高三招生全国统一考试仿真数学文科试题（十）含答案

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普通高等学校招生全国统一考试仿真卷

文科数学（十）

本试题卷共28页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合Mx,y|x,y为实数,且x2y22，

Nx,y|x,y为实数,且xy2，则MN的元素个数为（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）

A．30

B．31

C．32

D．33

1 / 14

x2y21，则该双曲线的渐近线方程为（ ） 3．已知双曲线方程为2015A．yx

34B．yx

43C．y3x 2D．y23x 34．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y

11，y，yx，yx及xx圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．

1 4B．

18C．

π 4D．

π 85．已知等差数列an的前n项和为Sn，且3S22S315，则数列an的公差为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

6．设与均为锐角，且cosA．

71 981sin()53，，则cos的值为（ ）

147B．

1 2C．

711或 982D．

7159或 987．如果函数fx12mx2n8x1m2在区间2,1上单调递减，那2么mn的最大值为（ ） A．16

B．18

C．25

D．30

8．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为2等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（ ）

2 / 14

A．

2 2B．1 C．2 D．3

9．南宋时期的数学家秦九韶发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段

122c2a2b2文字写成公式，即Sca422．现有周长为225且sinA:sinB:sinC21:5:21的△ABC，则其面积为（ ）

A．3 4B．3 2C．5 4nD．5 210．数列an的前n项和为Snn2n1，bn1annN*．则数列bn的前50项和为（ ） A．49

B．50

C．99

D．100

11．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k0且k1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若

平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（ ） A．22 B．2

C．22

3D．2

312．已知不等式x1m2x在0,2上恒成立，且函数f(x)exmx在3,上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A．,25, B．,13 / 14

e5，

3

C．,25,e

2D．,25,e

3第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．若复数z为纯虚数，且z2（i为虚数单位），则z__． 1i214．已知向量m14，若mn，则2mn______． ，2，nx，15．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果

__________．

16．过抛物线C：若AF6，y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．

BF3，则p的值为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知向量acos2x,sin2x，b（1）求fx的最小正周期；

π（2）当x0,时，fx的最小值为5，求m的值．

23,1，函数fxabm．



4 / 14

18．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：

月份 促销费用x 产品销量y 1 2 1 2 3 1 3 6 2 4 10 3 5 13 3.5 6 21 5 7 15 4 8 18 4.5 （1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.01)；

ˆaˆbxˆ(系数精确到0.01)；如果该公司计划在9（2）建立y关于x的回归方程y月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01)．

参考数据：xi11yi374.5，xi11340，yi316.5，

i1i1i1nn2n234018.44，16.54.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，

i1，2，3，，8．参考公式： （1）样本xi,yii1,2,,n的相关系数ri1xixyiyni1xixn2i1yiyn2．

ˆaˆbxˆ的斜率（2）对于一组数据x1,y1，x2,y2，，xn,yn，其回归方程y5 / 14

ˆ和截距的最小二乘估计分别为bi1xixyiynni1xix2ˆ． ˆybx，a

19．四棱台被过点A1，C1，D的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD60，BB1平面ABCD，

BB12A1B12．

（1）求证：B1DAC；

（2）求点C1到平面A1B1D的距离．

20．已知椭圆C的左右顶点分别为A，B；A点坐标为2,0，P为椭圆C上不

1同于A，B的任意一点，且满足kAPkBP．

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（1）求椭圆C的方程；

（2）设F为椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一交点为Q，PQ的中点为M，若OMQM，求直线PF的斜率．

21．已知函数fxexax22x2（a0，e为自然对数的底数）． （1）若曲线yfx在点P2,f2处的切线垂直于y轴，求实数a的值； （2）当a0时，求函数fsinx的最小值．

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请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．已知曲线C1的极坐标方程为：4cos，以极点为坐标原点，以极轴为x轴

1x3t2 (t为参数)，点的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：y3t2A3,0．

（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程； （2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求APAQ的值．

8 / 14

23．已知函数fxx1x2．

（1）若不等式fxm1有解，求实数m的最大值M；

（2）在（1）的条件下，若正实数a，b满足3a2b2M，证明：3ab4．

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普通高等学校招生全国统一考试仿真卷

文科数学（十）答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 7．B

2．B 8．A

3．C 9．A

4．A 10．A

5．C 11．D

6．B 12．D

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．i

14．10

15．9

16．4

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】（1）Tπ；（2）m53．

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【解析】（1）由题意知：fxcos2x,sin2x3cos2xsin2xm·········2分 π2sin2xm，·········4分

