鸡兔同笼-教师版

第一部分：知识介绍

鸡兔同笼这个问题，是我国古代着名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 解鸡兔同笼的基本步骤 1.砍足法（金鸡独立）：

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512（只）．显然，鸡的只数就是351223（只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。 2.假设法：

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。

解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 3.鸡兔关系：

当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的2倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2倍。 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。

第二部分：例题精讲

【例 1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】假设46只都是兔，一共应有446184（只）脚，这和已知的128只脚相比多了18412856（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422（只）脚，那么56只脚是我们把56228（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）。

【答案】鸡28只，兔18只

【例 2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有 多少？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：36218（只），假设

鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有41872（只）脚，多了725220（只）脚，由假设引起的差值：422（只），则鸵鸟数为20210（只），大象数为18108（头）。

【答案】鸵鸟10只，大象8头

【例 3】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿 和鸵鸟各有多少只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208202168

(只)。这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246(只)，所以梅花鹿的只数是：

168628(只)，从而鸵鸟的只数是：282048(只) ．

【答案】鸵鸟48只，梅花鹿28只

【例 4】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡

有23672（只）脚，可知现在剩下79272720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有7206120（只），鸡有12036156（只）．

【答案】兔120只，鸡156只

【例 5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428（只），而鸡的脚数为零。这

样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡42856372（只）

脚的总数差就会减少426（只）。

鸡的只数：372662（只），兔的只数：1076245（只）。

【答案】兔45只，鸡62只

【例 6】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中 可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有 只，至少有 只。 【考点】鸡兔同笼

【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为25

只，只看脚的话，脚最少为4，螃蟹最多为120430（只），所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，

光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为12113（只），

只看脚的话，脚最多为8，螃蟹最少为120815（只），所以螃蟹最少为13只。

【答案】螃蟹最多有25只，至少有13只

【例 7】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些 车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】假设都是三轮摩托车，应有341123(个)轮子，少了1271234(个)轮子。

每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少431(个)轮子．汽车有414(辆)； 从而求出三轮摩托车有41437(辆)，或者假设都是汽车，应有441164(个) 轮子，多了16412737(个)轮子；所以摩托车有37(43)37(辆)．

【答案】摩托车有37辆。

【例 8】（10年上外口试题）一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题 倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了78分，那么他做对 题，做 错 题，没做 题。 【考点】鸡兔同笼

【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。

小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分。78419，所以可以知道小明至 少做对20道题目，否则一定低于41976(分)；再假设他做对21题，发现即使

另外四题都错，小明仍然有4211480(分)，超过了78分，所以小明至多做 对20道题目；综上，可以断定小明做对了20道题。至此本题转化为简单鸡兔同笼 问题。假设剩下5题全部没做，那么小明应得42080(分)。但是只得了78分， 说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做。所以小明做对了20道题，做错 了2道题，没做3道题。

【答案】小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题。

【例 9】大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃。猴王不在时，一只大猴一个小时可采 摘15千克，一只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论 大小每小时都可以多采摘12千克。一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小 时猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃。在猴群中，共有小猴子多少只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴

王消失。一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12千克，那样猴群只能采摘4400352123560(千克)；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采35608445(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘1535525(千克)，比实际多采了52544580(千克)。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15114(千克)。因此可以求出小猴子有：80420(只)。

【答案】小猴子有20只

【例 10】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只 白球、15只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么 箱子里原有红球多少只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的

红球数应该刚好是白球数的3倍多2。由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即

33211(只)。但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与

假设相比少6只，所以可以知道一共取了4267(次)。所以可以知道原来有红球

71553158(只)。

【答案】红球有158只

【例 11】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻 蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8

条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为618108(条)，所差11810810(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有(118108)(86)5(只)蜘蛛。这样剩下的18513(只)便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数11313(对)，比实际数少 20137(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求

7(21)7(只)。

【答案】蜻蜓有7只

【例 12】从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小 时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到 乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到 乙地,各种路段分别是多少千米？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】把来回路程45×2=90(千米)算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡。

