《量子力学》(专升本)练习题

一、基本概念及简答

1. 简述|(x,t)|的物理意义及其实验基础。 2．简述迭加原理。若cnn2n，F^nfnn，cn的物理意义是什么？

ˆ的平3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角()部分 =cos3,求Lz均值。 4．设

FF，G^^^^^^^^G

^^^A.若[F,G]0，是否F的本征态一定是G的本征态，举例说明。 B.若[F,G]0，F,G是否就一定无共同本征态，举例。

C.若[F,G]iC，C是常数，F,G是否能有共同本征态，证明你的结论。 5、判定x^^^^^^^px及ipx是否厄迷算符。

^^^^6、[F,G]C0，征态，举例说明

FF，G^^G，试问F，G是否必然没有共同本

^^^7、已知 ，B,C为厄米算符，8、能否把

ˆˆˆiBCˆˆ也为厄米算符的条件是什么？ Ax,y,z看作自旋角动量算符的矩阵表示？

9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？

11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。 12. 如果

ˆAˆA，

ˆBˆB且

ˆiAˆ,BˆˆCC都是束缚态，则

，

ˆaaa,Bˆbbb, a和bAˆabCˆb0. aC13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征

是什么？

ˆ]1，求证 ˆnˆn1 ˆ,ˆˆnˆn14．已知[15．已知 ，B,C为厄米算符，则

ˆˆˆˆ16．若一个算符与角动量算符J的两个分量对易，则其必与J的另一个分量

对易；

ˆiBCˆˆ也为厄米算符的条件是什么？ A,当x0,17.设 V1 22mx,当x0,2且已知以一维线性谐振子的能量本征值En，本征函数nx，及nx的宇称为

1。试写出能量本征值及本征函数。

n18．Jx,Jy在jmj上的平均值为零，即jmjJxjmjjmjJyjmj0 19.(1).全同粒子交换算符Pij,Pkl是否对易?有无共同本征函数?

(2) .不考虑粒子间的相互作用。有5个单粒子态，4个全同粒子。下列情况

下，体系有多少可能的状态？

A.粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同费米子; C. 不考虑粒子的全同性.

二、解决问题题

1、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，若t0时，体系处

于

2(x,0)c1(x)c2(x)c3(x)1232态上，式中

H^nn()2man， n1,2，

已经归一化，

求： （1）t（2）t0时，E822/(ma)的几率

20时的波函数(x,t)，能量的可能值与取值几率，证明你的结论

2xsin， aa （3）粒子处于基态1(x)A． 求粒子动量分布(只写出表达式即可)。

B． 当势阱突然变为2a时，求粒子仍处于基态的几率（只列公式，

不必计算）

2、考虑在无限深势阱（0xa）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出这两个态的简并度。

^3、在l本征态Ylm下，

z求证：

（1）．lxly0

（2）．(12’)计算(lx)，(ly)

4．计算(lx)，(ly) 设

2222H(0)E10*c0E(0)200 (0)E3c（1）．求H的准确本征值。

（2）．若 |c|Eij，i,j1,2,3，求H的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。

(0)5. （20’）设

H(0)E10*c0E(0)(0)200 (0)E3c (1)．（10’）求H的准确本征值。

(2)．（10’）若 |c|Eij，i,j1,2,3，求H的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。

6、设固定于r0的电子处于沿x方向的均匀电磁场B中（不考虑空间运动），电子的内禀磁矩与磁场B作用为

eBxx,2c1 初始电子处于sz态szx0,求t时刻电

eB20.2cH子状态。

7. (10’)求ncossineisineicos的本征值和本证征函数。

8．粒子在谐振子势场中运动，在能量表象中，t0时，其状态波函数为

0102 ，00

H13152  求 （1）能量平均值，可能值及相应的几率

（2）求t时刻的波函数(t).

9．粒子在位势V(r)的有心力场中作定态运动，证明在任何一具有一定轨道角动

ˆrrˆ） 量的定态里，粒子的平均位置在原点。（提示，利用(0)E1H10．

ccE(0)(0)(0)， |c||E1E2| 2* 求：

A．H的准确本征值 （10分）

B．求H的近似到二级的本征值（用微扰法） 11．一维无限深的、宽为1A的势阱中含有三个电子，势

 V(x)0,0x1A ，

,其它在温度T(K) ，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量E12.4eV。问在同样近似下，在阱中若有四个电子时，其平均能量是多少？

