西大2014《概率论》作业答案(6次作业,已整理)

西南大学2014年秋季学期《概率论》作业答案（6次作业,已整理）

第一次作业 1：[判断题]

\"A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。 参：正确 2：[判断题]

从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示\"抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示\"抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。 参：错误 3：[判断题]

已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6 参：正确 4：[判断题]

设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则三事件A、B、C必然相互。 参：错误

5：[判断题]每一个连续型随机变量均有方差存在。 参：错误 6：[判断题]

设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X与Y相互. 参：错误 7：[判断题]

X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b. 参：正确 8：[判断题]

X～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3). 参：正确 9：[判断题]

任意随机变量均存在数学期望。 参：错误 10：[判断题]

一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量ξ表示取到正品时的抽取次数，则ξ 服从几何分布。

参：正确

11：[单选题]设X是随机变量，且EX=DX,则X服从（）分布。 A：二项 B：泊松 C：正态 D：指数 参：B

12：[单选题]（）是离散型随机变量的分布。 A：正态分布 B：指数分布

C：均匀分布 D：二项分布 参：D 13：[填空题]

一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）\"第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 ；（2）\"第一卷出现在旁边”的概率为 。 参： (1)0.1 (2)0.4 14：[填空题]

在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则（1）\"只订A报及B报的”概率为 ；（2）\"只订A报的”概率为 . 参：(1)0.07,(2)0.3 15：[论述题] 判断题：

1．设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球(不放回),则三只球依次为黑白黑的概率

ab(b1)(ab)ab1ab2 为 . 【 】

2,2的均匀分布，tan，则的密度函数为2.设服从p(y)1,y(1y2)。 【 】

的联合分布、边际分布如下表

3.已知随机变量

则

相互。 【 】

参：1、对 2、对 3、对

第二次作业

1：[判断题]X为随机变量，a,b是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b. 参：错误 2：[判断题]

设X服从参数为λ的泊松分布，则D(2X+1)=2λ。

参：错误

3：[判断题]随机向量（X,Y）服从二元正态分布，则X的边际分布为正态分布，Y的边际分布也为正态分布. 参：正确

4：[判断题]若X～B(3,0.2),Y～B(5,0.2),且X与Y相互，则X+Y～B(8,0.2). 参：正确 5：[判断题]

特征函数 f ( t )具有性质：f ( 0 ) = 1。 参：正确

6：[单选题]C为常数，则E(C)=( ). A：0 B：1 C：C

D：不存在 参：C

7：[单选题]若X服从泊松分布P(10),则EX=( ). A：10 B：1 C：100 D：1/10

参：A

8：[单选题]已知X在[1，3]上服从均匀分布，则X的方差DX=( ). A：2 B：1 C：3 D：1/3

参：D

9：[填空题] 填空题：

1. 先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，则该试验的样本空间为 . 2、设P(A)p,P(B)q,P(AB)r,则P(AB) .

1p(x)03. 设X的概率密度为

D(X1)_____________.

0x1其他，则E(X1)___________;

1X~U0,4,Y的密度函数为 4. 设X与Y为相互的随机变量,

2e2ypYy0y0y0,

则（1）E(X+Y)= ；（2）D(X-Y)= .

5.设随机变量X、Y、Z，已知E(X)=1,E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1,

X,Y,Y,Z,X,Z,121413则

（1）E(X+Y+Z)= ；

(2) D(X+Y+Z)= .

6. 设随机变量和的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则

P(6)______。

7、抛两个骰子，则点数之和为6的概率为 . 8、抛两个骰子，则点数之和不超过6的概率为 . 9.一袋中有编号为0，1，2，…，9的球共10只，某人从中任取3只球，则（1）取到的球最小号码为5的概率为 ；（2）取到的球最大号码为5的概率为 。 10、若A、B为二事件，P(A)0.5,P(AB)0.2，则P(AB) 。

11. 设随机事件A的概率为P(A)=0.5, 随机事件B的概率为P(B)=0.4，条件概率

P(BA)0.2，则P(AB)= 。

12、最近来某房产公司的100为顾客中有一位顾客购买了该公司的一所房子，根据这个比例，在接下来到的50位顾客中恰好有一位购买该公司房子的概率是 。 13. 设

X~B(2,p),Y~B(3,p),若P(X0)4/9,则P(Y1)。

14. 设二维离散型随机向量(,)的可能取值为 (0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0)

且取这些值的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12，则的边际分布列为 .

t(t)(t)e15．随机变量的特征函数为，则23的特征函数23=______.

