重复正交试验的方差分析

1. 简介

正交表的各列都已安排满因素或交互作用，没有空列，为了估价试验误差和进行方差分析，需要进行重复试验；正交表的列虽未安排满，但为了提高统计分析精确性和可靠性，往往也进行重复试验。重复试验，就是在安排试验时，将同一处理试验重复若干次，从而得到同一条件下的若干次试验数据。

重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析没有本质区别，除误差平方和、自由度的计算有所不同，其余各项计算基本相同。

(本文内容来自于网络资料的整理，希望能帮助到在寻找重复正交试验的方差分析方法的同学)

1.1 无重复试验计算表格

表10-21 Ln（mk）正交表及计算表格AB……表头设计试验数据列号试验号12…n111…m2……………k……xix1x2…xnnxi2x12x22…xn2……………………………………K1jK2j…K11K21…K12K22…K1kK2k…T2T＝xi CT ni＝1QT＝x2ii＝1nKmjK1j2K2j2…Km1K112K212…Km2K122K222…KmkK1k2K2k2…SST＝QTCT1m2Qj＝Kijri＝1SSj＝QjCTKmj2SSjKm12SS1Km22SS2Kmk2SSk

1.2 有重复试验计算方法

（1）假设每号试验重复数为s，在计算K1j，K2j，…时，是以各号试验下“s个试验数据之和”进行计算。

（2）重复试验时，总偏差平方和SST及自由度dfT按下式计算。

式中，n－正交表试验号 S－各号试验重复数

Xit－第i号试验第t次重复试验数据 T－所有试验数据之和（包括重复试验）

ns2T2SSTxitnsi1t1dfTns1nsTxit

i1t1（3）重复试验时，各列偏差平方和计算公式中的水平重复数改为“水平重复数乘以试验重复数”，修正项CT也有所变化，SSj的自由度dfj为水平数减1。

（4）重复试验时，总误差平方和包括空列误差SSe1和重复试验误差SSe2，即

1mT22SSjKijrsj1nsdfjm1SSeSSe1SSe2自由度dfe等于dfe1和dfe2之和，即

dfedfe1dfe2Se2和dfe2的计算公式如下：

1nsSSe2xit(xit)2si1t1i1t1dfe2n(s1)2nsSSeMSe（5）重复试验时，用 dfe 检验各因素及其交互作用的显著性。SSe当正交表各列都已排满时，可用 MSe 2 来检验显著性。 2dfe2

1.3 实例分析

1.3.1 四因素四水平正交试验

在粒粒橙果汁饮料生产中，脱囊衣处理是关键工艺。为寻找酸碱二步处理法的最优工艺条件，安排四因素四水平正交试验。试验因素水平表见表 1-1。

表 1-1 因素水平表 试验因素 水平 NaOH％ A 1 2 3 4 0.3 0.4 0.5 0.6 Na5P3O10 ％ B 0.2 0.3 0.4 0.5 处理时间 min C 1 2 3 4 处理温度℃ D 30 40 50 60 为了提高试验的可靠性，每个处理的试验重复3次。试验指标是脱囊衣质量，根据囊衣是否脱彻底，破坏率高低，汁胞饱满度等感官指标综合评分，满分为10分。试验方案及试验结果见表 1-2。

表 1-2 试验方案及试验结果

表头设计处理号 12345678910111213141516K1jK2jK3jK4jK1j2K2j2K3j2K4j2A1111122223333444455.280.887.579.53047.046528.647656.256320.25B2123412341234123461.17283.786.23733.2151847005.697430.44C3123421433412432159.879.183.380.83576.046256.816938.896528.64D4123434124321214368.270.883.280.84651.245012.646922.246528.64空列5123443212143341282.775.967.676.86839.295760.814569.765898.24Ⅰ245.566.35.17878.46.57568.57试验指标ⅡⅢ224.54666.56.76.56.74.84.67.47.28.58.77.17.38.58.96.36.17.37.14.54.76.56.78.58.76.56.9和6.012.517.519.219.514.521.625.221.425.818.921.414.219.225.720.4

1.3.2 计算

1）计算各列各水平的K值

K11612.517.519.255.2K2119.514.521.625.280.8...K4519.219.518.919.276.82）计算各列偏差平方和及自由度

21mT2SSjKijrsj1nsdfjm1本例中中，n－正交表试验号：16 s－各号试验重复数：3

Xit－第i号试验第t次重复试验数据 T－所有试验数据之和（包括重复试验）

r－每列各水平重复数：4 m－水平个数：4

1T22222ssA(K11K12K13K14)4316311(3047.046528.647656.256320.25)303212481962.681912.6949.99同理可计算SSB=SS2＝33.42，SSC＝29.01，SSD=13.54，SSe1=9.65

1163SSe2xit(xit)23i1t1i1t11222222(22...6.9)(612.5...20.4)32050.322048.312.012163SSeSSe1SSe29.652.0111.66dfA=dfB=dfC=dfD=4-1=3 dfe1=df空列=4-1=3 dfe2=n(s-1)=16(3-1)=32

（3）计算方差

dfedfe1dfe233235SSA49.99MSA16.66dfA3同理： MSB11.14 MSC9.67 MSD4.51 MSe＝0.33MS因素SS因素df因素

1.3.3 显著性检验

列方差分析表见表 1-3

表 1-3方差分析表

变异来源 ABCD误差e1重复误差e2 误差e总和 平方和 49.9933.4229.0113.549.652.0111.66137.63自由度 33333323547均方 16.6611.149.674.51F值 50.4833.7629.313.67FaF0.05(3,35)=2.88F0.01(3,35)=4.40显著水平 ********

1.3.4 确定最优条件

四个因素的作用高度显著。因素作用的主次顺序为A、B、C、D。通过比较Kij值，可确定各因素的最优水平为A3、B4、C3、D3，最优水平组合A3B4C3D3。

2. 重复取样的方差分析

2.1 重复试验与重复取样

重复试验虽然可以提高试验结果统计分析的可靠性，但同时也随试验次数的成倍增加而增加试验费用。在实际工作中，更常用的是对每个试验处理同时抽取n个样品进行测试，这种方法叫做重复取样。

重复取样可提高统计分析的可靠性，但它与重复试验有区别。重复试验反映的是整个试验过程中的各种干扰引起的误差，是整体误差；重复取样仅反映了原材料的不均匀性及测定试验指标时的测量误差，不能反映整个试验过程中的试验干扰，属于局部误差。通常局部误差比试验误差要小一些。原则上不能用来检验各因素及其交互作用的显著性，否则，会得出几乎所有因素及其交互作用都是显著的不正确结论。但是，若符合以下情况，也可以把重复取样得到的试样误差当作试验误差，进行检验。

（1）正交表各列以排满，无空列提供一次误差Se1。这时，可用重复取样误差作为试验误差来检验显著性。若有一半左右因素及交互作用不显著，就可以认为这种检验是合理的。

（2）若重复取样得到的误差Se2与整体误差Se1相差不大，两个误差的F值小于Fa（dfe1,dfe2），表明差别不显著。这时，就可以将二者合并作为试验误差用于检验。即

SSeSSe1SSe2dfedfe1dfe2重复取样方差分析与重复试验方差分析步骤及计算方法一样。

参考文献

致谢