平面向量及其应用中难题训练

一、多选题

1．已知非零平面向量a，b,c,则（ ）

A．存在唯一的实数对m,n，使cmanb B．若abac0，则b//c C．若a//b//c，则a+b+cabc D．若ab0，则abab 2．已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若形的形状是（ ） A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形

3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（ ） A．a:b:csinA:sinB:sinC C．若sinAsinB，则AB

B．若sin2Asin2B，则ab D．

cosAb，则该三角cosBaabc sinAsinBsinC4．已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且

AEEB，AD2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）

A．ABCE1 C．OAOBOCB．OEOC0

3 2D．ED在BC方向上的投影为

7 65．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）

A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解

6．在ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，若a1，b2，A30，则B（ ）

A．30 则（ ）

B．45

C．135

D．150

7．如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为线段AD,CD的中点，AFCEG，

A．AFAD1AB 2B．EF1(ADAB) 2C．AG21ADAB 33D．BG3GD

8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA1，则下列结论正确的有（ ）

A．OAOD2 2B．OBOH2OE C．AHHOBCBO D．AH在AB向量上的投影为2 29．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）

A．若ab，则sinAsinB

B．若sin2Asin2B，则ABC是等腰三角形 C．若acosBbcosAc，则ABC是直角三角形 D．若a2b2c20，则ABC是锐角三角形

10．设向量a，b满足ab1，且b2a5，则以下结论正确的是（ ） A．ab

B．ab2

C．ab2 D．a,b60

11．给出下列命题正确的是（ ） A．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B．ababa与b方向相同 C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同

D．若向量AB与向量CD是共线向量，则点A,B,C,D必在同一直线上 12．在下列结论中，正确的有（ ）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 C．两个相等向量的模相等

B．平行向量又称为共线向量

D．两个相反向量的模相等

13．已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是（ ） A．mabmamb

B．mnamana

C．若mamb，则ab

D．若manaa0，则mn

14．已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足BA．2

B．3

C．

3,ac3b,则

D．

a( ) c1 21 315．化简以下各式,结果为0的有( ) A．ABBCCA C．OAODAD

B．ABACBDCD D．NQQPMNMP

二、平面向量及其应用选择题

16．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A．

33 23B．

53 23C．

73 23D．

83 2317．O为ABC内一点内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

aOAbOBcOC0，且tanAOAtanBOBtanCOC0，若a3，则边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为（ ） A．

2 3B．

4 3C．

 6D．

 318．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为ABC的面积，满足bcosAacosB，且角B是角A和角C的等差中项，则ABC的形状为（ ） A．不确定 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

b，c.①若AB，则sinAsinB；19．ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，②若sin2Asin2B，则ABC一定为等腰三角形；③若acosBbcosAc，则

ABC一定为直角三角形；④若B3，a2，且该三角形有两解，则b的范围是

3，.以上结论中正确的有（ ）

B．2个

C．3个

D．4个

A．1个

ABACABAC1BC020．已知非零向量AB，AC满足，且，则ABC|AB||AC||AB||AC|2的形状是( ) A．三边均不相等的三角形 C．等腰（非等边）三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

21．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD15，BDC45，CD302m，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为( )

A．302m B．203m

C．60m D．20m 222．已知a2b0，且关于x的方程xaxab0有实根，则a与b的夹角的

取值范围是( ) A．0,

6B．, 3C．2, 33D．, 623．如图，ADC是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB＝90，BD与

AC交于E点.若AB2，则AE的长为（ ）

A．62 B．

1(62) 2C．62 D．

1(62) 224．已知两不共线的向量acos,sin，bcos,sin，则下列说法一定正确的是（ ）

A．a与b的夹角为

B．ab的最大值为1

C．ab2 D．abab

25．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75，则山高BC=（ ）

A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米

26．如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，

BC3EC，F为AE的中点，则BF＝（ ）

21ABAD 3321ABAD 332A．B．

12ABAD 3312ABAD 33C．D．27．在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若

Sa2bc，则cosA等于（ ）

A．

4 5B．4 522C．

15 17xD．15 1728．已知圆C的方程为(x1)(y1)2，点P在直线y的直径，则PAPB的最小值为（） A．2

B．

3上，线段AB为圆C5 2C．3 D．

7 229．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MPA．(－8,1) 3C．1,

21MN，则P点的坐标为( ) 23B．1,

2D．(8，－1)