16. 掷硬币出现正面的概率为P，掷了n次，则至少出现一次正面的概率为 。

t17．某在长度为 的时间间隔内收到紧急呼救次数服从参数为2的泊松分布，而

与时间间隔的起点无关（时间以小时计），则某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼叫的概率为 .

18.设二维随机向量(,)的概率密度为

12e(3x4y)p(x,y)0

x0,y0其他

则P(01,02)= . 19. 设随机变量的分布律为

P(k)qk1p,0p1,pq1,k1,2,....

则的特征函数

(t) .

参：填空题：

1. (Z,1),(Z,2),(Z,3),(Z,4),(Z,5),(Z,6),(F,Z),(F,F) 2．

rq

3. -1/2 ； 1/12 4.（1） 5/8 ；（2） 49/192 .

5. （1） 6 ；(2) 19 . 6. 1/12 7. 5/36

8．5/12

119.（1）20（2）12

10． 0.7 11. 0.8

12． 0.3

1913. 27

14. -1 5/12 3it2t P 15．e0 2/12 1 5/12 .

n1(1p)16.

17． e32

38(1e)(1e) 18.

peit.it19.1qe

第三次作业 1：[判断题]

A.B为任意二随机事件，则P(A-B)=P(A)-P(B). 参：错误 2：[判断题]

对二项分布b ( k ; n , p ) = Cnk pk ( 1 - p )n- k , k = 0 , 1 ,…, n ，当k = [n p]时，概率值b ( k ; n , p ) 达到最大。 参：错误 3：[判断题]

X、Y相互，则X、Y必不相关. 参：正确 4：[判断题]

设两个相互的随机变量ξ、η的方差分别是 4 和 2 ，则D( 3ξ - 2η ) = 44 。 参：正确

5：[判断题]cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY. 参：正确 6：[判断题]

( ξ , η ) ～（μ1，μ2 ；σ12，σ22 ；ρ ），则 ξ 与 η 是相互的充分必要条件为 ρ = 0。

参：正确 7：[判断题]

设{ξk}为两两不相关的随机变量序列，Dξk < +∞，且存在常数C，使得 Dξk < C,k=1,2,…， 则{ξk}服从大数定律。 参：正确

8：[判断题]随机变量X服从二项分布b (n,p),当n充分大时，由中心极限定理，X近似服从正态分布N(np,np(1-p)). 参：正确 9：[判断题]相互的随机变量序列，如果具有有限的数学期望，则该序列服从大数定律。 参：错误

10：[判断题]n个相互的随机变量之积的特征函数等于他们的特征函数之积. 参：错误

11：[判断题]

设随机变量 ξ 的特征函数为 f ( t ) ，且它有 n 阶矩存在，则当 k ≤ n 时，有ik f (k)(0) = Eξk。

参：错误

12：[论述题] 单选题（补充部分）

1. 箱中有10个产品，其中2个次品，现从中任取3个产品，用A表示“取到的3个中恰有一个次品”，B表示“取到的3个中没有次品”，C表示“取到的3个都是次品”， D表示“取到的3个中次品数小于3”，则上述四个事件中为基本事件的是( ). (A) A (B) B (C) C (D) D

2. 从6双不同的手套中任取4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（ ）。

321624(A) 33 (B) 33 (C) 99 (D) 99

3. 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去，则这两个人能会面的概率为（ ）.

45 (A) 0 (B) 9 (C) 9 (D)1

PA4.

111PABPB3 ，2，PAB( ). 4，

117(A)12 (B)12 15(C)2 (D)6

5. 设ABC，则必有（ ）.

(A) P(C)P(A)P(B)1 (B) P(C)P(A)P(B)1 (C) P(C)P(AB) (D) P(C)P(AB) 6.对事件A、B，下列说法正确的是（ ）. (A)若 A与B互不相容，则A与B也互不相容 (B)若 A与B相容，则A与B也相容 (C)若 A与B互不相容，则A与B相互 (D)A与B相互，则A与B也相互

7. 设事件A、B的概率均大于零，且A与B互为逆事件（或对立事件），则有（ ）. (A)A与B相互 (B)A与B互不相容 (C)A与B相等 (D)A包含B或B包含A

8. 已知随机变量X的分布函数为:

0F(x)x21x00x1x1

1P(X)2( ). 则

11(A)4 (B)2 3(C).4 (D)1

9.下列函数可以作为某个随机变量X的概率密度函数的是（ ）.

