生提到了主体地位的高度。评价中，应不仅仅 的发展，能力的提升。改革后的综合性作业更是 注重教师对学生的评价，还安排了作业后进行自 没有现成答案，需要学生从教科书以外的多种渠 评、组评，即自己和伙伴对自己的作业打上等级。 道去获得答案。而不同渠道、不同的学习视角所 另外，应尤其增设了逆向评价和校外评价。逆向 带来的学习结果显然也是不同的。同时由于小学 评价即在作业后设计了“老师，我对你说”栏目，供 生在知识技能上局限，年龄层的局限，学生思考角 学生对教师的作业设计、教师的评价等作出及时 度的局限，他们的结论往往是不成熟的。因此评 的反应，同时又为师生的心灵交流创设了一个平 价更应重视学生在完成过程中的思维方法学习， 台；校外评价即让家长也参与到对孩子的作业，教 科学态度的树立，情感的培养和意志的锻炼。 师的设计批改中来，家长评价的时间不定，视家长 ３．３纠错型评价向欣赏型评价转变 的实际情况而定。由此，完全形成了民主开放的 “发现一个闪光点，就要表扬他十个闪光点。” 作业评价格局。 “生活中不是缺少美，而是缺少发现。”在以往纠错 型的评价中，学生永远看到的是自己的缺陷。应 参考文献 积极倡导欣赏型评价，肯定学生的优点然后委婉 ［１］ 彭钢，张晓东．课程理念的更新［Ｍ］．首都师范大学 地提出修改意见。欣赏不但让学生看到自己的缺 出版社，２０１１：１０２—１０５． 点，更多的是让学生看到自己的优势，这时的孩子 ［２］商继宗．教学方法现代化的研究［Ｍ］．华东师大出版 充满自信，对未来充满信心。 社，２０１１：８３—８７． ３．４单一评价向综合评价转变 ［３］吴峰．浅读小学英语作业设计［Ｊ］．新课程学习（小 学），２００９（２）． 陶行知先生提出的“教学做合一”，在现在仍 ［４］于晓．关于小学生作业改革的思考［Ｊ］．考试周刊， 然有积极作用，教学更重要的是教学生做人，因而 ２０１０年（３０）． 评价时学生作业中的非智力因素也应及时反馈。 （上接第８８页） 第五章的内容，学生这个时候并未学到机械能守 求开始循环进行原来的圆周运动。从第四象限到 恒这个知识点，所以在证明时要先进行机械能守 第三象限，再到第二象限，小球一直处于圆周上， 恒的简单介绍；至于三角函数的取值范围，学生们 学生对此的理解并不困难，从感性上就完全能 在初中就已经接触到了，这里对三角函数的应用， 理解。 学生并不难理解。 综上１和２的证明，也就得出了结论：最高点 的速度不小于Ｖ。一￣／ 时，小球便可以在这个 参考文献 竖直平面内做完整的圆周运动。 ［１］人民教育出版社，课程教材研究所等．物理必修２ 值得注意的是，“圆周运动”是必修２模块的 ［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１０：１３． ９１