30．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

(abc)(acb)(23)ac，则cosAsinC的取值范围为

A．(33,) 22B．(3,3) 2C．(,3]

32D．(,3)

3231．在ABC中，若 abcosC，则ABC的形状是（ ） A．直角三角形 C．等腰直角三角形

B．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

32．如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BMABAC，则（ ）

A．1

B．1 2C．2

D．3 233．已知m,n是两个非零向量，且m1，|m2n|3，则|mn|+|n|的最大值为 A．5 B．10

C．4

D．5

34．已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且

PA•PBPB•PCPC•PA，则点O，N，P依次是ABC的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心

35．在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a，BC＝b，则AM＝( ) A．

1(ab) 2B．

1(ab) 2C．

1ab 2D．a1b 2

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．BD 【分析】

假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确. 【详解】

A选项，若与共线，与，都

解析：BD 【分析】

假设a与b共线，c与a，b都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确. 【详解】

A选项，若a与b共线，c与a，b都不共线，则manb与c不可能共线，故A错； B选项，因为a，b,c是非零平面向量,若abac0，则ab，ac，所以

b//c，即B正确；

C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由a//b//c不能推出

a+b+cabc；如a与b同向，c与a反向，且abc，则a+b+cabc，故C错；

D选项，若ab0，则ababab2ab2ab222ab22，

ab2ab2ab222ab，所以abab，即D正确.

故选：BD. 【点睛】

本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.

2．D 【分析】

在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.

故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查

解析：D 【分析】 在ABC中，根据

cosAbcosAsinB，利用正弦定理得，然后变形为cosBacosBsinAsin2Asin2B求解.

【详解】 在ABC中，因为由正弦定理得

cosAb， cosBacosAsinB， cosBsinA所以sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B， 所以2A2B或2A2B， 解得AB或AB2.

故ABC是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】

本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确； 对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误； 对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A，在ABC，由正弦定理得

abc2R，则sinAsinBsinCa:b:c2RsinA:2RsinB:2RsinCsinA:sinB:sinC，故A正确；

对于B，若sin2Asin2B，则AB或AB误；

2，所以a和b不一定相等，故B错

对于C，若sinAsinB，由正弦定理知ab，由于三角形中，大边对大角，所以

AB，故C正确；

abc2R，则sinAsinBsinCbc2RsinB2RsinC2R，故D正确.

sinBsinCsinBsinC故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

对于D，由正弦定理得

4．BCD 【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，

解析：BCD 【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E为AB中点，则CEAB，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，E(0,0),A(1,0),B(1,0),C(0,3),D(,123)， 3323)，BO∥DO， 3设O(0,y),y(0,3),BO(1,y),DO(,y所以y132313， y，解得：y332即O是CE中点，OEOC0，所以选项B正确；

OAOBOC2OEOCOE3，所以选项C正确； 2因为CEAB，ABCE0，所以选项A错误；

123ED(,)，BC(1,3)，

3312EDBC7ED在BC方向上的投影为3，所以选项D正确.

26BC故选：BCD 【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

5．ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于，因为为锐角且，所以三角

解析：ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若B为锐角，当cb时，三角形有唯一解；当

csinBbc时，三角形有两解；当csinBb时，三角形无解：当csinBb时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于A，因为B为锐角且c45b，所以三角形ABC有唯一解，故A错误；

对于B，因为B为锐角且csinB4解，故B错误；

对于C，因为B为锐角且 csinB4错误；

对于D，因为B为锐角且csinB4正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.

3233.9bc，所以三角形ABC有两23233b，所以三角形ABC无解，故C23232b，所以三角形ABC无解，故D26．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sinB的值，由此得出正确选项. 【详解】

1ab2bsinA解：根据正弦定理得： 22， sinBsinAsinBa12由于b故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

21a，所以B45或B135.