(A)

sinxp1(x)0sinxp3(x)02x其他32sinxp2(x)0 (B) 0x其他

2x其他2 (D)

(C)

sinxp4(x)00x其他2

10.设随机变量X的概率密度函数为

1pX(x)00x1其他

则随机变量Y2lnX的概率密度为（ ）.

y2y0pY(y)e其他0 (B)

eypY(y)0（A）

y12pY(y)2e0(C)

y0其他

y0其他y12pY(y)2e0 (D)

y0其他

11.设随机变量的分布函数为

x2F(x)AeB0

2x0x0

则其中常数为（ ）.

(A) A=1,B= -1 (B) A= -1,B=1 (C) A=1,B=1 (D) A=-1,B=-1

,)0不等价。 12．对于任意两个随机变量与，下面（ ）说法与协方差cov((A) 相关系数

,0 (B) D()D()D()

(C)E()EE (D)  与相互 13、设二维随机向量(,)的概率密度为

ke(3x4y)p(x,y)0

则（ ）.

x0,y0其他

(A) k3 (B) k4 (C) k7 (D) k12

14．袋中装有1，2，…，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1

号球的概率为（ ）.

111(N!)kk(A) N (B) N! (C) N (D) N(N1)...(Nk1)

15．设随机变量  服从参数为  的泊松分布，则E2 =（ ）. A  B 2 C 2＋ D 2－ 16．下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.

exGx1x0x0x0x0(A). (B)

exFx1x0x0

x0x00x1ex(C)0Hx1ex (D)

17.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（ ）.

nknkP(k)p(1p),0p1,k0,1,...,nk(A) .

2k1P((1))k,k1,2,...k2(B).

kP(k)(C)

kk!e,0,k0,1,2.. .

k1P(k)(1p)p, 0p1,k1,2,... (D)

18. 设随机变量X的概率密度为

kxbp(x)0EX且

0x1,其他(b0,k0)

23，则（ ）.

（A）k=2,b=1 （B）k=1,b=2 (C) k=1,b=1 (D) k=2,b=2

19. 设随机变量X~B(n,p),且E(X+1)= 6,D(X+1)= 4,则n = ( ). (A)20； (B)25； (C)10； (D)50.

2,20. 设随机变量X~N(),且EX=3,EX2=10,则P(-1(A)211； (B)42； (C)42； (D)24.

1B(4,)2 ,由切比雪夫不等式有 ( ). 21.设随机变量X服从二项分布

P(X23)(A)

11P(X23)3 (B)9 11P(X23)3. (D) 9

P(X23)(C)

22．已知二维随机变量,的联合分布律为

  0 1 则( ).

-1 0 1 0 13 13 0 0 13 (A) 与相互、不相关 (B) 与不相互且相关 (C) 与相互且相关 (D) 与不相互、不相关

22X~N(2,4)Y~N(3,3),则E(X-Y),D(X-Y)分23. 设X、Y为相互的随机变量，且,

别为（ ）.

(A)-1，7； (B)-1，25； (C)1，7； (D)1，25。

24. 设随机变量X服从两点分布B(1,p)，其分布律为

X P

其中0p1,pq1.则X的特征函数为（ ）.

itit(t)qpe(t)qep (A) (B)

0 q 1 p (C)(t)qpe (D)(t)qep

itit(t)qeit0peit1

22~N(a,),~N(a,)，,112225．设两个相互的随机变量、 ，

则（ ）. (A)

2~N(a1,122) (B) ~N(a1a2,12)

2222~N(aa,)~N(aa,12121212) (C) (D)

26.设随机变量序列

，对应的分布函数列为F(x)，特征函数列为(t)，随机变量nnn对应的分布函数为F(x)，特征函数为(t)，则下面不成立的为（ ）. （A）若(B) 若

n，则Fn(x)F(x)

PLPwn，则n

Llimn(t)(t)n(C) 若，则n

(D) 若

n，则n

LP27. 设连续型随机变量的概率密度函数为

ap(x)x30

x2x2

则a =（ ） . (A)2； (B)4； (C)6； (D)8. 28. 设随机变量X的概率密度为

kxbp(x)0

0x1,其他(b0,k0)

1P(X)0.752且，则（ ）.

