四年级奥数讲义380学子教案库第9讲竞赛123班教师版

第九讲

排列组合

教学目标

1. 加强对排列组合知识的理解； 2. 掌握排列组合问题的解题思路。

经典精讲 排列 在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。这就是排列问题。在排列的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物之间的先后顺序有关。

一般地，从n个不同的元素中任取出m个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样。如果两个排列的元素不完全相同，或者各元素的排列顺序不完全一样，则就是两个不同的排列。

从n个不同元素中取出m个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm（mn），Pnmn(n1)(n2)(nm1)。当mn时就有Pnnn!n(n1)1，这称为n个不同元素的全排列。

讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一 下！

3253 计算：⑴P14P14； ⑵3P6P3 分析：⑴P14-74

32P1414131214132002；

⑵3P65P333(65432)3212154。

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【例1】 （2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）将A、B、C、D、E、F、

G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法？

【分析】 （法1）七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑。

若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有P55种，所以这种情况有21P55240种不同的站法。

若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都有两种选择。另五人的排列共有P55种，所以这种情况共有52P551200种不同的站法。 所以共有24012001440种不同的站法。

（法2）由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，所以共有2P661440种不同的站法。

【例2】 小明的书架上原来有6本书，不重新排列，再放上3本书，可以有多少种

不同的放法?

【分析】 （法1）放第一本书时，有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位

置可以选择；放第二本书时，有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择。同样道理，放第三本书时，有9个位置可以选择。由乘法原理，一共可以有789504种不同的放法。

（法2）原有6本书，再放上3本书后共有9本书，相当于9个位置放9本

书，后放上的3本书有P93种放法，这3本书放好后，剩下六个位置放原有的6本书，由于原有的6本书之间的顺序是确定的，所以只有1种放法，根据乘法原理，共有1P93504种放法。

1、【例3】 （2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）不重复地使用数字0、2、

3、4、5，请问共可组成多少个不同的三位数偶数？

【分析】 不重复地使用数字0、1、2、3、4、5组成不同的三位偶数，0不能为

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首位，且个位数字必须是偶数。当个位为0时百位和十位上的数字可以从余下的5个数字中任选两个进行排列，有P52种，由乘法原理知此时有1P5220个。当个位数字不为0时，个位有2种选择，百位有4种选择，

十位有4种选择，由乘法原理知此时有44232个。所以共有203252个。

[前铺] ⑴用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数? ⑵用1、2、

3、4、5可以组成多少个三位数？

[分析] ⑴要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个

元素中取出三个进行排列的问题，可以组成P5354360个没有重复数字的三位数。

⑵没有要求数字不能重复，所以不能直接用P53来计算，可以分步考虑，用乘法原理可得共有555125个。 注意“可以重复”和“没有重复”的区别！

[巩固] 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？

[分析] （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、

2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以

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从余下的4个数字中任选两个进行排列，有P42种方法。由乘法原理得，此种三位数的个数是：4P4248(个)。

（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的。从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为P53，其中首位是0的三位数有P42个。三位数的个数是：P53P425434348(个)。

本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素。

【例4】 一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停。在一楼有3人进了电

梯，其中至少有一人要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种?

【分析】 每个人都可以在第7层至第12层中任何一层出电梯，有6种情况，那么三

个人一共有666216种情况，其中，都不到12楼的情况有

555125种。因此，至少有一人要上12楼的情况有21612591种。

【例5】 某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为7分，给分时只

能给出自然数1，2，3，…，7分。已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人?