把上坡和下坡合并成\"一种\"路程,平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的\"鸡兔同笼\"问题。因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时)。 单程平路行走时间是6÷2=3(小时)。从甲地至乙地,上坡和下坡用了 10-3=7(小时)行走路程是45-5×3=30(千米)。又是一个\"鸡兔同笼\"问题。从 甲地至乙地,上坡行走的时间是(6×7-30)÷(6-3)=4(小时)。 行走路程是3×4=12(千米)。下坡行走的时间是7-4=3(小时)。 行走路程是6×3=18(千米)。

【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米

第三部分：课堂检测

【检测 1】体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、 裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(2421439)(2419)13（件），

上衣：21138（件）。

【答案】上衣8件，裤子13件

【检测 2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中 共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住430120（人），而实际上住了168人。大宿舍比小宿舍每间多住642（人），所以大宿舍有。 （168120）224（间）【答案】大宿舍有24间

【检测 3】春风小学3名同学参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题 扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华 得了9分，他们三人一共答对了_____ 道题。 【考点】鸡兔同笼

【解析】三人共得87749170(分)，比满分10103300(分)少300170130(分) 因此三个人共做错：130(103)10(道)题，一共答对了301020(道)题。 【答案】一共答对了20道题。

【检测 4】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400张，甲类票50元／张，乙类票 40元/张，丙类票30元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同． 则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少张? 【考点】鸡兔同笼

【解析】乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为35元／张的同一类门票。 容易得到甲类门票售出40050400155005035100（张）， 乙类、丙类各售出(400 -100)÷2=150（张）。 【答案】甲类售出100张，乙类售出150张，丙类售出150张

第四部分：家庭作业

【作业 1】鸡兔共有45只，关在同一个笼子中，笼中共有100条腿。试计算，笼中有鸡多少 只？兔子多少只？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180(条)腿，

比实际多算18010080(条)腿。而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿， 所以有80240(只)鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45405(只)兔子。

【答案】鸡40只，兔子18只

【作业 2】100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41 组。问：高、低年级学生各多少人? 【考点】鸡兔同笼

【解析】如全为高年级学生，则只需41×2＝82（人），实际100人，100－82＝18（人），所以有18

组低年级学生，41－18＝23（组）高年级学生，

高年级学生为23×2＝46（人），低年级学生为18×3＝54（人）。

【答案】高年级46人，低年级54人

【作业 3】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪 得了79分，他做对了多少道题？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】做错(52079 ) (52)3 (道)，因此，做对的20317 (道)． 【答案】做对了17道

【作业 4】100个和尚160个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和 尚各有多少人？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设

法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300160140(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312(个)，因为140270，故小和尚70人，大和尚1007030 (人)。

【答案】大和尚30人，小和尚70人

【作业 5】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比 小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个? 【考点】鸡兔同笼

【解析】假设50个油桶都是大桶，则共装油(450)200千克，而这小桶所装油则为0。这样大桶比

小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(20020)180（千克），若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(42)6（千克），所以小桶有：

180630(个)，大桶有：503020(个)。

【答案】大桶有20个，小桶有30个

【作业 6】一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若 干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),

甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份)。现在把甲打字的时间看成 \"兔\"头数,乙打字的时间看成\"鸡\"头数,总头数是7。\"兔\"的脚数是5,\"鸡\"的脚数是 3,总脚数是30,就把问题转化成\"鸡兔同笼\"问题了。

根据前面的公式\"兔\"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, \"鸡\"数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

【答案】甲打字用了4.5小时

【作业 7】有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2， 黄色卡片的两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3。现在把这 些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所 显示的数字之和为234。若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之 和则变成123。问黄色卡片有多少张？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2。如果全部是红色卡片，那么数

字之和为：2100200，比实际的少：23420034。每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会增加：321。那么，黄色和绿色卡片之和：34134（张），红色卡片有：。翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2。红色卡片有661003466（张）

张，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：12316657。如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字之和为：13434，比实际的少：573423。每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：211，所以，绿色卡片有：23123（张），黄色卡片有：。 342311（张）

【答案】黄色卡片有11张

【作业 8】车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是2∶ 5。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？ 【考点】鸡兔同笼

【解析】车库中，平均每2辆车有5个轮子，也就是说，平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可

以知道，1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为3∶1

【答案】摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为3∶1