高中数学知识点总结_定比分点、平移、正余弦定理

1．若P1PPP2，则称点P分有向线段P1P2所成的比为λ。注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当P为外分点时λ为负，内分点时λ为正，若起点P1(x1,y1)，终点P2(x2,y2)，则分点P(x0,y0)P为中点时λ=1，的坐标为：x0=

x1x21,y0=

y1y21。由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC

x1x2x33中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），则⊿ABC的重心G（，

y1y2y33）。

[举例1]设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，APAB，若OPABPAPB，则λ的去值范围是： A．

12≤λ≤1 B．1-

22≤λ≤1 C．

12≤λ≤1+

22 D．1-22≤λ≤1+

22

解析：思路一：APABAP(APPB)AP所成的比为

11PB，即P分有向线段AB，由定比分点坐标公式得：P（1-λ，λ）,于是有OP=（1-λ，λ），

，PB=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ) AB=(-1,1),PA=（λ，-λ）2λ2-4λ+1≤01-22≤λ≤1+

22。思路二：记P(x,y)，由APAB得：

(x-1,y)=(-λ, λ)x=1-λ,y=λ即P（1-λ，λ），以下同“思路一”。

思路三：AB=(-1,1)，AP=（-λ，λ），PA=（λ，-λ），OP=OAAP=（1-λ，λ）， ，以下同“思路一”。 PB=PAAB=（λ-1，1-λ）

[举例2]已知⊿ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。 解析：记G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=

2

2

x0132

,y=

y03,于是有：x0=3x+1,y0=3y，

2

而A点在圆（x+2）+(y-4)=4上运动，∴（3x+1+2）+(3y-4)=4,化简得：

(x1)(y243)249。

n

﹡

[巩固]已知P是曲线C：y=x(n∈N)上异于原点的任意一点，过P的切线l分别交X轴，Y

轴于Q、R两点，且PQ12QR，求n的值。 [迁移]已知yf(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，1,ax1x21,



x2x11，若|f(x1)f(x2)||f()f()|，则

B．0

C．01

D．1

（ ）

A．0

2.关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量a(m,n)平移得到点M(x+m,y+n)；曲线C：f(x,y)=0按向量a(m,n)平移得到曲线 C：f(x-m,y-n)=0。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、

向上（下）平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。[注意]：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。

[举例] 将直线x-by+1=0按向量a=（1，-1）平移后与圆x-4x+y+3=0相切，则k= 。 解析：思路一：直线l：x-by+1=0按向量a平移即“向右、向下各平移1个单位”，亦即：x变为x-1，y变为y+1，得直线l/：x-by-b=0，圆：(x-2)2+ y2=1, 直线l/与圆相切，则有： |2b|1b2/

‘

22

1得b=

342

。思路二：圆M：(x-2)2+ y2=1按向量-a平移（x变成x+1,y变成y-1）

后得：圆M：(x-1)+(y-1)=1, 圆M与直线l：x-by+1=0相切，有

/2/

|2b|1b21得b=

34。

思路三：圆心M（2，0）按向量-a平移后得M/（1，1），M/到直线l的距离为1。

[巩固1]已知点A（1，2）、B（4，2），向量AB按a=（1，3）平移后所得向量的坐标为（ ） （A）（3，0） （B）（4，3） （C）（-4，-3） （D）（-4，3） [巩固2]若把一个函数的图象按a=（－的函数解析式为 ： A．y=cos(x+

C．y=cos(x+

333，－2）平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象

3)－2； B．y=cos(x－)－2；

3)+2； D．y=cos(x－

12)+2

[迁移]已知函数f(x)= -3sinxcosx+3cos2x-

,x∈R

（1） 将f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式（其中A>0,0<<2）

（2） 将y=f(x)的图象按向量a平移后，所得到的图象关于原点对称，求使|a| 得最小的

向量a。

3．三角形内的三角函数问题中，既涉及到边又涉及到角时，往往需要进行边角转换，正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具。对a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的齐次式，可以直接用正弦定理转换；而对a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理转换。