【分析】 将36分解为不大于7的三个数的乘积，有166、334、236这三

种情况。考虑到因数的先后顺序，第一种情况，1有三个位置可选择，其余位置放6，有3种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有3种顺序；最后

一种情况，有P336种顺序。由加法原理，一共有33612种顺序，所以参赛的最多有12人。

[巩固] 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，

且四个数码之和是9。为确保打开保险柜，至少要试多少次？

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[分析] 四个数字之和为9的情况有6种：

9111611251134122412332223，分别计算这6种情况。对于“1116”这种情况有P41种；对于“1125”这种情况有P42种；……，可知共有P41P42P42P42P42P4156不同的情况，为确保打开保险柜，至少要试

56次。

【例6】 七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：⑴七个人排成一排，

某两个同学都不能站在边上；⑵七个人站成两排，前排三人，后排四人；⑶七个人站成两排，前排三人，后排四人，某两个同学不在同一排。

【分析】 ⑴先排两边，从除不能站在边上的两个同学之外的5个人中选2个人排在

边上，再排剩下的5个人，共有P52P552400（种）站法。

⑵七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的。现在排成两排，不管前后

排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列，所以共有P775040（种）不同站法。

⑶不能站在同一排的两个同学一个站在前排，一个站在后排，有2种站法；站在前排的有3种选择，站在后排的有4种选择，其他5个位置共有P55种站法，根据乘法原理共有234P552880种不同的站法。

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组合 一般地，从n个不同元素中取出m个（mn）元素组成一组，不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关。只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。

从n个不同元素中取出m个元素（mn）的所有组合的个数，叫做从n个不同

m元素中取出m个不同元素的组合数，记作Cnn(n1)...(nm1)，这就是组

m!合数公式。 讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将组合公式的计算练习 一下！ 24413452 计算：⑴C6，C6，C5，C5；⑵C7，C7，C7，C7 6565432415，C615， 分析：⑴C6214321 543251C545，C55； 43211 765765434⑵，，C35C35 773214321 76543765221，C721 C75432121 mnmCn注意：从中发现规律Cn。

【例7】 （2007年“希望杯”第一试）将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成

一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法。

【分析】 因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花

之间或者黄花的两边。这样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相

3当于从5个元素中取出3个，所以共有C554310种不同的放法。

123

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【例8】 一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，

使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?

【分析】 10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：

⑴5奇1偶，对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择。由乘法原理，有155种

选择；

3310种选择，对偶数也有C510种选择。由乘法⑵3奇3偶，对奇数有C5原理，有

1010100种选择；

⑶1奇5偶，对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择。由乘法原理，有515种

选择。

由加法原理，不同的摸法有51005110种。

[前铺] 在1100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的

取法?

[分析] 两个数的和是偶数，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数

21225种与顺序无关，所以是组合问题。从50个偶数中取出2个，有C5021225种取法。根据加法原理，取法；从50个奇数中取出2个，也有C50一共有122512252450种不同的取法。

【例9】 （2007年北京“数学解题能力展示”决赛）由数字1,2,3组成五位数，要

求这五位数中1,2,3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。

【分析】 这是一道组合计数问题。由于题目中仅要求1,2,3至少各出现一次，没有

确定1,2,3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成

的五位数即可。

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解法一：分两类：⑴1,2,3中恰有一个数字出现3次，这样的数有

1C35460(个)；

290(个)。符⑵1,2,3 中有两个数字各出现2次，这样的数有C325C4合题意的五位数共有6090150(个)。

解法二：从反面想，由1,2,3组成的五位数共有35个；用两个数字共可以组成25个五位数，但是这25个数中包含有2个只由一个数字组成的五位数，所以由1,2,3中的某2个数字组成的五位数共有C32(252)个，由

1,2,3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有35C32(252)3150(个)。

【例10】 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛。在下列条件下，分别有

多少种选法？

⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男

生必须入选；

⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最

多入选两人。

514112种； 【分析】 ⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为C83C10⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”

都不符合要求。运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：

8871C18C10C10C843758；

41001种； ⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有C1484⑷从所有的选法C18种中减去这4个人同时入选的C14种：

84C18C1443758100142757。

⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：

81726C14C4C14C4C1434749。

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【例11】 某池塘中有A、B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船

