第一次联考 （试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中永州四中高三年级实验班第一次联考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。第1-8题为文理科试题，第9-12题，文科生选做文科试题，理科生选做理科试题。 1.已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞） 2.已知i为虚数单位，则z=
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3.若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（ ） A．＞ B．4.已知向量
＞ C．
，
＞
D．|a|＞﹣b
，⊥，则k的值是（ ）
A．﹣1 B． C．﹣ D． 5.若A．
B．
，则cosα+sinα的值为（ ） C． D．
6.如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（ ）
A． B．（ ）
C．
D．
7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为
A．C．
B．（4+π） D．
x
8.已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣4，﹣1）B.（﹣4，0）C.（0，）D.（﹣4，） 9.[文科]已知椭圆C2过椭圆C1：率为（ ） A． B．[理科]已知圆在NP上，A．C．
B． D．
C． D．
，定点，
，点P为圆M上的动点，点Q
（ ）
的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心
10.[文科]设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ） A．31 B．32 C．63 D．64 [理科]若A．C．
B．
D．
3
2
，则
等于（ ）
11.[文科]对于三次函数f（x）=ax+bx+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x﹣x+3x﹣
2
3
，则g（）+g（）+…+g（）的值为（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
[理科]已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a•g（x）（a＞0，且a≠1），的前n项和大于62，则n的最小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9
x
，若数列
12.[文科]在不等式组在第二象限的概率为（ ）
，所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落
A． B． C． D．
[理科]某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表： 产品名称 A B C 天 产值（单位：万元） 4 2 则每周最高产值是（ ） A．30 B．40 C．47.5 D．52.5
第II卷 非选择题（共90分）
第13-16题为文科理科试题，第17-22（除18题）题分文理科试题，文科生选做文科试题，理科生选做理科试题。
二.填空题（每题5分，共20分） 13.函数
的定义域是 ．
14.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为 ． 15.某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系。
根据上表提供的数据得到回归方程x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
中的，预测销售
额为115万元时约需 万元广告费. 16.下面给出的四个命题中：
①以抛物线y=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）+y=1； ②点（1，2）关于直线L：X﹣Y+2=0对称的点的坐标为（0，3）．
③命题“∃x∈R，使得x+3x+4=0”的否定是“∀x∈R，都有x+3x+4≠0”；
④命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y=4x仅有一个公共点，这样的直线有2条． 其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上）．
三.解答题（共6题，共70分） 17.（本题满分12分）
[文科]已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．
2
2
2
2
2
2
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
n+1
*
*
（Ⅱ）设数列{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2，n∈N，令cn=的前n项和Sn．
[理科]设数列{an}，a1=1，an+1=
+
，数列{bn}，bn=2
n﹣1
，n∈N，求数列{cncn+1}
an．
（1）求证：数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式； （2）数列{an}的前n项和为Sn，求Sn；
（3）正数数列{dn}满足最大整数的值．
18.（本题满分12分）
=．设数列{dn}的前n项和为Dn，求不超过D100的
[文理科]为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．
19.（本题满分12分）
[文科]如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=
A1B1，∠BAD=45°．
（1）证明：BD⊥AA1； （2）证明：AA1∥平面BC1D．
[理科]如图，直四棱柱
，
且（1）证明：（2）求锐二面角
. 平面
；
平面角的余弦值．
，
的底面
，点
是平行四边形， 是
的中点，点
在
20.（本题满分12分）
[文科]已知椭圆C： +（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C
相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2． （1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由．
=
+
成立？若存
[理科]设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的
．
倍，过焦点且垂直于x
轴的直线被椭圆截得的弦长为2（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.（本题满分12分）
[文科]已知函数f（x）=e+ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围． [理科]已知函数（Ⅰ）求
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直
2
x
（其中为自然对数的底数）．
的解析式及单调减区间；
无零点，求的取值范围．
（Ⅱ）若函数
22.（本题满分10分） [文理科]
选修4-1：几何证明选讲 如图，圆圆（Ⅰ）求（Ⅱ）当
的半径为6，线段
.
时，求证：长；
与圆相交于点，，，与
相交于点
.
衡阳八中永州四中2016年下期高三年级实验班第一次联考数学答案 题号 1 答案 D 2 B 3 B 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B 9 文A 理A 10 文C 理D 11 12 文B 文B 理A 理D 13. [﹣2，0）∪（0，+∞） 14. 2
15. 6.5 16. ①②③ 17.