(A) k= 2 ，b= 1 ；(B) k= 1 ，b= 2；(C) k= 2 ，b= 2；(D) k= 1 ，b= 1.

P(X(1)29. 设随机变量X的分布列为

i15iC)i,i1,2,.i5则常数C＝( ).

(A)1； (B)2； (C)4； (D)5.

30、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例，则任意画弦的长度大于R的概率为（ ）。 (A)0； (B)1/2； (C)

3/2； (D)1

参：

1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C

11.B 12.D 13.D 14.A 15.C 16.B 17.B 18.A 19.B 20 B 21.B 22.D 23.B 24.A 25.D 26.D 27.D 28.A 29.C 30.C

第四次作业 计算题：

1.在长度为a的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。 2. 设随机变量的分布密度为

Ap(x)1x20

x1其它

试求（1）函数；（2） 落在内的概率；（3） 的分布函数。

3.设随机变量的分布函数为 求（1）

；（ 2）

，

。

4. 将3个球随机地放入4个杯子中去，设表示杯子中球的最大个数，求（1）的分布律；（2）E；(3)  的特征函数f(t).

5.设连续型随机变量X的分布函数为：

x00 F(x)Ax2 0x11 x1

(1)确定常数A及P(-1(2) 求Y=2X的分布函数及密度函数. 6.设随机变量的概率密度函数为

Cxexp(x)02x0x0，

2p(y)P(12)C求（1）常数；（2）概率；（3）的密度函数。

7.从1，2，3，4中随机取一数记为，再从1，2，…，中任取一数记为，求合分布列及概率P()。 8.若

的密度函数为

的联

试求：（1）常数

；（2）

；（3）的边际分布；（4）

；（5）

。

1p(x,y)09.设(,)的联合密度函数为yx,0x1其他，求（1）的边际密度函数p(x)，的边际密度函数

p(y)，并说明与是否？（2）条件密度函数

p(yx).

10.设,在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求,的联合密度函数

p(x,y)；,). （2）,是否相互？为什么？(3)求,的协方差cov(

【答案】计算题解答概要：

1.在长度为a的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。 解：设

x、y分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为a(xy)，则

，

(x,y)0xa,0ya,0xya又设

A=“三条线段能构成一个三角形”

=

(x,y)xya(xy),xa(xy)y,ya(xy)x

a2,

aax,yxy,x,y22=1a2a2()8， A的面积为2212aA的面积81P(A)2的面积a42则所求概率为。

2. 设随机变量的分布密度为

Ap(x)1x20

x1其它

试求（1）函数；（2） 落在内的概率；（3） 的分布函数。

解： （1） 解得 ；

1p(x)1x20 （2）由（1）知，

x1其它

（3）

3.设随机变量的分布函数为 求（1）解：（1）因

；（ 2）

，

。

为分布函数，故应满足分布函数的三个性质。由

解得 （2）由（1）知

。

4. 将3个球随机地放入4个杯子中去，设表示杯子中球的最大个数，求（1）的分布律；（2）E；(3)  的特征函数f(t). 解：（1）可求得

1 6/16 2 9/16 3 1/16  P

27（2）可求得E=….=16。

(3) 的特征函数为

f(t)eit691ei2tei3t161616

5.设连续型随机变量X的分布函数为：

x00 F(x)Ax2 0x11 x1

(1)确定常数A及P(-1(2) 求Y=2X的分布函数及密度函数.

解：(1)因Fx是连续型随机变量X的分布函数，所以Fx在1处连续 故 F（1）= F（1+0）= F（1－0） 可得A=1

1111P1XFF10244 2yyFYyPYyPXFX22 (2) Y的分布函数为

02y41

y00y2y2

y/20y2fYy其他 0Y的密度函数为

6.设随机变量的概率密度函数为

Cxexp(x)02x0x0，

2p(y)P(12)C求（1）常数；（2）概率；（3）的密度函数。

解：

（1）可求得常数C=2 .

