复变函数与积分变换教学的几点建议

刘旭

【摘 要】为了做好工科院校少学时复变函数与积分变换的教学,进一步提高课堂教学质量,提出了提炼教学内容,采用自学为主的类比教学法,合理使用多媒体,采用多样化的考核形式等教学改革措施.实践证明,这些措施有利于提高学生的学习兴趣,提高教学效果.%In order to do a good job of engineering colleges under few hours for complex function and integral transform teaching and further improve the quality of teaching.Proposesd the teaching reform measures such as refining teaching contents,using teaching method of self-oriented analogy,reasonably using multimedia,and using a variety of examination forms.The teaching practice showed that these measures help to improvestudents′interest in learning and teachingeffect. 【期刊名称】《高师理科学刊》 【年(卷),期】2015(035)005 【总页数】3页(P56-58)

【关键词】复变函数与积分变换;少学时;类比教学方法;多媒体 【作 者】刘旭

【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州,730070 【正文语种】中 文 【中图分类】O29;G642.0

工科复变函数与积分变换是高等数学微积分课程的发展和延续[1-2]，它的许多理论与方法在自然科学和各种工程领域有着广泛的应用，特别对工科院校后续专业课程的学习来说是非常重要的．复变函数与积分变换的教学内容较多，实际上是两门课程，完成教学任务需要较多的学时[3]．随着我国高等教育教学的不断改革，基础课程的学时普遍受到压缩，复变函数与积分变换课程的学时也同样受到了大幅度的削减，减少到32学时．但是复变函数与积分变换知识在不断地更新，教学内容也增加很多新的知识点，这对于学生学好复变函数与积分变换影响很大．在少学时的条件下如何使学生既掌握理论与方法，又会运用它们解决实际问题，成为工科复变函数与积分变换课程教学面临一个难题．本文研究了少学时条件下工科院校复变函数与积分变换的教学改革问题，以提高课堂教学的效果．

在少学时的条件下，原有的教材结构和教学内容略显陈旧，远不能满足现在的学生要求，教师应对众多章节结构及内容加以提炼、精简和重组．如复变函数部分中复数的概念、复数的表示方法、复数的四则运算与中学教学内容重复，复变函数的极限、连续、导数和级数部分与高等数学中微积分相近等；积分变换部分中Fourier变换与Lapalace变换理论体系、思想方法相近等．如果按照原有的教材讲，将花费大量的课堂教学时间，而必要的和专业所需的新知识没有加进去，与工科专业相联系的应用实例引入很少，学生听课没有兴趣．对此，教师可根据工科院校学生的专业实际，对各部分教学内容进行适当地删减、添加和组合．如让学生自学复数的概念、复数的表示方法和复数的四则运算，对于复变函数的极限、连续、导数、级数等与高等数学中微积分相近部分的内容简单陈述，重点讲解不同之处；通过Fourier级数引出Fourier变换，重点介绍Lapalace变换的定义、性质及应用，再简单介绍一些新的变换．对不同的专业，分别增加和删减一些应用实例． 类比教学法[4]对于引发学生的学习动机，帮助学生理解抽象的事物和概念，发展学生的求异性思维以及培养学生学习的主动性具有重要意义．复变函数与积分变换

课程自成体系，有一定的的独立性和完整性， 但由于复变函数部分基本上是高等数学的推广和延展，它的基本概念和定理都与高等数学中的微积分理论类似，且有较大的发展．因此，在教学中可以运用复与实、数与形等的类比，通过这些类比使学生了解新旧知识的关系，培养他们的学习兴趣． 2.1 复与实的类比