[文科]（I）设等差数列{an}的公差为d， ∵a1=1，且a2，a4，a8成等比数列． ∴
，即
，
解得d=0（舍）或d=1，
∴数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=n，即an=n． （II）由
， （n≥2），
两式相减得，即（n≥2），
则∴∴
，， ，
．
[理科]（1）由，得
．
又
又b1=a1=1，
，
所以bn+1=bn+1，
所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．bn=n．
（2）∵
所以①，
，②
由①﹣②， 得
所以．
（3）
，
所以
所以，不超过D100的最大整数为100． 18.[文理科] （1）由题意可知， 样本容量n=
=25，y=
=0.008，
，
x=0.100﹣0.008﹣0.012﹣0.016﹣0.040=0.024．
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为19.
[文科]（1）∵AB=
AD，∠BAD=45°，
2
2
2
2
．
在△ABD中，由余弦定理得BD=AD+AB﹣2AD•ABcos 45°=AD， ∴AD+BD=AB，∴AD⊥BD，
∵DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD， ∴DD1⊥BD，又AD∩DD1=D，∴BD⊥平面ADD1A1．
2
2
2
又AA1⊂平面ADD1A1，∴BD⊥AA1．
（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD=E，连结EC1， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=AC， 由棱台的定义及AB=
AD=2A1B1知，A1C1∥AE，且A1C1=AE，
∴四边形A1C1EA是平行四边形，∴AA1∥EC1， 又∵EC1⊂平面BC1D，AA1⊄平面BC1D， ∴AA1∥平面BC1D．
[理科]（1）以
为坐标原点，射线
为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系
∴∴
∴
又
（2）设向量
∴ 是平面
平面的法向量
，．
则 ，而
∴ 量
，令得∵是面的法向
∴ ．
所以锐二面角20.
平面角的余弦值为．
[文科]（1）设F（c，0），可得直线l的方程为y=x﹣c， 即为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为2， 即有2=由e==
，解得c=2，可得a=2
， ，b=2，
即有椭圆的方程为+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）， ①当直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣2
）（k≠0）
由，消去y得（1+3k）x﹣12
22
kx+24k﹣12=0．
22
∴x1+x2=，
∴y1+y2=k（x1+x2﹣4∵
=
+
，
）=k•（﹣4）=，
∴x0=x1+x2=，
∴y0=y1+y2=．
将P点坐标代入椭圆得（
4
2
2
）+3（
2
）=12， ． y﹣2y﹣2
，
=0， =0．
2
∴15k+2k﹣1=0，∴k=（﹣舍去），即为k=±当k=当k=﹣
时，P（时，P（
，﹣，
），直线l：x﹣），直线l：x+
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=2
依题意，四边形OAPB为菱形，此时点P不在椭圆上， 即当直线l的斜率不存在时，不适合题意； 综上所述，存在P，且P（或P（
，
，﹣
），直线l：x﹣y﹣2
=0．
y﹣2
=0，
），直线l：x+
[理科]（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），
则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），
代入+=1可得，y0=，
，
因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2
所以由题意得，a=
，
b，代入上式解得：a=
、b=
，
故所求椭圆方程为．
）满足条件，
（2）假设在线段OF2上存在点M（m，0）（∵直线与x轴不垂直， ∴设直线l的方程为
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
．
由，可得．
则∴
x2﹣x1≠0，
，．
，
，其中
∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形， ∴
．
∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0． ∴x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0．
∴．
化简得=（k≠0），
则
．
x
在线段OF2上存在点M（m，0）符合条件，且21.
x
[文科]（I）当a=1时，f（x）=e+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=e+1，f'（1）=e+1， 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1， 设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B， ∴A∴
，B（0，﹣1），
，
．
∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
（II）由f（x）≥x得
2
，
令h（x）=，
x
，
令k（x）=x+1﹣e，k'（x）=1﹣e， ∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x﹣1＜0，x＞0，所以∴h（x）在（0，1）上是增函数． 所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e [理科]
2
，
(Ⅰ) ，
又由题意有：，故.
此时，所以函数
，由
的单调减区间为
和
.
或，
(Ⅱ) ，且定义域为，
要函数无零点，即要在内无解，
亦即要 在内无解.
构造函数①当减，在
时，在
在
内也单调递减. 又
.
内恒成立，所以函数，所以在
在
内单调递
内无零点，
内也无零点，故满足条件；
②当时，
⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调
递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故
在⑵若
内有一个零点，所以不满足条件； ，则函数
时，
在
内单调递减，在
内单调递增. 又
，所以
恒成立，故无零点，满足条件；
⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递
增. 又，所以在及内均无零点.
又易知，而，又易证当 时，
，所以函数在内有一零点，故不满足条件. 或
.
综上可得：的取值范围为：22.
选修4-1.（I）∵
，∴
，∴．
∵，∴∽，∴，
∵（II）∵∴∴
．
，∴
，∴
，∴．
．
．
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