2007年全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析(1)(1)

摘要

近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点， 建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。

对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。

对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。

对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。

关键词：人口控制 差分模型 预测 拟和 Leslie模型 Logistic方程

一、 问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口

1

增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；还 要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、 问题分析

为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。

首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。

其次，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。

最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：Logistic模型和Leslie模型进行求解并与本文模型进行比较。

三、问题的假设

假设一 每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移

假设二 本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率 假设三 生育妇女一年只生一胎

假设四 九十岁以上的人口变化对总人口变化影响不大，因此不予以考虑 假设五 人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城 假设六 国际迁入迁出对于人口的影响较小

四、 符号说明

Pi(t) 第t年初年龄为i的总人数 第t年末年龄为i的人的死亡率 第t年末平均每个育龄女性的生育数 生育加权因子（即生育模式） i(t) (t) hi 2

(t) i(t) O(t) A(t) G(t) 第t年末生育性别比 第t年末迁移人口比例 老龄化程度 城镇化程度 性别比 五、 模型建立与求解

5.1中国人口增长的影响因素分析

人口变化包括人口增长及人口性别结构、年龄结构的变化。其中，人口性别结构、年龄结构的变化影响人口增长量及增长速度。

为了建立中国人口增长的数学模型，并进行预测，首先须考虑人口变化的影响因素。其中，老龄化、城镇化、性别比的增高等中国人口变化的特点须给与考虑。

当前各地区的人口总数和人口比例、人口年龄结构决定以后的人口总数和人口比例、人口年龄结构。人口总数和人口比例、人口年龄结构表现为老龄化程度、城镇化程度和性别比。其变化情况由出生率、死亡率、迁移率决定。国家政策影响出生率、死亡率、迁移率。

5.2中国人口增长总模型

将男、女人口，城、镇、村的人口分开考虑，得到六个子对象，如图2所示：

总人口 男性人口 女性人口 城市男性人口 城镇男性人口 农村男性人口 城市女性人口 城镇女性人口 农村女性人口 图2

以下建立适用于各个子对象的通用模型。男、女性分别用下标m，w表示；城、镇、村分别用下标c,t,v表示。

3

将第t1年初的人口分为在第t年末出生的人口与第t年末未死亡未迁出的非新生人口两类，即：

P(t1)Pborn(t)Pother(t)

设有年龄结构向量：

P(t)[P0(t),P1(t),,Pn(t)]T

其中，Pi(t)为第t年初年龄为i的该类地区人数 4.1.1求第t年末出生的人口数Pborn(t)

设i(t)为第t年末年龄为i的人的死亡率，hi(t)表示各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布（即生育模式），(t)为第t年末平均每个育龄女性的生育数，可以得到：

第t年末年龄为i的妇女人数为Pw,i(t)[1w,i(t)]

第t年末年龄为i的妇女生下的婴儿数量为Pw,i(t)[1w,i(t)]h(i)(t) 另外，设(t)为第t年末生育性别比，则有：

第t年末年龄为i的妇女生下的男婴数量为Pw,i(t)[1w,i(t)]h(i)(t)(t)

(t)11

(t)1第t年末年龄为i的妇女生下的女婴数量为Pw,i(t)[1w,i(t)]h(i)(t)表示为矩阵形式可得： 第t年末出生的男婴数量为

0(t)0Pm,born(t)(t)(t)10

第t年末出生的女婴数量为

0h(i1)0000h(i2)0000000[1w,i(t)]Pw(t)0010Pw,born(t)(t)(t)100h(i1)0000

h(i2)0000000[1w,i(t)]Pw(t)05.1.2求第t年末未死亡未迁出的非新生人口数Pother(t)

4

设从农村到城镇迁移率、从农村到城市迁移率分别为

ti(t)ci(t)第t年末从农村迁往城镇的年龄为i的人数

第t年末年龄为i的农村人数第t年末从农村迁往城市的年龄为i的人数

第t年末年龄为i的农村人数则第t年末未死亡未迁出的非新生人口数可表示为： 对农村人口

001(t)(t)(t)0c1t1c1Pc,other(t)01c2(t)t2(t)c2(t)Pc(t)

0000001cn(t)tn(t)cn(t)00对城镇人口，未死亡未迁出的非新生人口包括城镇原来的剩下人口加上从农村迁移至

城镇的人口：

001(t)0t1Pt,other(t)01t2(t)

同理得，对于城市人口：

0000(t)00t10Pt(t)0t2(t)1tn(t)00000000Pv(t)tn(t)0000001(t)0c1Pc,other(t)01c2(t)

0000(t)00c10Pc(t)0c2(t)1cn(t)00000000Pv(t)cn(t)00005.3各影响因素模型 5.3.1死亡率模型

第t年末年龄为i的死亡人数

第t年末年龄为i的总人数记死亡率i(t) 5

（1）年龄对死亡率的影响

众所周知，在同一时期的人口中，少年儿童的死亡率随年龄增长而下降，中青年人的死亡率变化较平稳，老年人的死亡率随年龄增长快速升高；总体来说，死亡率-年龄曲线为一“U”字型。因此，考虑利用Kannisto模型（文献[11]）通过数据拟合对死亡率随年龄增长的变化进行描述：

