集合

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( )

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )

(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )

2. 若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( )

A.a∈P B.{a}∈P C.{a}⊆P D.a∉P

3. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.

4. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( ) A.{－1，0，1} B.{0，1} C.{－1，1} D.{0，1，2}

5. 已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，全集U＝R，则(∁UA)∪B＝( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，2) C.(－1，2) D.∅

6. 已知集合M＝{x|0A.9 B.8 C.7 D.6

考点一 集合的基本概念

xx【例1】 (1)定义P⊙Q＝z|z＝y＋，x∈P，y∈Q，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，

y

2}，则P⊙Q＝( )

33

A.{1，－1} B.{1，－1，0} C.1，－1，－ D.－1，－

44

1

(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.

【训练1】 (1) 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )

A.9 B.8 C.5 D.4 (2)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合

1

x1

M＝－1，0，，2，3的所

2

有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )

A.1 B.3 C.7 D.31

考点二 集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则A、B关系 （ ）

(2) 设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B)，则实数

a的取值范围为________.

【训练2】 (1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( ) A.M＝N B.M⊆N C.M∩N＝∅ D.N⊆M

(2) 已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( )

A.(1，3) B.[1，3] C.[1，＋∞) D.(－∞，3]

考点三 集合的运算 角度1 集合的基本运算

【例3－1】 (1) 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝( )

A.{1，6} B.{1，7} C.{6，7} D.{1，6，7}

(2) 已知全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|ln x<2}，则∁U(A∩B)＝( ) A.{x|x>4} B.{x|x≤0或x>4} C.{x|02

角度2 抽象集合的运算

【例3－2】 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

【训练3】 (1)(角度1)(2019·天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )

A.{2} B.{2，3} C.{－1，2，3} D.{1，2，3，4}

(2) 已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤xB.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a＝( ) A.0

B.1

C.2

D.1或2

(3)(角度2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A.{－1，0，1} C.{－1，1}

一、选择题

1. 已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝( ) A.(－1，1)

B.(1，2) D.(1，＋∞) B.{－1，0} D.{0}

C.(－1，＋∞)

2. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(∁UA)∩B＝( ) A.{－1}

B.{0，1} D.{－1，0，1，3}

C.{－1，2，3}

3

3. 已知集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B的元素个数是( ) A.0

4.设集合M＝{x|xA.M2

B.1 C.2 D.3

1

－x>0}，N＝x<1，则(

x

)

N B.NM

C.M＝N

D.M∪N＝R

5.设集合A＝{x|－16.已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝( ) A.[1，2) C.[0，1]

7. 已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( ) A.[1，＋∞) 2

C.，＋∞ 3

8.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( ) A.0

二、填空题

9.(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________.

4

B.(－∞，1)∪[2，＋∞) D.(－∞，0)∪[2，＋∞)

1

B.，1 2D.(1，＋∞)

B.1 C.2 D.3

10.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.

11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.

12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝________.

13. 已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，则( ) A.A∪B＝∅ C.A∩B＝{0}

14.已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )

A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2] C.[－2，1] D.[2，＋∞)

15.(多填题)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.

16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.

B.B⊆A D.A⊆B

17.(多填题)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－

B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B5

＝________.

答 案 集 合

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( )

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )

(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集.

(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.

(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2. 若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( )

A.a∈P B.{a}∈P C.{a}⊆P D.a∉P

解析 因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 021的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确. 答案 D

3. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.

解析 集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y2222

＝x上的点，圆x＋y＝1与直线y＝x相交于两点，，－，－，则

2222

2

2

A∩B中有两个元素.

6

答案 2

4. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( ) A.{－1，0，1} B.{0，1} C.{－1，1} D.{0，1，2}

解析 因为B＝{x|x2≤1|}＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1}. 答案 A

5. 已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，全集U＝R，则(∁UA)∪B＝( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，2) C.(－1，2) D.∅ 解析 易知∁UA＝{x|x≤－1}，B＝{x|x<2}. ∴(∁UA)∪B＝{x|x<2}. 答案 B

6. 已知集合M＝{x|0A.9 B.8 C.7 D.6

解析 因为M∩N＝{x|0考点一 集合的基本概念

xx，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，z|z＝y＋，x∈P，y∈Q【例1】 (1)定义P⊙Q＝

y

2}，则P⊙Q＝( )

33

A.{1，－1} B.{1，－1，0} C.1，－1，－ D.－1，－

44

(2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________. 解析 (1)由定义，当x＝0时，z＝1，

－23－2

当x＝－2时，z＝1＋＝－1或z＝2－1＝－. 14

－2

因此

3

P⊙Q＝1，－1，－.

4

7

2

（2－a）<1，1(2)由题意得解得 2

（3－a）≥1，a≤2或a≥4.

所以1答案 (1)C (2)(1，2]

规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】 (1) 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )

A.9 B.8 C.5 D.4 (2)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合

1

x1

M＝－1，0，，2，3的所

2

有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )

A.1 B.3 C.7 D.31

解析 (1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)， (－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素. 1

(2)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－

2

111}，，2，－1，，2.

22

答案 (1)A (2)B

考点二 集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则A、B关系 （ ）

(2) 设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B)，则实数

a的取值范围为________. 解析 (1)易知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

8

因此BA.