可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？

【分析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船。

⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A、B两船，①若两个儿童在同一条

13种方法；②船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C3若两个儿童不在同一条船上，即分别在A、B两船上，则B船上有1个儿童

112种选择，1个成人有C33种选择，所以有和1个成人，1个儿童有C2236种方法。故5人都不乘坐C船有369种安全方法；

13种选择。其⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有C3余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此

12种方法，所以此时有326种方法；时A船上还必须有1个成人，有C2②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个

12种选择，所以此种情况下有32212种方法；儿童和1个成人均有C2故5人中有1人乘坐C船有61218种安全方法。

所以，共有91827种安全乘法。

【例12】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外

两名英语、日语都精通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可以开出多少张?

【分析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参与情况分成三类：

⑴多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有C545种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择。由乘法原理，有515种选择。 ⑵多面手中有一人参加，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：①如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，

310种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择。由乘法原有C5理，有210120种选择；②如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员

34中选出4人，有C545种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有C4种选择。由乘法原理，有25440种选择。根据加法原理，多面手中有

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一人参加，有204060种选择。

⑶多面手中两人均参加，有一种选择，但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种。

情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有C5210种选择。需从4名日语翻译员中选4人，有1种选择。由乘法原理，有110110种选择。 情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有C545种选择。还需从4名

26种选择。根据乘法原理，共有15630日语翻译员中选出2人，有C4种选择。

情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择。剩下的需从5名英

310种选择，需从4名日语翻译员中选出3名，语翻译员中选出3人，有C534种选择。由乘法原理，有1210480种选择。 有C4根据加法原理，多面手中两人均参加，一共有103080120种选择。 综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560120185张。

附加题目

【附1】 玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这

家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒。

【分析】 每节有3种涂法，共有涂法333381(种)。但上述81种涂法中，有些

涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次。

可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有33119(种)。故玩具棒最多有(819)245种不

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同的颜色。

【附2】 某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英

语又会日语。现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游。则不同的选择方法有多少种?

【分析】 此题若从既会英语又会日语的人出发来讨论，不太简便，由于只会日语的

人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：

14种选择。⑴只会日语的2人都参加，则还需1个多面手做日语导游，有C4320种，从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有C6由乘法原理，有42080种选择。

⑵只会日语的2人中有1人参加，有2种选择。还需从多面手中选2人做日

26种选择。剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做语导游，有C4310种选择。由乘法原理，有2610120种选择。 英语导游，有C534种选择。⑶只会日语的人不参加，需从多面手中选3人做日语导游，有C434种选择。剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有C4由乘法原理，有4416种选择。

根据加法原理，不同的选择方法一共有8012016216种。

【附3】 有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面。这些旗的模样、大小都相同。现

在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号?

【分析】 按挂旗的面数来分类考虑。

第一类：挂一面旗。从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号；

第二类：挂两面旗。按颜色分成：红黄（P222种）；红蓝（P222种）；黄蓝（P222 种）；黄黄（1种）；蓝蓝（1种）；共8种；

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113种）3第三类：挂三面旗。按颜色分类：红蓝蓝（C3；红黄黄（C3113种）3种）；红黄蓝（P336种）；黄黄蓝（C3；黄蓝蓝（C3种）；蓝蓝蓝（1种）；共19种；

2212或P44212第四类：挂四面旗。按颜色分类：红黄黄蓝（C421212或P44212种）4种）；红黄蓝蓝（C4；红蓝蓝蓝（C4221C26种）4种）种）；黄黄蓝蓝（C4；黄蓝蓝蓝（C4，共38种；

31C32C130种）第五类：挂五面旗。按颜色分类：红黄黄蓝蓝（C5；

3322120种）C210红黄 蓝蓝蓝（C5；黄黄蓝蓝蓝（C5种），共60种；

31C32C160种）第六类：挂六面旗。红黄黄蓝蓝蓝（C6。

根据加法原理，共可以表示3819386060188种不同的信号。

1.