14P(12)ee（2）；

yx,x0x（3）

121y,xy2,2故

11p(y)p(y)y2ey,y02

7.从1，2，3，4中随机取一数记为，再从1，2，…，中任取一数记为，求

的联

合分布列及概率P()。

解：取值为1，2，3，4，…，取值为1，2，3，4，则

P(1,1)P(1)P(11)同理有……

故所求联合分布律为 111,44

\\ 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 从而 P()=…=25/48. 8.若

的密度函数为

试求：（1）常数解： （1）

；（2）

；（3）的边际分布；（4）

；（5）

。

解得 （2）

（3）

（4）

（5）

当

时，

1p(x,y)09.设(,)的联合密度函数为yx,0x1其他，求（1）的边际密度函数p(x)，的边际密度函数

p(y)，并说明与是否？（2）条件密度函数

p(yx).

解：（1）可求得

2xp(x)00x1其他，

1yp(y)0因为

y1其他；

，故与不。

p(x,y)p(x)p(y)1p(yx)2x0（2）当0x1时，

yx其他。

10.设,在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求,的联合密度函数

p(x,y)；,). （2）,是否相互？为什么？(3)求,的协方差cov(解：（1）联合密度函数为

1px,y0x2y21,其他

21x2px0（2）

1x1,其他21y2py0，

1y1,其他

px,yp(x)p(y)

故,不相互。

,)0. （3）E0，E0，故cov(

第五次作业 应用题

1. 甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。

2. 假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概

率;(3) 该时期内只有甲河流泛滥的概率。 。 3．发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率.

4．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

5. 已知产品中96％是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。

16.一个机床有5的时间加工零件A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,

加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。

7.公共汽车车门高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高服从

（单位：cm），试确定车门的高度。

8.．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布其概率密度函数为

x15p(x)5e0x0其他

某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率P(1)；（2）求的数学期望E 9.某机器生产的螺栓长度（单位：cm）服从正态分布

内为合格，求一螺栓不合格的概率。

10 .某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

【答案】应用题答题要点：

1. 甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，求：（1）两市至少有一市下雨的概率；（2）两市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情况下，乙市下雨的概率；（4）仅有乙市下雨的概率。

解：设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨” （1）P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.20.140.120.22 （2）P(AB)1P(AB)10.220.78

，规定长度在范围

P(BA)（3）

P(AB)0.1230.6P(A)0.25

（4）P(AB)P(B)P(AB)0.140.120.02

2. 假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概

率;(3) 该时期内只有甲河流泛滥的概率。 。 解：设A:表示“甲河泛滥”，B:表示“乙河泛滥”，

P(A)0.1,P(B)0.2,P(BA)0.3

（1）

P(AB)P(A)P(B)P(A)P(BA)0.10.20.10.30.27（2）

P(AB)P(AB)P(A)P(BA)0.10.30.15P(B)P(B)0.2

(3) P(AB)P(A)P(AB)0.10.030.07

3．发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0

时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率. 解：A\"发出0\"，B\"收到0\",所求概率为

P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)

0.70.8560.9490.70.80.30.159

4．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解：设A表示“目标被击中”，B1表示“炮弹距目标250米射出”，B2表示“炮弹距目标200米射出”，

B3表示“炮弹距目标150米射出”

，

3（1）

P(A)P(Bi)P(ABi)0.10.050.70.10.20.20.115i1

P(B1A)（2）

P(B1)P(AB1)P(B)P(AB)iii130.10.0510.10.050.70.10.20.223=0.043

5. 已知产品中96％是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。 解：设A=“产品为合格品”，B=“简化法检验为合格品” （1）

P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.960.980.040.050.94

（2）

P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.960.94080.99790.960.980.040.059428

16.一个机床有5的时间加工零件A,其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3,

加工零件B时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。 解：设A表示“机床加工零件A”， B表示“机床加工零件B”， C表示“机床停机”，则有全概率公式知