复变函数的定义、极限、连续、导数、积分和级数理论与高等数学有着密切的联系，它们的定义和表示从形式上看与高等数学的相关部分几乎没区别，对这些内容，安排学生课外自学．课堂上重点讲解与高等数学相关部分的不同之处．在讲解这些定义和定理时可以借助高等数学的相关内容加以类比，使学生更容易接受，便于掌握新内容、新知识．如在讲授函数在点处的极限时，其定义为：设函数在集上确定，为的聚点，常数，如果对于任意，存在，当时，有，那么称常数为在时的极限，记为．这与高等数学中的一元函数在某一点处极限的定义在表达形式上完全相同，但二者在内涵上有本质的差别．复变函数自变量是在复平面上趋近于某一点时，函数值总落在值域所在的复平面上以常数为圆心，为半径的圆内．但是一元函数极限是自变量在数轴上趋近于某一点时，函数值总落在值域所在的数轴上以常数为圆心，为半径的开区间内．通过复与实的类比，让学生找出其中的本质差别，并加以归纳和总结．同样地，对复变函数中的连续、导数和一致连续等概念，自然地和高等数学中对应的概念进行比较，找出类似的地方与本质的差别．使学生在学习新知识同时，也复习了旧知识，达到了温故而知新的效果． 2.2 数与形的类比

对于复变函数中许多概念，在传授中要注意数与形的对比．如讲解复变函数的定义时，可以函数为例，把平面上的大圆映射成平面上的小圆；把平面上的直线映射成平面上的直线；把平面上的直线映射成平面上的圆；把平面上的圆映射成平面上的直线，让学生亲自画出平面和平面，感受不同曲线在复变函数作用下的变换．还可

以变换不同的复变函数和自变量平面的曲线，调动学生的主观能动性，使其对复变函数的学习产生浓厚的兴趣．

当然还可以采用一般与特殊的类比、整体与局部的类比等．在少学时的教学中，通过合理的类比法，充分地发挥了教师的主导作用和学生的主体作用，增大了课堂容量，提高了课堂效率，较好地培养了学生的创造性思维能力．

在复变函数与积分变换的教学中，多媒体教学具有信息量大，不用板书，节省时间等明显优势，有助于解决学时少的问题[5]．教师应根据复变函数与积分变换课程的特点，学生专业的实际情况及以往的教学经验，仔细分析哪些内容采用多媒体，哪些内容板书讲授．如定理借助于多媒体直接展示，但定理证明及例题的讲解通过传统的板书，让学生感受复变函数与积分变换这门课程的理论演变和处理问题的思维方式．实践证明，将多媒体与传统的板书教学相结合，发挥其各自的优势，可以有效地提高教学质量．

另外，通过建设网络课程教学平台，使学生可以大量地浏览复变函数与积分变换的学习资料，交流学习心得，自由提问、答疑，促进学生学习的兴趣，是少学时条件下课堂教学的有益补充．

传统的考试形式基本上是闭卷，注重考查理论知识，忽视了学生实际应用能力的考查．因此要改变传统的考试形式，找到既督促学生学习，又能够让学生将学到的知识转化为自己真正的知识的考核办法．

可以采用如下的考核方式：期末考试占60%～70%，平时成绩占30%～40%[6]．对于选修课的学生期末开卷考试，包括选择填空题和一篇小论文，各占50分．其中选择填空题主要考查基本概念、基本定理和基本公式；学生根据所学知识，找出自己感兴趣的内容，自由确定论文题目，这样不仅使学生能够了解自己学了些什么，也使其在查找资料的过程中加深对所学知识的理解与巩固，同时还会让学生了解与之相关的前沿内容．对于必修课的学生采取期末闭卷考试，由于积分

变换的许多公式难记，试卷后面附上Laplace变换对和Fourier变换对，主要考查学生应用积分变换解决具体问题的能力，这样就减少了积分变换授课的难度，同时也省了记忆公式的时间[7]．

[1] 钟玉泉．复变函数[M]．北京：人民教育出版社，1980

[2] 西安交通大学高等数学研究室．复变函数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006

[3] 张元林．积分变换[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006

[4] 全国高校工科数学课程教学指导委员会．《复变函数》教学基本要求[J]．大学数学，1986（2）：123

[5] 李秋生，王丽．工科复变函数与积分变换课程教学改革初探[J]．宜春学院学报，2008（2）：71-72

[6] 龚定东，郭玉琴．关于复变函数与积分变换课堂教学的思考[J]．高等数学研究，2009（4）：93-95

[7] 谢娟，邱剑锋．复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J]．合肥师范学院学报，2009，27（3）：26-28