[举例1] ⊿ABC的三内角的正弦值的比为4：5：6，则三角形的最大角为 。 解析：由正弦定理得：⊿ABC三边的比为4：5：6，不妨设a=4k,b=5k,c=6k,(k>0) 则边c所对的角C为最大角，cosC=

16k225k236k224k5k18,∴C=arccos

2

2

2

18。

[举例2]在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a+b=6c,则

(cotAcotB)tanC的值为

解析：对(cotAcotB)tanC“切化弦”得：

c2sin2CsinAsinBcosC2

2

2，再由正弦定理得

2

abcosC，再对cosC使用余弦定理得：2c22abc2，将a+b=6c,代入接得原式等于

25。

[巩固1] 若△ABC三边成等差数列，则B的范围是 ；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是 ；

[巩固2]若三角形三边a、b、c满足a+c=b+ac，且a:c=(31):2，求角C的大小。 [迁移]已知⊿ABC中，sinA(sinB+3cocB)=3sinC,BC=3,则⊿ABC的周长的取值范围是 。

4．关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。 [举例] △ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=1200，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是： 。 解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC ∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC

O 的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知： BC=21，在由正弦定理知：2R=得：PO=7。

[巩固]已知⊙O的半径为R，若它的内接△ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB,求（1）∠C的大小；（2）△ABC的面积的最大值。

xmyn[迁移]直线l：xmyn(n0)过点A(4,43)，若可行域3xy0的外接圆直径

y021sin12002

2

2

P

C A B

=143，∴OA=73

为

1433，则实数n的值是______________

5．正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用

正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。 [举例1]已知⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为最大值为： A.2

2 B.

cbbca2,则

cbbc的

2 C. 2 D.4

bca2bc222解析：=

cbbc22，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=

a2 ①

而条件中的“高”容易联想到面积，a2bcsinA

A a2 D

C 即a2bcsinA ②，将②代入①得：

B bc222bc(cosAsinA)

∴

cbbc=2（cosA+sinA）=22sin(A+

4)，当A=

4时取得最大值22，故选A。

[举例2] 如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，

AB与BC各等于1千米，从三点分别遥望塔M，在

0

A处看见塔在北偏东45方向，在B处看见塔在正 东方向，在C处看见塔在南偏东600方向，求塔到

直路ABC的最短距离。 解析：已知AB=BC=1，∠AMB=450，∠CMB=300，∴∠CMA=750 易见⊿MBC与⊿MBA面积相等，∴AMsin450= CMsin300

即CM=2 AM，记AM=a，则CM=2a，在⊿MAC中，AC=2，由余弦定理得： 4=3a2-22a2cos750，∴a2=

4475313,记M到AC的距离为h，则2a2sin750=2h 375313得h=，∴塔到直路ABC的最短距离为。

[巩固1] 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.

[巩固2] 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向20km的海面B处有一艘走私船正以vkm/h的速度向北偏东300的方向逃窜，缉私艇以3vkm/h的速度沿 的方向追击，才能最快截获走私

船？若v=403，则追击时间至少为 分钟。

简答

1、[巩固]3；[迁移]A；2、，[巩固1] A，[巩固2] “倒行逆施”：函数y=cosx的图象按-a=（

3，2）平移，选D ；[迁移]（1）f(x)3sin(2x23（2）()1，

6,1)

3．[巩固1] （0，]（0，]；[巩固2]450；[迁移]先求A=，再用正弦定理求出：b+c=

3336sin(B+

2126)∈(3,6],于是a+b+c∈(6,9],也可以用余弦定理；4、[巩固] （1）450，（2）

R；[迁移]3或5；

5425、[巩固1] 设AOB56x,则SAOBsinx,SABC33cosx,SOACB2sin(x3)543，

当x

时，SOACB有最大值2534.[巩固2] 北偏东600，10；