积分

基础知识导学

1．第一换元法（凑微分法）

(x)uf [φ (x)]φˊ(x)dx =f [φ(x)] dφ (x)f (u) du= F (u)+C

2．第二换元法

u(x)f (u) du

f [φ(x)] dφ (x)=f [φ (x)]φˊ(x)dx

重点难点突破

1．关于不定积分的计算

不定积分是求导运算的逆运算，是整个积分学的基础，求不定积分同求导数一样，是微积分的基本运算，必须熟练掌握。一般来说，求不定积分比求导难一些，但重要的是掌握方法。求不定积分的计算方法，重要的有两种，一种是换元积分法，一种是分部积分法。这两种方法，从理论上说，并不难理解，但在实际做不定积分练习题时，则要求灵活运用这两种方法。建议做到以下几点：

（1）熟练掌握基本积分公式，要像小学生背“九九乘法表”一样地熟记这些积分基本公式。

（2）多看例题。体会例题的解法，什么样的题目用第一换元法，什么样的题目用分部积分法，等等。

（3）多做练习。多看例题还不够，一定要动手做练习，至少做100个不定积分题目，才能掌握积分技能。

2．关于换元积分法

（1）第一换元法和第二换元法实质上是对公式

f (x) dx=f [φ (t)]φˊ(t)dt

的从右到左和从左到右的两种运用（其中f (x)存在原函数，x=φ (t)具有连续导数且存在反函数）。

“从右到左”是第一换元法，即

f [φ (t)]φˊ(t)dt =f (u) du

其右端是已经凑微分之后的形式。下面是一些可用第一换元法来求不定积分的类型（这里假设f (u)的原函数存在）：

（1）f (ax+b) dx =

1af (ax+b) d (ax+b)

（2）f (ax+b) x dx =

nn-1

1nf (axn+b) d (axn+b)

（3）f (e x) e x dx = （4）f (

f (e x) d (e x )

1x)

1x2dx =

f (

1x) d (

1x)

（5）f (ln x)

1xdx =

f (ln x) d (ln x)

（6）f (

x)

1xdx = 2f (

x) d (x )

（7）f (sin x) cos xdx = f (sin x) d (sin x)

（8）f (cos x)sin xdx = －f (cos x) d (cos x) （9）f (tg x) sec xdx =

22

f (tg x) d (tg x)

（10）f (ctg x) csc xdx = －f (ctg x) d (ctg x) （11）f (arcsin x)

11x12dx =

f (arcsin x) d (arcsin x)

（12）f (arctg x)

1x2dx =

f (arctg x) d (arctg x)

“从左到右”是第二换元法，即

f (x) dx =f [φ (t)]φˊ(t)dt

在选择代换时并无一般规律可循，常见的特殊形式有：

①被积函数含有t，x = atg t，x = asec t。

②当被积函数含有某些无理式时，作适当代换使被积函数有理化，例如含有

nna2x2，a2x2，x2a2时，分别作三角代换x = asin

axb，设t =axb，解出x =

ntba。

③有时为了消去被积函数分母中的积分变量因子x，使不定积分化为易于求解的类型，可做倒数代换x =。

1t（2）同一个不定积分往往存在着多种换元法，因而所得结果在形式上可能不一致，但实

质上只相差一个常数，这些通过对积分结果进行求导运算，即可证得。

解题方法指导

1．第一换元积分法(凑微分法）

f[(x)](x)dx=

f[(x)]d(x)u（x）f(u)du积分F(u)C

回代F[(x)]C.

1例1 计算 （1）

axx2dx， （2）1x(1x)dx．

解 （1） 选择换元函数ux使所给积分化为基本积分axdx形式，再求出结果． 为此，令 u11x，则 duaudxx2，于是

1axx2dx=adu=1xulnaC=axlnaC．

为简便起见，令 u1 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,

11（2）axx2dx=dx1Cd() 称为凑微分）= （． ad()2xlnaxxx1ax1x(1x)dx=211xd(x)=2arctanxC．

小结 凑微分法一般不明显换新变量u，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，

更简便．

2．第二换元积分法

1f(x)dxu（x）f[(t)](t)dt=F(t)CtxF[1(x)]C

（其中 (t)是单调可微函数）

111x例2 计算 （1）dx ， （2）x22dx．

1x2解（1） 令1xt, 则 xt1 , dx2tdt,于是

原式=2t1tdt=2t111tdt=2[dt1t]=2t2ln1tdtC

=21x2ln11xC.

2（2） 设 xsint ,1xcost,dxcostdt , 于是

原式=sin2tcostcostdt=sin21cos2ttdt=dt

2x

1

t =

1212dt1414cos2td(2t)

122 =t =

12sin2tCx2t121x

sintcostC

2arcsinx1xC．

小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 也可用函数的三角代换求出结果．通常

当被积分函数含有根式 当被积分函数含有根式 当被积分函数含有根式

22ax时，可令 xasinx,

(x12a)22dx

ax时，可令 xatanx, xa2222时，可令 xasecx.