沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第5讲 相似三角形的判定(二)(提高版)

相似三角形的判定（二）

内容分析

相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解

相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．

知识结构

1、 相似三角形判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．

ABBCCA如图，在ABC与A1B1C1中，如果，那么ABC∽A1B1C1． A1B1B1C1C1A1

B

C

B1

C1

A1

A

模块一：相似三角形判定定理3

知识精讲

【例1】 ABC的边长分别为a、b、c，A1B1C1的边长分别为a、b、c，则ABC与A1B1C1

【例2】 如图，点D为ABC内一点，点E为ABC外一点，且满足

求证：ABD∽ACE．

B

D

C

A

E

ABBCAC． ADDEAE例题解析

（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．

【例3】 如图，在ABC中，CD23，AD4． ABC90，ACB30，AC2，

求证：ABC∽ACD

【例4】 已知：如图，在RtABC中，ACB90，AC2，BC4，点D 在BC边

上，且CADB． （1）求AD的长；

（2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：CEF∽ADB．

2 / 12 D

A

B C

C

D

E

A

F

B

【例5】 如图，在梯形ABCD中，AB // CD，A90，AB2，BC3，CD1，

点E是AD的中点．

（1）求证：CDE∽EAB；

（2）CDE与CEB有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．

1、 直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．

ABBC如图，在RtABC和RtA1B1C1中，如果CC190，，那么A1B1B1C1ABC∽A1B1C1．

D C

E

A B

模块二：直角三角形相似的判定定理

知识精讲

A

B

C

B1

C1 A1

例题解析

【例6】 如图，在ABC中，CDAB于D，DFAC于F，DGBC于G．

求证：CFCACGCB．

【例7】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则

斜边上的中线长是

【例8】 如图，直角梯形ABCD中，BCD90，AD // BC，BCCD，E为梯形内一

点，且BEC90．将BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到DCF，连接EF交CD于点M．已知BC5，CF3，求DM:MC的值．

【例9】 如图，在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求证：

CEF∽CBA．

C

G

F

A D B

．

A D

E

M

F

B C

E A

C

F

D

B

4 / 12 【例10】 在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，E是AC边上的一个动点（不

与A、C重合），CFBE于点F，连接DF． （1）求证：CB2BFBE； （2）求证：BFAEFDBA．

【例11】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的高与另一个三角形的对应线段成比例，

那么这两个三角形相似．

【例12】 如图，在RtBDC中，点E在CD上，DFBC于F，DGBE于G．

求证：FGBCCEBG．

D

B

E C

A

E

F

C

D B

G F

【例13】 如图，CAB90，ADCB，ACE、ABF是正三角形．

求证：DEDF．

B

D

C A

E

F

1、 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．

2、 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 3、 相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．

4、 直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．

【例14】 在ABC中，AB12，AC15，D为AB上一点，

E，得到ADE，若ADE与ABC相似，则AE

【例15】 如图，四边形ABDC、CDFE、EFGH是三个正方形，则123的值为多

少？

【例16】 如图，正方形ABCD的边长为2，AEEB，MN1，线段MN的两端在CB、

CD上滑动，当CM为何值时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．

6 / 12 模块三：相似三角形的判定综合

知识精讲

例题解析

AB3，在AC上取一点BD ．

A C E G

1 2 3

B D F H

A

D

E

N C

B

M

【例17】 如图，ABAC，AC2ADAE，求证：BC平分DBE．

A

E

【例18】 如图，在ABC中，M在AB上，且MB8，AB12，AC16，在AC上求

作一点N，使AMN与原三角形相似，并求AN的长．

【例19】 如图，EMAM，CEDE．

求证：2EDDMADCD．

M

A

C

D

B C M A B

C D

E

【例20】 如图，在ABC和DEF中，AD90，ABDE3，AC2DF4．

（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；

（2）能否分别过点A、D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC分割成的两个三角形与DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．

B

C

E

F

A

D

【例21】 如图，在ABC中，ABAC3，BC2，点D、E、F分别在AC、AB、BC

边上，设CDx，BFy．试问DFCBEF沿着直线EF翻折后与DEF重合，是否有可能与ABC相似，如有可能，求出CD的长；如不可能，说明理由．

【例22】 如图，ABC是等边三角形，D是AC上的一点，BD的垂直平分线交AB于

E，交BC于F．

（1）当点D在边AC上移动时，DEF中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；

（2）当点D在边AC上移动时，ADE与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC的边长为6，AD2，试求BE:BF的值．

B

F

C

E

D A

B

F

C

E

D

A

8 / 12

【习题1】

【习题2】

如图，在ABC中，E为AC上一点，ACB90，CDAB于D，CFBE在ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，求点G到BC的距离．

随堂检测

于F，联结DF． BDDF求证：． BEAE

【习题3】

C

D

B

F E

A

已知梯形ABCD中，AB // CD，B90，AB3，CD6，BC12，

点E在BC边上自B点向C点移动，求使得ABE与ECD相似的BE的值．

【习题4】

如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD

A

D

B

E

C

交CA的延长线于点E，求证：OC2OAOE．

C

O

A D

B

E

【习题5】

如图，在ABC中，C90，BC8cm，AC6cm，点P从B出发，

沿BC方向以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ与CBA相似？

【习题6】

B

P

A Q

C

如图，ABC中，C90，ACBC2，O是AB的中点，将45°角

的顶点置于点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接点D、E．

（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明； （2）设ADx，BEy，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当x为何值时，ODE是等腰三角形？

【习题7】

在ABC中，ACB90，CQ是斜边AB上的中线，AC6，AB10，

A

O

B

D

C

E

点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，若PNC与ABC相似，求BP的值．

A

Q

P

B

C

N

10 / 12

【作业1】

如图，在ABC中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DFAC于F，

课后作业

DGBE于G．

求证：AFACBGBE．

【作业2】

如图，D是AC上的点，BE平行于AC，BEAD，AE分别交BD、BC

A

D

B

F

G

C

E

于点F、G，CAECBD． 求证：BF是FG和EF的比例中项．

【作业3】

已知，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且

EBAF1，ABAD3C D

G F

A

B

E

求证：AEFFBD．

E B

C

A

F

D

【作业4】

如图，正方形ABCD中，AB2，P是BC边上与B、C不重合的任意点，

DQAP于Q．

（1）求证：DQA∽ABP；

（2）当点P在BC上变化时，线段DQ也随之变化．设PAx，DQy，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

【作业5】

如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E，

B

P

C

Q A

D

DFBC于F． AEAC3求证：． BFBC3

【作业6】

A

E

C

F

D

B

如图，A是等边PQR的边RQ的延长线上的点，B是QR延长线上的点．

（1）若1260，求证：QR2AQBR；

1（2）若AQQR，当RB与QR满足什么条件时，BRP∽PQA？

2（3）BPQ有可能与PQA相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．

A

Q

R

B

1

P 2

12 / 12