§1.3正弦型函数.

在工程技术中，常借助正弦型函数来解决实际问题． 一般地，形如

yAsinx，xR

的函数(其中A0，0，都是常数)，叫做正弦型函数，其图象叫做正弦型曲线.其中A叫做振幅，叫做角速度. T=2是函数的周期.显然，y=Asin(x+)的最大值是A，最

小值是-A.，其图象与正弦曲线很相似.

当A1，1，0时，正弦型函数yAsinx就是正弦函数ysinx．

探究 根据所给的图象回答下列问题：

(1)指出图1-2中正弦函数的最大值、最小值、周期及其函数表达式．

(2)将图1-3、1-4、1-5中的图象分别与图1-2作比较，指出它们最大值、最小值、周期的异同．

y 1  O -1 1  O -1 y   4y 2   2 y=2sinx 3 2y=sinx   3 21  2 x

 O -1 -2  2   2 x  图1-2

图1-3 y  y=sin2x   3  4 图1-4

3 21  x

2 y=sin(x+ ) 23 2 22 O -1  2   x 图1-5

例1 已知正弦型函数y2sin5x期、最大值和最小值．

，求该正弦型函数的振幅、角频率、初相位、周3解 振幅A2，角频率5，初相位为2．

3，周期T22，最大值为2，最小值5 9

问题解决 当x取何值时，正弦型函数y2sin5x的值为最大值、最小值？ 3数学应用 工业与民用电常用的是正弦交流电，其电压u(单位:V)与时间t(单位:s)之间的函数关系为u2202sin100t.试求交流电的周期、频率、电压的最大值、有效值.

练习

1．举出生活中随时间作周期性变化的例子．

2．求下列函数的振幅、周期、角频率、初相位、最大值、最小值． (1)y3sin4x6；(2)y11sinx． 2351x取得最大值、最小值？ 33．当x取何值时，正弦型函数y5sin

与正弦函数类似，我们也可以应用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图． (1)正弦型函数yAsinx(A0)的图象

例2 用五点法作正弦型函数y3sinx在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y3sinx的周期T2。 （1）列表：

x sinx 0 0 0  21 3  0 0 3 21 2 0 0 y3sinx

（2）描点、连线（如图1-6）。

3 y321Oy=sinx2y=3sinx322x-1-2x图象上点的纵坐标等于ysinx图从图1-6中看出，对应于每一个x的值，y3sin象上点的纵坐标的3倍.因此，y3sinx的图象可以看做把ysinx的图象(图1-6中虚线部分)上所有点的纵坐标伸长3倍而得到.

图4-8图1-6 -3一般地，函数yAsinx(A0)的图象可以看做把ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当A＜1时）到原来的A倍而得到.函数yAsinx(A0)的值

10

域是[A,A].

用正弦型函数yAsinx(A0)表示交流电的电流时，A就表示这个交流电电流的最大值.

（2）正弦型函数ysinx(0的图象

例3 用五点法作正弦型函数ysin2x在一个周期内的简图． 解 正弦型函数ysin2x的周期T。 （1）列表：

2x 0 0 x ysin2x  2 4  20 3 23 41 2  0 57 3 4 22537 2 4241 0 0 1 1 0 （2）描点、连线（如图1-7）。

yy=sin2x 13 2 O 42-1 图图1-7 4-9y=sinx234x11沿x轴的方向向原点压缩到原来的而得到，其实质是周期减少到原来的.

22

从图1-7中看出， ysin2x的图像可以看做把ysinx的图象(图1-7中虚线部分)

11保持不变，把横坐标沿x轴的方向向原点压缩到原来的而得到，周期也变为原来的，2一般地，函数ysinx(0)的图象可以看做是ysinx图象上所有点的纵坐标即

.