7．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A正确 ，即B正确

连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示

由其性质有 ∴，即C错误 同理 ，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得AFAD11AB、EF(ADAB)、2221ADAB、BG2GD，即可判断选项的正误 33【详解】 AGAFADDFAD11DCADAB，即A正确 2211EFEDDF(ADDC)(ADAB)，即B正确

22连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示

由其性质有∴AG|GF||GE|1 |AG||CG|2211121AEACAD(ABBC)ADAB，即C错误 33333321212同理BGBFBA(BCCF)BA(ADAB)

33333DG2111DFDA(ABDA)，即GD(ADAB) 3333∴BG2GD，即D错误 故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

8．AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于

解析：AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|1， 对于A:OAOD11cos32；故正确． 42对于B:OBOH2OA2OE，故正确．

对于C:|AH||BC|，|HO||BO|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．

对于D:AH在AB向量上的投影|AH|cos故选：AB． 【点睛】

32|AH|，|AH|1，故错误． 42本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

9．AC 【分析】

对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到sinAcosAsinBcosB，从而得到ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到A为锐角，但B，C无法判断，故D错误. 【详解】

对选项A，ab2rsinA2rsinBsinAsinB，故A正确； 对选项B，因为sin2Asin2BsinAcosAsinBcosB 所以AB或AB2，则ABC是等腰三角形或直角三角形.故B错误；

对选项C，因为acosBbcosAc，

所以sinAcosBsinBcosAsinCsinAC，

sinAcosBsinBcosAsinAcosBcosAsinB，sinBcosAcosAsinB， 因为sinB0，所以cosA0，A，ABC是直角三角形，故③正确；

2a2b2c2对D，因为abc0，所以cosA0，A为锐角.

2ab222但B，C无法判断，所以无法判断ABC是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

10．AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

，且,平方得，即，可得，故A正确； ，可得，故B错误； ，可得，故C正确； 由可得，故D错误; 故选：AC 【点睛】

解析：AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

ab1，且b2a5,平方得b24a24ab5，即ab0，可得ab，故A

正确；

abab2ab2ab2，可得ab2，故B错误； ab2ab2，可得ab2，故C正确；

22222由ab0可得a,b90，故D错误; 故选：AC 【点睛】

本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.

11．C 【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B，两边平方化简；

对C，根据向量相等的定义判断； 对D，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A

解析：C 【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B，两边平方化简abab； 对C，根据向量相等的定义判断； 对D，根据向量共线的定义判断. 【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A错误；

B中，由abab，得2|a||b|2ab，得|a||b|(1cos)0， 则|a|0或|b|0或cos1，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a与b方向不一定相同，B错误；

C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确； D中，由共线向量的定义可知点A,B,C,D不一定在同一直线上，D错误. 故选：C 【点睛】

本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.

12．BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确； C. 相等向量方向相同，模相等，正确； D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

13．ABD 【分析】

根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性. 【详解】

根据向量数乘的运算可知A和B正确；C中，当时，，但与不一定相等，

解析：ABD 【分析】

根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过m的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性. 【详解】

根据向量数乘的运算可知A和B正确；C中，当m0时，mamb0，但a与b不一

定相等，故C不正确；D中，由mana，得mna0，因为a0，所以mn，故D正确. 故选：ABD 【点睛】

本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.

14．AC 【分析】

将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，

由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应

解析：AC 【分析】

将ac3b两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵B3,ac3b，

2222∴(ac)ac2ac3b①， 由余弦定理可得，ac2accos223b2②，

联立①②，可得2a25ac2c20，

aa即2520， cc2a1a2或. cc2故选：AC. 【点睛】

解得

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.