(2)由A⊆(A∩B)，得A⊆B，则

①当A＝∅时，2a＋1>3a－5，解得a<6；

2a＋1≤3a－5，

②当A≠∅时，2a＋1≥3，解得6≤a≤9.

3a－5≤22，

综上可知，使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围为(－∞，9]. 答案 (1)B (2)(－∞，9]

规律方法 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

【训练2】 (1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( ) A.M＝N B.M⊆N C.M∩N＝∅ D.N⊆M

(2) 已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( )

A.(1，3) B.[1，3] C.[1，＋∞) D.(－∞，3] 解析 (1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.

(2)由log2(x－1)<1，得0因为A⊆B，所以解得1≤a≤3.

a＋2≥3，所以实数a的取值范围为[1，3]. 答案 (1)D (2)B 考点三 集合的运算 角度1 集合的基本运算

【例3－1】 (1) 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝( )

9

A.{1，6} B.{1，7} C.{6，7} D.{1，6，7}

(2) 已知全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|ln x<2}，则∁U(A∩B)＝( ) A.{x|x>4} B.{x|x≤0或x>4} C.{x|0(2)易知A＝{x|x≤4}，B＝{x|04}. 答案 (1)C (2)B 角度2 抽象集合的运算

【例3－2】 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC.

答案 C

规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

【训练3】 (1)(角度1)(2019·天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( ) A.{2}

B.{2，3} D.{1，2，3，4}

10

C.{－1，2，3}

(2)(角度1)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x素，则a＝( ) A.0

B.1

C.2

D.1或2

(3)(角度2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A.{－1，0，1} C.{－1，1}

B.{－1，0} D.{0}

解析 (1)由题意A∩C＝{1，2}，则(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}.故选D. (2)易知A＝[0，1]，且A∩B只有一个元素，因此a－1＝1，解得a＝2. (3)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).又A∪B＝ {－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}. 答案 (1)D (2)C (3)D

一、选择题

1.(2019·北京卷)已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝( ) A.(－1，1)

B.(1，2) D.(1，＋∞)

C.(－1，＋∞)

解析 将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示.

由图可得A∪B＝{x|x>－1}.故选C. 答案 C

2.(2019·浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(∁UA)∩B＝( ) A.{－1}

B.{0，1} D.{－1，0，1，3}

C.{－1，2，3}

解析 由题意，得∁UA＝{－1，3}，∴(∁UA)∩B＝{－1}. 答案 A

11

3.(2019·郴州模拟)已知集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B的元素个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

解析 ∵集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}＝{1，2，4，8，…}，∴A∩B＝{1，2，4}，∴A∩B的元素个数是3. 答案 D 4.设集合M＝{x|xA.M2

1

－x>0}，N＝x<1，则(

x

)

N B.NM

C.M＝N D.M∪N＝R

2

解析 集合M＝{x|x－x>0}＝{x|x>1或以M＝N. 答案 C

1

x<0}，N＝x<1＝{x|x>1

x

或x<0}，所

5.设集合A＝{x|－1解析 易求∁RA＝{x|x≤－1或x>2}，∁RB＝{x|x≥0}， ∴(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.

A∩B＝{x|－16.已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝( ) A.[1，2) C.[0，1]

B.(－∞，1)∪[2，＋∞) D.(－∞，0)∪[2，＋∞)

解析 由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴∁R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}. 答案 B

7.(2020·日照一中月考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则

12

实数a的取值范围是( ) A.[1，＋∞) 2C.，＋∞ 3

1

B.，1 2D.(1，＋∞)

22

解析 由题意可得3a－1≥1，解得a≥，∴实数a的取值范围是，＋∞.

33答案 C

8.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

x＋y＝1，x＝2，

解析 由得

x－y＝3，y＝－1，∴A∩B＝{(2，－1)}.

由M⊆(A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}. 答案 C 二、填空题

9.(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________.

解析 由交集定义可得A∩B＝{1，6}. 答案 {1，6}

10.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.

解析 由已知得B＝{3，7，9，15}， 所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}， 故集合A∪B中元素的个数为6. 答案 6

11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.

解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－

cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13

答案 [1，＋∞)

12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝________.

解析 由题意，得集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}， 因为log3(2－x)≤1＝log33，所以0<2－x≤3， 解得－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}， 从而∁UB＝{x|x<－1或x≥2}， 故A∩(∁UB)＝{x|x<－1或x≥2}. 答案 {x|x<－1或x≥2}

B级 能力提升

13.(2020·福州检测)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，则( ) A.A∪B＝∅ C.A∩B＝{0}

B.B⊆A D.A⊆B

解析 由题意，得A＝{x|x2－16<0}＝{x|－414.已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )

A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) C.[－2，1]

B.[－1，2] D.[2，＋∞)

解析 集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}， 因A∪B＝A，则B⊆A.

a≥－2，

又B≠∅，所以有所以－2≤a≤1.

a＋1≤2，答案 C

15.(多填题)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，

14

且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5则B＝{x|m答案 －1 1

16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.

解析 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁UB＝[1，＋∞)，A∩(∁UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}. 答案 [1，2)

C级 创新猜想

17.(多填题)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－

B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.

解析 由题意，得A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－315