33,1m

所以fx的最小正周期为Tπ．·········6分

π（2）由（1）知：fx2sin2xm，

3ππ4ππ当x0,时，2x，．·········8分

2333所以当2xπ4π时，fx的最小值为3m．·········10分 33又∵fx的最小值为5，∴3m5，即m53．·········12分 18．【答案】（1）见解析；（2）24.59万元． 【解析】（1）由题可知x11，y3，·········2分 将数据代入rni1(xix)(yiy)(xix)ni12(yiy)ni12，

得r74.574.50.995，·········5分

18.444.0674.86因为y与x的相关系数近似为0.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合y与x的的关系．（需要突出“很强”，“一般”或“较弱”，否则不给分）．····6分

niˆ74.50.219，·ˆ1(xix)(yiy)得b（2）将数据代入b········8分 2n340i1(xix)ˆ30.219110.59， ˆybxaˆ0.22x0.59．·所以y关于x的回归方程y········10分

ˆ0.22x0.596解得x24.59，由题y即至少需要投入促销费用24.59万元．······12

10 / 14

分

19．【答案】（1）见解析；（2）d21． 7【解析】（1）其底面四边形ABCD是边长为2的菱形， 则有BDAC，·········1分

∵BB1平面ABCD，∴ACBB1，·········2分 而BB1BDB，∴AC平面DBB1，·········4分

B1D平面DBB1；∴B1DAC．·········6分

（2）利用等体积法VC1A1B1DVDA1B1C1，·········8分

根据题目条件可求出A1B11，A1D7，B1D22，可知△A1B1D是直角三角形设点C1到平面A1B1D的距离为d，

111VC1A1B1DSA1B1Dd17d，·········9分

3321113VDA1B1C1SA1B1C1BB1112，·········10分

3322解得d21．·········2分 7x220．【答案】（1）y21；（2）2．

2【解析】（1）设Px,yx2，

1yy1，·∴kAPkBP，∴········2分

22x2x2x2整理得：y21x2，·········3分

2∵A、B两点在椭圆上，

x2∴椭圆C的方程为y21．·········4分

211 / 14

（2）由题可知，斜率一定存在且k0，设过焦点F的直线方程为xmy1，设

Px1,y1，Qx2,y2，Mx0,y0．

x2y21联立2········6分 ，则m22y22my10，·

xmy12myy21m221∴········7分 yy ，·122m28m212x0m22 ，·∴········8分 my0m22m24∴OM2，·········9分

m2∵QM1211PQ22x2x1y2y1222

m21y1y24y1y2m2122，·········10分

m2m24m2122又∵OMQM，∴2，·········11分

m2m2∴m21，∴k22，∴k2．·········12分 22a21．【答案】（1）a1；（2）2e．

【解析】由题得，fx(ex)(ax22x2)ex(ax22x2)

2ex(ax22x2)ex(2ax2)aex(x)(x2)．·········2分

a（1）由曲线yfx在点P2,f2处的切线垂直于y轴，得f20，

12 / 14

22a20， 即ae2(2)(22)4ae2aa解得a1．·········4分 （2）设sinxt(0t1)，

则只需求当a0时，函数yft(0t1)的最小值． 令fx0，解得x2或x2，·········5分 a而a0，即

22． a2+上单调递增， 从而函数fx在区间,2和区间,a2在区间2,上单调递减．·········7分

a当

21，即0a2时，函数fx在区间01··9,上为减函数，yminf1(a4)e；a分 当02221，即a2时，函数fx在区间0,上单调递减，在区间,1上单

aaa调递增，所以函数fx的极小值即为其在区间01,上的最小值，

ymin2f2ea．·········11分

a2综上可知，当0a2时，函数fsinx的最小值为a4e； 当a2时，函数fsinx的最小值为2e．·········12分

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．【答案】（1）x2y24x，y3x3；（2）APAQ3． 【解析】（1）4cos，24cos，2x2y2，

2a13 / 14

cosx，siny；x2y24x，

C1的直角坐标方程为：x2y24x，

1x3t2，y3(x3)， y3t2C2的普通方程为y3x3．·········5分

1x3t2（2）将，代入x2y24x，

y3t2131得：3tt243t，t23t9122t，t2t30，

242t1t21，t1t23，

2由t的几何意义可得：APAQt1t2t1t23．·········10分 23．【答案】（1）M4；（2）证明见解析．

【解析】（1）若不等式fxm1有解，只需fx的最大值fxmaxm1即可． 因为x1x2x1x23，所以m13，解得2m4， 所以实数m的最大值M4．·········5分

（2）根据（1）知正实数a，b满足3a2b24， 由柯西不等式可知3a2b2313ab， 所以，3ab16，因为a，b均为正实数， 所以3ab4(当且仅当ab1时取“=”)．·········10分

2214 / 14