某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻节目必须在第一天播出，体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？

巩固精练

【分析】 某动画片和某新闻节目在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段

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的任何一个时段，有4种选择；对于新闻节目可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，有3种选择；体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，有4种选择；剩下的5个节目随意安排顺序，有P55120种选择。由乘法原理，一共有4341205760种不同的播放节目方案。

2.

由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?

【分析】 先排独唱节目，四个节目随意排，有P4424种排法；其次在独唱节目的

首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应P326种排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共

有2463432种不同的编排方法。

3.

用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数?

【分析】 先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问

26种选题，有C6215种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有C4法；剩下的2个数位放3，只有1种选法。由乘法原理，这样的六位数有

156190个。

在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个。如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以用2个0，2个1，2个2可以组成互不相同的六位数的个数为903060个。

4.

马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？

【分析】 10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的

灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空档中放入3只熄灭的

320种方法。 灯，有C6

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乒乓球运动属于隔网对抗的技能类体育项目，起源于１９世纪末的英国，目前是世界上参与人数最多的三个体育项目之一。 １９８８年的汉城奥运会上，乒乓球首次被列为正式项目，到２００８年北京主办第２９届奥运会时，它将是连续第六次出现在夏季奥运会正式比赛项目的名单上。 作为世界公认的中国的“国球”，乒乓球在奥运会上是中国体育代表团的优势项目，中国乒乓球队几乎垄断了奥运会这一项目的金牌。过去的５届奥运会共计产生２０枚乒乓球金牌，其中１６枚都为中国运动员所摘取，旁落的４枚金牌中包括３枚最受重视的男子单打金牌，分别在１９８８年的汉城奥运会、１９９２年的巴塞罗那奥运会和２００４年的雅典奥运会上被韩国的刘南奎、瑞典的瓦尔德内尔和韩国的柳承敏夺得，另外一枚女子双打金牌在１９８８年为东道主韩国队所获。 奥运会乒乓球赛原本设有男子单打、女子单打、男子双打和女子双打４个比赛项目，而国际乒乓球联合会出于增加比赛精彩程度的考虑，在雅典奥运会期间与国际奥委会及相关各方商议后，宣布在不增加参赛总人数的情况下，在２００８年奥运会上以团体比赛取代双打比赛。该项提议已经在２００５年１０月的国际奥委会新加坡会议上获得批准。 第２９届奥运会乒乓球将于２００８年８月１３日至２３日在北京大学校园内的北京大学体育馆举行，比赛项目为男子团体、女子团体、男子单打、女子单打。 孔雀向王后朱诺抱怨。她说：“王后陛下，您赐给我的歌喉，没有任何人喜欢听，可您看那黄莺小精灵，唱出的歌声婉转而甜蜜，它风头出尽。” 朱诺听它如此言语，严厉地批评道：“你赶紧住嘴，妒忌的鸟儿，你看你脖子四周，是一条如七彩丝绸染织的美丽彩虹。当你款款行走时，舒展的华丽羽毛出现在人们面前，就好像色彩斑斓的珠宝。你是如此的美丽，你难道好意思去嫉妒黄莺的歌声吗？和你相比，这世界上没有任何一种鸟能像你这样受到别人的喜爱。一种动物不可能具备世界上所有动物的优点。我们分别赐给大家不同的天赋，有的天生长得高大威猛；有的如鹰一样的勇敢，鹊一样的敏捷。大家彼此相融，各司其职。所以我奉劝你打消你的抱怨，不然的话，为了惩罚，你将失去你美丽的羽毛。”

人无完人，每个人都有自己的优点，也有自己的缺点，不必只看到自己的缺点妄自菲薄。善于发现自己的优点是一种智慧。

1、金无足赤，人无完人。

2、可以学习别人的优点，但是不要嫉妒。 3、善于发现自己的优点。

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