调和点列性质

性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、

F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。

证明:A、D、E、F四点调和又而

ADADACBDDC **AFABAFBFCFDESFESBDCBFCADAFADDE  ① DEFEAFFEABD*CD*sinBDCBDCD

BF*FC*sinBFCBFFCDEC故①成立。得证！

推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。 证明：暂略。

BDABFCE性质2：

FA、B、C、D调和证明： 而

即

112 ABADAC112112bcABADACaa+b+caba(ab)(ab)(abc)bcaabcaabcbc证。

推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OA2OBOD.

反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OAOBOD，则A、B、C、D四点调和。

2性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AMMC

则必有MC平分BMD，MA外角平分BMD. 这是调和点列应用中相当重要的一个性质。

M

ABCD

MAA'BCC'D

证明：反证法。

反设MC不平分BMD，作MC’平分角BMD交BD与C’，MA’外角平分角BMD交DB延长线与A’ ，则MC'MA'

由内角平分线定理，

BC'BMC'DMD 有外角平分线定理，BA'BMA'DMD 所以BA'BC'A'DC'D② 由A、B、C、D成调和点列知

BCBACDAD 注意到BC'BCBC'BCC'DCDBDBD成立 BA'BABA'BAA'DADBDBD成立 所以BA'BABCBCBDBDBD'BD 与②矛盾！ 所以MC平分BMD，MA外角平分BMD