问题解决 你能由正弦函数ysinx的图象，通过振幅变换、周期变换的方法作出正弦型函数y2sin3x的图象吗？

练习

用五点法画出下列函数在一个周期内的草图. (1)y3xsinx；(2)ysin. 2311

（3）正弦型函数ysinx的图象

例4 用“五点法”作正弦型函数ysinx在一个周期内的简图． 解 正弦型函数ysin(x（1）列表： 3)的周期T2。

x3 x ysin(x245   633  0  2 61  2 30 3 27 61 2 5 30 3) 0 1 0 （2）描点、连线（如图1-8）。

y5--6-2-3

4-31O-163223735623x2. 3从图1-8中看出，ysin(x图图4-101-8 )的图象相当于ysinx的图象向左平行移动了一般地，函数ysinx的图象，可以把ysinx图象上所有的点向左(0)或向右(0)平行移动个单位而得到.

问题解决

用函数ysinx图象的振幅变换、周期变换和原点平移的方法作正弦型函数

y2sin(3x)的图象.

5

12

练习

1．用五点法画出下列函数在一个周期内的草图. (1)ysin(x)；(2)y3sin(2x). 332．如图所示为某正弦型函数的图象，写出其函数表达式.

y 6

x

O  5 2 11 7 1266123

-6

（第2题）

例5 正弦交流电e3802sin314t210V，u2202sin314tV，

i4sin314t120A，试求：(1)e与u的相位关系；(2)u与i的相位关系；(3)e与i的相位关系.

解 (1)e3802sin(314t210)3802sin(314t150)V，

相位差eueu1500150， 故e滞后u150°．

t60)A (2)i4sin(314 相位差uiui060 故u超前i 60°．

(3)相位差eiei15060 故e滞后i90°.

例6 如图1-9所

60

90

示，试写出正弦交流

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电的电动势e随时间t变化的表达式，并求出t0时的初始值e0.

图1-9

解 电动势e随时间t的变化满足正弦型函数关系，故电动势的表达式为 eEmsint。

由图象知，电动势的最大值Em100V，

周期T4318s， 角频率222.5105 rad/s T83在最小值处t，故

2333t2.51053

224因此，

3eEmsin(t)100sin(2.5105t) V

43当t0时，e0100sin502V70.7V

4

数学应用 某港口水的深度设为ym，y是时间t的函数（0t24，单位：h），记作yft，下面是某日水深的数据：

t(h) y(m) 0 10 3 13 6 9.9 9 7 12 10 15 13 18 10.1 21 7 24 10 经过长期观察, yft的曲线可近似地看成函数yAsintB的图象.试根据以上数据，求出函数yAsintB的最小正周期，振幅和表达式.

练习

1.将一个悬挂在弹簧上的小球从静止位置向下拉0.2m的距离，此小球在t = 0 时被放开并允许振动．如果此小球在１s后又回到这一位置．

(1)求出描述此小球运动的一个函数关系式； (2)求当t＝6.5s时小球所在的位置．

2.已知正弦型交流电i1=6sin(314t-120o) A，i2=8sin(314t+120o) A，试求： (1)i1与i2的最大值、有效值、角频率、频率、周期和初相． (2)t=0时的电流值i0． (3)i1与i2的相位关系．

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3.交流电的电压u(单位:V)随时间t(单位:s)按正弦型曲线变化规律如图所示.求交流电的电压的最大值、周期和初相位的值.

u(伏特)2×10-3-4×10-3O-200图4-7（第3题） 习题

1.举出一个量随时间作周期性变化的实例.

2.已知正弦交流电电压u2202sin(314t)V，求电压的峰值、角频率、频率、周

t(秒)8×10-34期及初相位.

3.作下列正弦型函数在一个周期内的简图：

(1)y11sin(3x)；(2)y3sin(x). 26234.根据所给的图象，比较正弦交流电的电流与电压的相位关系和振幅的大小.

（第4题）

5.大座钟的钟摆每２s完成一次完整的摆动，钟摆与它的静止位置所成的最大角为10，若钟摆与它的静止位置所成的角按简谐振动的方式改变，则角（单位：度）与时间t（单位：s）之间的函数关系式（当钟摆处于竖直位置时，开始计时）.

6.已知正弦交流电的电流强度i（单位:A）随时间t（单位:s）的变化规律如图所示，试写出i与t的函数关系式.

（

第6题)

7．如图所示，试写出正弦交流电的电流i随

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时间t变化的表达式，并求出t0时的初始值i0.

（第7题）

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