临海市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

临海市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（ ） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，

] C．（﹣∞，

] D．（﹣∞，

]

2． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4 3． 如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B．1﹣ C． D．1﹣

，

），则它的直角坐标为（ ）

C．（，，）

D．（

，，

）

4． 已知点M的球坐标为（1，A．（1，

，

）

B．（，

，）

5． 设集合AxR||x|2，BxZ|x10，则AA.x|1x2 B.x|2x1 C. 2,1,1,2 6． sin570°的值是（ ） A．

B．﹣ C．

D．﹣

B（ ）

D. 1,2

【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．

7． 设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．6 8． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．20 B．25 C．22.5 D．22.75

9． 下列4个命题：

①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”； ②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；

③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；

④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2； 其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．复数A．

11．已知直线 a平面，直线b平面，则（ ）

A．ab B．与异面 C．与相交 D．与无公共点

12．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品 C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案

，且获得一等奖

=（ ） B．

C．

D．

二、填空题

13．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．

14．已知tan()3，tan(4)2，那么tan . 第 2 页，共 15 页

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15．设不等式组

的概率是 ．

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2

16．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=17．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

，则sin（α+）= ．

S10S82，则S2016的值等于 . 108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 18．当下社会热议中国人口，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣岁劳动人口所占比例：

2030 2035 年份 年份代号t 所占比例y 1 68 2 65 2040 3 62 2045 4 62 2050 5 61 根据上表，y关于t的线性回归方程为 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．

三、解答题

19．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，

过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．

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20．已知、、是三个平面，且、三线共点．

21．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；

（II）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数fxalnxc，a，b，且abO．求证：、

f1处的切线方程； （1）当a2时，求函数fx在点1，（2）讨论函数fx的单调性；

11． x11a（3）当0a时，求证：对任意x，+，都有122x

xae．

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23．已知

（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．

24．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

，其中e是自然常数，a∈R

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临海市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立， 所以（x+y）（+）=10+当且仅当

≥10

=16，

；

时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m

]；

故m的取值范围是（﹣故选D．

2． 【答案】A 【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 3． 【答案】B

【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为公式可得该点取自阴影部分的概率是故选：B．

【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．

4． 【答案】B

【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z）， ∵点M的球坐标为（1，∴x=sin

cos

=，y=sin

，sin

）， =

，z=cos

=

；

，所以阴影部分的面积为2﹣

，由几何概型

∴M的直角坐标为（，，）．

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故选：B．

【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，

5． 【答案】D 6． 【答案】B

【解析】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣． 故选B

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：设an的前三项为a1,a2,a3，则由等差数列的性质，可得a1a32a2，所以a1a2a33a2，

【解析】由绝对值的定义及|x|2，得2x2，则Ax|2x2，所以AB1,2，故选D.

a1a38a12a16解得a24，由题意得，解得或，因为an是递增的等差数列，所以

a6a2aa123313a12,a36，故选B．

考点：等差数列的性质． 8． 【答案】C

【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，则 0.3+（x﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C．

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．

9． 【答案】C

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22

【解析】解：①命题“若x﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x﹣x≠0”，①正确； ②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确； ③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，

由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；

④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C．

10．【答案】A

【解析】解：故选A．

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．

11．【答案】D 【解析】

试题分析：因为直线 a平面，直线b平面，所以a//b或与异面，故选D. 考点：平面的基本性质及推论. 12．【答案】D

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

=

=

=

，

则根据题意有：，作可行域为：

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A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。 其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。 所以A、B、C正确，D错误。 故答案为：D

二、填空题

13．【答案】 4+ ．

【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=，

球O的半径为3，球O1 的半径为1， 则，

在Rt△OMO1中，OO1=4，

，

∴

=

，

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．

故答案为：4+

．

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2，16），（3，9），精选高中模拟试卷

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

14．【答案】【解析】

试题分析：由tan(4 34)1tan1tan()tan2得tan， tantan[()]

1tan31tan()tan134． 131333考点：两角和与差的正切公式． 15．【答案】

【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外 区域D：

表示正方形OABC，（如图） ．

其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）． 因此在区域D内随机取一个点P，

则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内， 且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分

22

∵S正方形OABC=2=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•2=4﹣π

∴所求概率为P=故答案为：

=

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【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．

16．【答案】：

【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

∵α为锐角，sin（α+∴sin（α+

）

=

⇒α∈（0，，

），从而cos2α取正值， ，

．

）＞0，

=

．

故答案为：

．

===

17．【答案】2016

18．【答案】 y=﹣1.7t+68.7

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【解析】解： =， ==63.6．

=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．

=4+1+0+1+2=10．

∴

=﹣

=﹣1.7.

=63.6+1.7×3=68.7．

∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7． 故答案为y=﹣1.7t+68.7．

【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，

∴

22

，解得a=4，b=3，

∴椭圆C的方程为=1．

），

（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣代入椭圆∴

22

，化简，得（3t+4）y+6ty﹣9=0，

，，

设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0）， 则直线F1M：∴令μ=∵y=

=

|∈[1，=

），则在[1，

，令x=4，得P（4，|=15×|

=180×）上是增函数，

，

），同理，Q（4，

|=180×|

）， |，

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∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．

20．【答案】证明见解析． 【解析】

考点：平面的基本性质与推论． 21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|， 由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3

当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣； 当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅； 当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．

综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）； （Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|， 则f（x）的最小值为|a﹣1|． 要使∀x∈R，f（x）≥2成立， 则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，

即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．

22．【答案】（1）xy10；（2）见解析；（3）见解析.

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【解析】试题分析：（1）当a2时，求出导数易得f'11，即k1，利用点斜式可得其切线方程；（2）

ax11a0a00a，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可 2x2aaa得函数fx在1，，化简可得所证结论. 2上单调递减，故f1f1，即aln1xxxa试题解析：（1）当a2时，

112121fx2lnx1，f12ln110，f'x2，f'121，所以函数fx在点

x1xx110处的切线方程为y01x1，即xy10． 1，求得可得f'x（2）fxalnx1a1ax11，定义域为0，，f'x22． xxxx1 a1 a①当a0时，f'x0，故函数fx在0，上单调递减； ②当a0时，令f'x0，得xx 10， a1， af'x fx  ↘ 0 极小值  ↗ 综上所述，当a0时，fx在0，上单调递减；当a0时，函数fx在0，上单调递减，在

1a1，上单调递增． a1111（3）当0a时，由（2）可知，函数fx在0，上单调递减，显然，2，故1，20，，

2aaaaa1所以函数fx在1，2上单调递减，对任意x，+，都有01，所以112．所以

xx21a1aaaa10，所以aln1，即ln1，所以f1f1，即aln1ax1xxxaxxaxaa，即11lnxaln1xx23．【答案】

xaa1，所以1x

xae．

【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，

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∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减． 当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增． 所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．

（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1． 又g′（x）=

，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．

所以g（x）的最大值为g（e）=， 所以f（x）min﹣g（x）max＞，

所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．

【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．

24．【答案】

22

【解析】解：设g（x）=x+2ax+4，由于关于x的不等式x+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立， ∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，

2

故△=4a﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2． x

又∵函数f（x）=（3﹣2a）是增函数，

∴3﹣2a＞1，得a＜1．

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假． （1）若p真q假，则（2）若p假q真，则

，得1≤a＜2；

，得a≤﹣2．

综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．

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