ˆ和12、两个算符Hˆ的矩阵形式如下 B100100Bb001 H010; 001010其中，

ˆ相互对易，进而求出它们共同归一化ˆ和Bb,为实常数。证明算符H的本征函数。

13、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，当t0时，粒子处于状态

1111x2x3x x,0222其中，nx为粒子的第n个能量本征态。

（1）求t0时能量的取值几率； （2）求t0时的波函数x,t； （3）求t0时能量的取值几率。

ˆ与Jˆ的共同本征态JM下，Jˆ的平均值为零，且当MJ时，测ˆ2与J14、在Jzxyˆ与Jˆ的不确定性之积为最小。（提示：用升降算符，量JxyˆJMJMJ(JM1)(JM)JM1）

15、 设

H(0)E10*c0E(0)20(0)0 (0)E3c （1）求H的准确本征值。

（2）若 |c|Eij，i,j1,2,3，求H的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。

16、线谐振子受到一个

x方向均匀电场E0x的作用，求其能级。设该线

谐振子的质量为m、电荷为17、求算符

q、角频率为。

ˆ在动量表象中的矩阵表示。 Lx2xcosa18、设粒子在宽为a的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态

4sin (x)aax 求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。 19、耦合谐振子的哈密顿算符为

1212222ˆˆˆHppxyxy xy

221.

（1）求其零级定态波函数的简并度。

（2） 试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。已知

1nn1xmnmxnm,n1m,n1, 22ˆx的本征值和本征函数。 20、对于一维运动，求算符px 。

21、设氢原子在t0时处于状态

111(r,0)R21(r)Y10(,)R31(r)Y10(,)R21(r)Y11(,)222求其能量、角动量平方及角动量

z分量的取值几率和平均值；写出在t0时

体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量z分量的取值几率与平均值。

已知氢原子的本征解为

e21E, n1,2,3,

2 n2a0n nlm(r,,)Rn(r)Ylm(,) 22、已知算符

ˆ,Bˆ满足 Aˆ20, AˆAˆAˆAˆ1, BˆAˆ， ˆAAˆ证明B2ˆ，并在B表象中写出Bˆ的矩阵表示。 B23、类氢原子中，电子与核的库仑相互作用能为 V(r)Zer ，当核电荷由

Ze(Z1)e时（ 衰变），相互作用能增加了Her。

(a)试用微扰论讨论体系的基态能量的一级修正； (b)计算结果与严格解比较。

《量子力学》练习题二

一、基本概念及简答

1、在一个状态之中某一个量的平均值和它的本征值出现的几率都不随时间发生变化，这样的物理量是否是守恒量？ 2.指出下列体系中力学量的完全集合：

A. 氢原子(不考虑电子自旋)；B. 二维谐振子C. 自由粒子。

3.什么是束缚态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。

ixix4．下列波函数1ie,22e,32eixix,4ei(x)

哪些描述与 e相同的状态。

ˆ]。 5．计算对易关系[sin2x,pˆFˆ ，Gˆ6.设 FˆG ，

ˆ的本征态，举例说明。 ˆ的本征态一定是GA 若Fˆ0，是否Fˆ,Gˆˆ,GB 若Fˆˆ,Gˆ，FiC是否一定无共同本征态，举例说明。

ˆ 是否一定无共同本征态？举例ˆ,G是常数，FˆC. 若Fˆ,G，CiC0说明你的结论。

7．指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？

1A.(t) B. (x) C.(t) D. (r)r E.  F.

0x'(xx')

8 .图a中的定态波函数对应于图b、c、d中哪个势函数？

图a 图b 图c 图d

9.下列哪些是定态，哪些不是?

A 自由粒子处于1cos1px，21,

B 氢原子处于A1210213310，B(321311) 4210. p 和 p 是否相等？为什么？

11． 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？

ˆw。 ； (t)(t)； uvw； uF12. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。

13．为什么既不能把波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？ 14. 设

ˆAˆ，BˆBˆ，AˆˆA，B0。试判断下列算符哪些是厄米算符，1ˆˆˆˆˆˆABˆˆ ; (3)CˆAˆiBˆ ; (ABBA) ; (2)G(1)F2i哪些不是。

ˆ(4)DˆBˆ。 A15． 指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？

A.(t); B. (x); C.(t); D. (r)r;

1E. ; F. x'(xx').

0ˆf， 那么cc的物理意义16．简述态迭加原理。 若cnn， 且Fnnnnnn是什么？

17．在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？

d2d2d18. 确定i，2，i2哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。

dxdxdx19．指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？

A.(t); B. (x); C.(t); D. (r)r;

1E. ; F. x'(xx').