15．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

ABBCCAACCA0;

ABACBDCD(ABBD)(ACCD)ADAD0; OAODAD(OAAD)ODODOD0;

NQQPMNMPNPPMMNNMNM0.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

如解析中图形，可在HAB中，利用正弦定理求出HB，然后在RtHBO中求出直角边

HO即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】

如图，由题意HAB45,HBA105，∴AHB30， 在HAB中，

HBABHB102，即，HB20． sinHABsinAHBsin45sin30∴OHHBsinHBO20sin60103，

v10353（米/秒）． 4623故选B． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 17．A 【分析】 根据题意得出

tanAtanBtanC，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出abcABC，从而可得知ABC为等边三角形，进而可求得BC所对的ABC外接圆的劣弧

长. 【详解】

aOAbOBcOC0，OCabOAOB， cctanAactanAtanBtanCOAOB，同理可得OC，

btanBtanCtanCtanCctanAtanBtanC， abctanAtanBtanC111，所以，， sinAsinBsinCcosAcosBcosC， 3由正弦定理得

cosAcosBcosC，

由于余弦函数ycosx在区间0,上单调递减，所以，ABC32设ABC的外接圆半径为R，则，R1， 3222所以，边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为R2A1. 33故选：A. 【点睛】

2R本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．D 【分析】

先根据bcosAacosB得到A,B之间的关系，再根据B是A,C的等差中项计算出B的大小，由此再判断ABC的形状.

asinA【详解】

因为bcosAacosB，所以sinBcosAsinAcosB， 所以sinBA0，所以AB， 又因为2BACB，所以B所以AB故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b是a,c的等差中项，则有2bac；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．B 【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得AB或AB3，

3，所以ABC是等边三角形.

2，ABC是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC， 结合sinCsinABsinAcosBsinBcosA 可知cosAsinB0，因为sinB0，所以cosA0， 因为0A，所以A④由正弦定理

2，因此③正确；

abasinB3得b， sinAsinBsinAsinA2AB,A 332因为三角形有两解，所以

所以sinA故选：B 【点睛】

3,1，即b23,2，故④错误.

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 20．D 【分析】

ABAC先根据|AB||AC|BC0，判断出A的角平分线与BC垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C，判断出三角形的形状． 【详解】

ABACABACBC0解：，，分别为单位向量， |AB||AC||AB||AC|A的角平分线与BC垂直， ABAC，

cosAABAC1，

|AB||AC|2A， 33，

BCA三角形为等边三角形．

故选：D． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 21．D 【分析】

由正弦定理确定BC的长，再AB【详解】

BCtan30求出AB．

BCD15，BDC45

CBD120

由正弦定理得：

302sin120BC sin45203 BC302sin45sin120AB故选D

BCtan302033320

【点睛】

本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC，属于基础题． 22．B 【分析】

根据方程有实根得到a4abcos0，利用向量模长关系可求得cos21，2根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】

关于x的方程xaxab0有实根 2a4ab0

2设a与b的夹角为，则a4abcos0 又a2b0 2b4bcos0 cos又0, 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 23．A 【分析】

由条件求得∠BCD＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB＝105°．计算sin105°，代入正弦定理【详解】

由题意可得，AC＝BC＝CD＝DA∠BEC＝75°，∠AEB＝105°．

再由 sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°△ABE中，由正弦定理可得

21 2, 3AEAB，化简求得AE62． sin30sin1052，∠BAC＝45°，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+60°

＝150°．又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE＝15°，故∠ABE＝45°﹣15°＝30°，故

62， 4AEAB， sin30sin105AE∴12262，∴AE62）， 4故选:A． 【点睛】

本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 24．D 【分析】

由向量夹角的范围可判断A选项的正误；计算出ab，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项的正误；计算

abab的值可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

acos,sin，bcos,sin，则acos2sin21，同理可得

b1，

a与b不共线，则sincoscossinsin0，则kkZ.