P(C)P(A)P(CA)P(B)P(CB)。

14190.30.45550

（单位：cm），试确定车门的高度。

7.公共汽车车门高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高服从

解：设车门的高度为cm。表示男子的身高。由题意

从而有

查表得解得

故取为184cm即可。

8.．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布其概率密度函数为

x15p(x)5e0x0其他

某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以表示一个月

内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率P(1)；（2）求的数学期望E

解：（1）~B(5,p)

pP(未等到服务而离开)P(10)故

1015edxe25，

xP(1)1P(0)1(1e2)50.5167

2Enp5e（2）

9.某机器生产的螺栓长度（单位：cm）服从正态分布

内为合格，求一螺栓不合格的概率。

解：螺栓不合格的概率为

，规定长度在范围

10 .某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

解： 设随机变量表示在某时刻同时使用的终端数，由题意知

，

由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理，所求概率为

即有10个或更多终端在使用的概率为0.047。

第六次作业 证明题：

P(AB)P(AB)1.设A、B为两个随机事件，且0P(B)1，证明：若，则A与B相

互。

2.若随机事件A与B互斥，且P(B)0，证明：

P(AB)1P(A)P(B)

3.设A、B、C三事件相互，证明：AB与C相互。 4、设二维随机向量

的联合密度为

证明：与相互。 5.设为非负随机变量，且Eea（a为常数）。证明：当a0时，有

P()eaEea。（0）。

6. 设

是随机变量，且~P(1),~P(2)，证明

。

7.设(X,Y)的联合密度函数为

3xp(x,y)00yx1,其他

证明XY与Y不相互、但同分布。 8. 设

n为相互的随机变量序列，且n服从参数为n服从大n的泊松分布，证明数定律。 9.设

k是随机变量序列,且

Pk3k证明

1,k1,2,...2

k服从大数定律。

k同分布，数学期望、方差均存在，且

10.设随机变量序列

Ek0，Dk2 1n2p2kn证明： k1.

【答案】证明题答案：

P(AB)P(AB)1.设A、B为两个随机事件，且0P(B)1，证明：若，则A与B相

互。 证明:

P(AB)P(AB)即有

P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(B)1P(B)

P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)

由定义知A与B相互。 2.若随机事件A与B互斥，且P(B)0，证明：

P(AB)1P(A)P(B)

证明：由A与B互斥，从而P(AB)0

P(AB)P(AB)P(B)

1P(A)P(B)P(AB)P(A)1P(B)P(B)

3.设A、B、C三事件相互，证明：AB与C相互。 证明:

P((AB)C)P(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)

(P(A)P(B)P(AB))P(C)P(AB)P(C)

由定义知AB与C相互。 4、设二维随机向量

的联合密度为

证明：与相互。

解： 易求得

从而对所有的

，均有

，

故与是相互的。 5.设为非负随机变量，且Eea（a为常数）。证明：当a0时，有

P()eaEea，（0）。

axaF(x)xaxaee证明：设的分布函数为，，故

P()ea6. 设

xxdF(x)

eaxdF(x)eaeaxdF(x)eaEea 。

是随机变量，且~P(1),~P(2)，证明

证明：

故

7.设(X,Y)的联合密度函数为

3xp(x,y)00yx1,其他

证明XY与Y不相互、但同分布。

UXY,0U1,0V1,0UV1VY解：设 uxyxuv,J1vyyv对

从而

pU,V(u,v)pX,Y(x(u,v),y(u,v))J3(uv),3(uv)dv3u(1u)(1u)2,021v3pV(v)3(uv)du3v(1v)(1v)2,02pU(u)31u0u1,0v1,0uv10u1,

0v1,

故U与V不但同分布，即XY与Y不、同分布。 8. 设

n为相互的随机变量序列，且n服从参数为n服从大n的泊松分布，证明数定律。 解：由已知，

Enn,Dnn，

1n2k1n1Dk2nk1n1k2nk1nnn.2n20n

321由马尔科夫大数定理知结论成立。 9.设

k是随机变量序列,且

Pk3k证明

1,k1,2,...2

k服从大数定律.

131112 证明：

11112Ekk(k3)0,DkEk(k3)2(k3)2k3,2222

n11当k时,2D(k)2nnk11Dk2nk1n11k2nn310(n).nk1n3

n232故

k满足马尔可夫条件,从而k服从大数定律.

k同分布，数学期望、方差均存在，且

10.设随机变量序列

Ek0，Dk2

1n2p2kn证明： k1.

22(0)iE(kEk)2i2(E)ff(t)kkK证明：设的特征函数为，由性质知：，

故

f(t)1f(0)t(t)1i2t(t)1!

i2tf1n(t)1t()nnk2nk1n

i2ttlimf1n(t)lim1()nnnnk2nk1neit2，

1n2L21n2P2kknn故k1，从而k1。