2013年高考理科数学江苏卷

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共6页,均为非选择题（第1题～第20题,共20题）.本卷满分为160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式：

nn样本数据x,x,x212112,n的方差sn(xix),其中xi1nxi

i1棱锥的体积公式V13Sh,其中S是锥体的底面积,h为高

棱柱的体积公式VSh,其中S是棱柱的底面积,h为高

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．

. 1.函数y3sin(2xπ4)的最小正周期为 .

2.设z(2i)2（i为虚数单位）,则复数z的模为 .

3.双曲线x216y291的两条渐近线的方程为 .

4.集合{1,0,1}共有 个子集.

数学试卷 第1页（共6页） 5.如图是一个算法的流程图,则输出的n的值是 .

6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）,结果如下： 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 93 乙 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 . 7.现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选

取,则m,n都取到奇数的概率为 .

8.如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为

V2,则V1:V2 .

9.抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部与边界）.若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x2y的取值范围是 .

10.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD1AB,BE2BC,若uDEuuruABuur23uuur12AC（1,2为实数）,则12的值为 .

11.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为 .

数学试卷 第2页（共6页） .在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为x2y212a2b21(ab0),右焦点为F,右

准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若

d26d1,则椭圆C的离心率为 .

13.在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y1x(x0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为22,则满足条件的实数a的所有值为 .

14.在正项等比数列{a1n}中,a52,a6a73,则满足a1a2ana1a2an的最大

正整数n的值为 .

二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.（本小题满分14分）

已知向量a(cos,sin),b(cos,sin),0π. （Ⅰ）若|ab|2,求证：ab；

（Ⅱ）设c(0,1),若abc,求,的值.

16.（本小题满分14分）

如图,在三棱锥SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.过A作

AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证：

（Ⅰ）平面EFGP平面ABC； （Ⅱ）BCSA.

数学试卷 第3页（共6页）

17.（本小题满分14分）

如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l：y2x4.设圆C的半径为1,圆心在l上.

（Ⅰ）若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切 线的方程；

（Ⅱ）若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a 的取值范围.

18.（本小题满分16分）

如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到

C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游

客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130

m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cosA12313,cosC5.

（Ⅰ）求索道AB的长；

（Ⅱ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？

（Ⅲ）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？

19.（本小题满分16分）

设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d0),Sn是其前n项的和.记bnnnSn2c,nN*,其中c为实数.

（Ⅰ）若c0,且b2N*1,b2,b4成等比数列,证明：SnknSk(k,n)；

（Ⅱ）若{bn}是等差数列,证明：c0. 20.（本小题满分16分）

设函数f(x)lnxax,g(x)exax,其中a为实数.

（Ⅰ）若f(x)在(1,)上是单调减函数,且g(x)在(1,)上有最小值,求a的取值范围；

（Ⅱ）若g(x)在(1,)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.

数学试卷 第4页（共6页） 数学Ⅱ(附加题)

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共2页,均为非选择题（第21题～第23题）.本卷满分为40分,考试时间为 30分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 21.【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

A.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC2OC.

求证：AC2AD.

B.（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A1002,B1206,求矩阵A-1B.

C.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为xt1,y2t,（t为参数）,曲线C的参数

x2tan2方程为,y2tan,（为参数）.试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公

共点的坐标.

D.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知a≥b＞0,求证：2a3b3≥2ab2a2b.

数学试卷 第5页（共6页） 【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,点D是BC的中点.

（Ⅰ）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（Ⅱ）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.

23.（本小题满分10分）

k1k设数列{a2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(11)44k4,2,(441)431kn}：1,,,即当

k个(k1)k2＜n≤k(k1)2(kN*)时,ak1n(1)k.记Sna1a2an(nN*).对于lN*,定义集合Pl{n|Sn是an的整数倍,nN*,且1≤n≤l}. （Ⅰ）求集合P11中元素的个数； （Ⅱ）求集合P2000中元素的个数.

数学试卷 第6页（共6页）