对于A选项，由题意知，a与b的夹角的范围为0,，而R且

kkZ，A选项错误；

对于B选项，设向量a与b的夹角为，则0，所以，

ababcoscos1,1，B选项错误；

对于C选项，由于a与b不共线，由向量模的三角不等式可得abab2，C选项错误； 对于D选项，选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 25．D 【分析】

作出图形，过点S作SEAC于E，SHAB于H，依题意可求得SE在BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC． 【详解】

解：依题意，过S点作SEAC于E，SHAB于H，

ababa2b2ab0，所以，abab，D

22

SAE30，AS1000米，CDSEASsin30500米，

依题意，在RtHAS中，HAS453015，HSASsin15， 在RtBHS中，HBS30，BS2HS2000sin15， 在RtBSD中，

BDBSsin752000sin15sin752000sin15cos151000sin30500米， BCBDCD1000米，

故选：D． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 26．C 【分析】

根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】

解：BFBAAFBA111AEABADABCE 222111ABADABCB

223ABABAB111ADABCB 246111ADABCDDAAB 2461111ADABABADAB 2462AB1111ADABABAD 2412621ABAD 33故选：C. 【点睛】

本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题. 27．D 【分析】

由Sa(bc)，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：

221bcsinA2bccosA2bc，化为sinA4cosA4，与sin2Acos2A1．解出即2可． 【详解】

解：Sa2(bc)2，

Sb2c2a22bc， 1bcsinA2bccosA2bc， 2所以sinA4cosA4， 因为sin2Acos2A1． 解得cosA15或cosA1． 17因为1cosA1，所以cosA1舍去．

cosA15． 17故选：D． 【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 28．B 【分析】

将PAPB转化为|PC|22，利用圆心到直线的距离求得|PC|的取值范围求得PAPB的最小值. 【详解】

PAPB(PCCA)(PCCB)(PCCA)(PCCA)53.故选B. |PC|2|CA|2|PC|22222【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 29．B 【分析】

由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】

解：设P(x，y)，则MP＝ (x－3，y＋2)，而

2111MN＝(－8,1)＝4,，

222x34x13P1,所以，解得，即13，

2y2y22故选B. 【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 30．A 【分析】

先化简已知abcacb23ac得B6，再化简

cosAsinC3sin(A)，利用三角函数的图像和性质求其范围.

3【详解】

由(abc)(acb)(23)ac可得(ac)2b2(23)ac，即

5a2c2b23BCA，所以，，，所以所以cosBacb3ac662ac2222cosAsinCcosAsin(5A)65533cosAsincosAcossinAcosAsinA3sin(A)，又

662235250A，0A，所以A，所以A，所以

2623233633333sin(A)，故cosAsinC的取值范围为(,)．故选A．

22262【点睛】

(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A的范围

3A2，不是

0A31．A

2.

【分析】

利用正弦定理边角互化思想化简可得cosB0，求得角B的值，进而可判断出ABC的形状. 【详解】

abcosC，由正弦定理得sinAsinBcosC，即

sinBcosCsinBCsinBcosCcosBsinC，cosBsinC0，

0C，sinC0，则cosB0，

0B，所以，B，因此，ABC是直角三角形.

2故选：A. 【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 32．B 【分析】

由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】

如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BDtBCtACAB， 因为M是线段AD的中点，所以：

BM1111BABDABtACtABt1ABtAC， 2222又BMABAC，所以所以故选：B.

11t1，t， 221. 2

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 33．B 【分析】

先根据向量的模将|mn|+|n|转化为关于|n|的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值. 【详解】

|m|=1，|m2n|3，m2nmn24n4mn19,n2mn2,

222m2mnn=5-n,|mn|+|n|5nn，

2222令nx(0x5),fx5xx,则f'x2x25x21，令f'x0，得

x101010时， f'x0，当,当0xx5时， f'x0， 当22210时， fx取得最大值x2【点睛】

10f210，故选B. 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 34．C 【详解】

试题分析：因为OAOBOC，所以O到定点A,B,C的距离相等，所以O为ABC的外心，由NANBNC0，则NANBNC，取AB的中点E，则

NANB2NECN，所以2NECN，所以N是ABC的重心；由PA•PBPB•PCPC•PA，得(PAPC)PB0，即ACPB0，所以

ACPB，同理ABPC，所以点P为ABC的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用. 35．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC中，M是BC的中点， 又ABa,BCb， 所以AMABBMAB故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.

11BCab， 22