020. p 和 p 是否相等？为什么？

二、解决问题题

E1(0),0,a(0)(0)(0),E2E31、在H0表象中，H0,E(0),b, E1(0)E2>

2(0)a,b,E3a,b.

试用微扰论求能量的二级修正。

2、指出下列体系中，能量E、动量（px,py,pz）、角动量（L2,Lx,Ly,LZ）、宇称哪些是守恒量。

A. 一维谐振子； B. 在Z方向均匀不变电场中的带电粒子； C. 在Z方向均匀、但随时间变化的电场中的带电粒子； D. 中心力场中的粒子。 3、 质量为m的粒子处于能量为E的本征态，波函数为(x)Axe子在什么样的位势中运动？

4、 r,,1R21rY10,1R31rY10,1R21rY11,的状态上，

22212x22，问粒

求其能量、角动量平方及角动量出它们的平均值。

z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求

ˆL2xˆ15、设体系的哈密顿算符为 H2I1ˆ2Ly1ˆ2Lz 2I2求体系的能量本征值与相应的本征函数。

E1(0)a,b, aa, 6、设在H0 表象中，H(0)b,Ea2用微扰论求能级修正（到二级近似）。再严格求解，与微扰论的结果比较。

7．一个电荷为q、质量为和角频率为的线谐振子，受到沿x方向恒定弱

ˆq x，用微扰法求基态能量，近似到二级修正、波函数电场的作用，即W到一级修正。

已知：

 1nn1xn(x)n1(x)n1(x)228．求自旋角动量在任意方向n（方向余弦为 cos,cos,cos）的投影算

符

ˆn sˆxcossˆycossˆzcos的本征值和相应的本征矢。 s0时刻处于状态 r,0C1111r2r3r

3229．氢原子在t式中，nr为氢原子的第n个能量本征态。计算归一化常数C?；

（1）计算t0时能量的取值及相应的几率与平均值；

（3）写出任意时刻t的波函数r,t，能量的取值及相应的几率与平均值。

0ˆ2ˆpE10．作一维运动的粒子，当哈密顿算符为H时，能级是，Vxn02如果哈密顿算符变成HˆˆH0ˆ（p为实参数），求变化后的能级En。

（提示，用动量表象求解）。 11、质量为

m12的粒子处于一维谐振子势场V1xkx,k0的基态，

22Vxkx若弹性系数k突然变成2k，即势场变成2，随即测量粒子

的能量，求发现粒子处于新势场V2公式即可)

x基态的几率；(只列出详细的计算

2ˆp1222ˆHxy12、已知二维谐振子的哈密顿算符为022，在对其施加

微扰Wˆ xy后，ˆˆˆ利用微扰论求HH0W第一激发态能量至一级

修正。

1nn1xnm,n1m,n1，提示：m其中，22而

，

n为线谐振子的第

n个本征矢。

ˆ]1，求证 ˆnˆn1 ˆ,ˆˆnˆn13、 已知[14、一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此

态中的动量平均值。

2xAsinkx的15、质量为m的粒子作一维自由运动，如果粒子处于

ˆ的几率分布及平均值。 ˆ与动能T状态 上，求其动量p16、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，若t=0时，体系处

于

(x,0)c11(x)c22(x)c33(x)

态，式中Hn1n222()n，n=1，2，3…… c1c2c32ma21

222求：（1）t=0时，E及E2的几率

ma2（2）t>0时的波函数(x,t)，能量的可能取值及相应几率。 （3）若粒子处于基态12xsin，求 aaA．粒子的动量分布（只列公式，不必计算）

B． 当阱宽突然变为2a时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算）。

ˆx的本征值和本征函数，。 17、对于一维运动，求算符P18、用狄拉客符号导出由F表象到G表象的表象的波函数及其算符的变换公式，写出么正变换矩阵。

19、在能量表象中，一维谐振子在t＝0时的状态为

010(0)2求

...（1）能量的可能值及相应几率; （2）能量平均值;

（3）t时刻粒子的波函数.

120、H202233，ε=ε*<<1，求： 320（1）H的近似到2的能量本征值；

（2）和近似到ε的波函数（用微扰法） 21、计算对易关系

ˆ,pˆ，其中，,x,y,z。 L12x2222、质量为m的粒子处于能量为E的本征态，波函数为(x)Axe子在什么样的位势中运动？

23、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

提

示

：

偶

极

近

似

的

情

况

下

，

，问粒

Hex。

1nn1xn(x)n1(x)n1(x)。

2224、在能量表象中，一维谐振子在t＝0时的状态为

010(0)2求

...（1）能量的可能值及相应几率 （2）能量平均值

（3）t时刻粒子的波函数