eii

1(ei1)其中，i为年龄为i的人的死亡率，和为参数，通过数据拟合得到。 对于城市、乡镇拟合曲线大致如图3所示（不考虑90岁以上的人口）

0.10.090.080.07死亡率

0.060.050.040.030.020.01002040年龄6080100

图3

通过对上面图形分析可知：

1 死亡率大致与年龄反相关，这说明中国的城镇医疗发展水平以已经较高，儿童的成活率比较高。

2 随着年龄的增加，死亡率明显增大，而且增大的趋势明显。 对于乡村死亡率，变化图形如图4所示：

6

0.10.090.080.070.060.050.040.030.020.01放大此区域00102030405060708090

65.554.543.532.521.5x 10-40246810

图4

通过图4分析可知：

1. 小于10岁的人口死亡率比较高，整个趋势大体为U字型。这说明乡村的医疗等水平比较低，严重影响了儿童的成活率，因此对于乡村来说，提高医疗水平是非常重要的。

2. 随着年龄的增长，死亡率逐渐增加。

通过上面拟合可以得到市，镇，乡0岁到90岁死亡率的离散化数据。用于后面人口的预测。

7

（2）时间对i(t)的影响

a. 中短期内，i(t)随时间的变化速度改变不大，我们采用线性回归的方法，得出如下结果：

对于城市男性：cm(t)278.33.135t 对于城市女性：cw(t)205.94.357t 对于城镇男性：tm(t)276.64.81t 对于城镇女性：tw(t)18210.07t 对于农村男性：vm(t)372.59.766t 对于农村女性：vw(t)280.27.605t 各方程均通过显著性检验。 回归情况如图5：

400死亡率 350300250cm_die fit 1cw_die fit 2tm_die fit 3vw_die fit 6vm_die fit 5tw_die fit 4200 11.522.533.544.55时间 图5

可见，短期内农村和城镇的死亡率在增加，主要原因是农村和城镇的老龄化程度不断加深，以及从农村迁出的中青年人口增多。

b. 长期内， 由于i(t)不断降低，最终将会趋于一个理想值，我们利用SIS模型对其进行描述，体现制约与控制因素。有：

d(t)1(t)[1(t)]1(t)，(0)0 dt其中，1，1为参数，i(t)的终值为改变1和1对终值的影响如图6：

11 1 8

0.50.450.40.35死亡0.3率

0.250.20.150.10.0505101520253035404550

时间

图6

曲线一(实线)：11.4,11.3,00.5其中： 曲线二(星号)：11.4,11.2,00.5

曲线三(加号)：11.4,11,00.5城、镇、村不同初值的影响如图7所示：

0.50.450.4死亡0.35率

0.30.250.20.150.10.0505101520253035404550时间

图7

曲线一(实线)：11.4,11.3,00.0005其中： 曲线二(加号)：11.4,11.3,00.0004

曲线三(星号)：11.4,11.3,00.00034.3.2出生人口模型

出生人口的影响因素如图8所示：

9

出生人口 男女性别比k 生育数 生育性别比 平均生育数生育模式hi  图8

生育人数对年龄符合一定的概率分布，每个年龄段的生育率归结为总和生育率与生育概率的乘积。这样对于生育率的预测，归结为总和生育率的预测上。

以下分别讨论各个子模型。

4.3.2.1生育模式模型

记hi(t)为各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布，即生育模式（生育加权因子）。 由于生育模式主要受生理因素影响，假设其不随时间变化。考虑到生育的女性中中青年人口占较大比例的特点，我们设不同年龄女性的生育加权因子满足分布：

(ii1)11e1hi11(1)ii1，ii1

数据的选取，在模型中用到附录中的数据。用附录中的数据进行分析,初步发现2003年的数据与其余数据相差较大：我们选用更权威的数据。两组数据的对照表所示：

统计年鉴数据 附表三中数据

23.83 39.79 60.56 95.77 117.78 123.85 123.66 108.12 86.54 66.38 49.39 36.77

1.86 3.73 6.18 8.94 11.37 11.51 10.65 9.91 7.53 5.57 4.51 3.29

10

因此我们采用统计年鉴的数据来代替附表三中的数据。 通过对数据进行拟合得到： a. 对城市：1=19.86，1=1.232 拟合情况见图9

120生100育加80权60因子

402001520253035404550年龄

图9

b. 对城镇：1=19.213，1=1.011 拟合情况见图10

150生育加100权因子

5001520253035404550年龄

图10

c. 对农村：1=24.023，1=0.932 拟合情况见图11

11

0.120.1生育加权因子

0.080.060.040.0201520253035404550年龄

图11

从结果可知，对于三类地区，用此模型得到的从23岁到28岁的生育模式比较准确。由于这一年龄段时生育高峰期，其他年龄段的生育模式微小变化对总人口的变化影响较小，所以用Gamma分布描述生育模式随年龄的分布是合理的。

另外，受当前农村人口文化、经济条件影响，早生现象存在，这一点从对农村生育模式的拟合情况图也可以看出来。但是，由于将来农村的发展，早生现象必会慢慢消除。因此用此模型对农村地区作长期预测将会得到更准确的结果。

4.3.2.2平均生育数模型

每年总出生婴儿数

每年总生育女性数记平均生育数(t)通过分析数据，我们发现从2001年到2005年平均生育数上下波动，但总体来说有所减小。

（1）中短期内，采用如下线性回归方程：

(t)(0)d3t

根据各年平均生育数数据，利用软件SAS得到如下结果： 对城市人口：c(t)0.0022982.053t 对城镇人口：v(t)0.0054332.053t 对乡村人口：t(t)0.0059811.931t 三方程均通过显著性检验。 回归情况如图12。

12

80平均生育数 7060br_village fit 1br_town fit 2br_city fit 3504030 12345678910时间 图12

（2）长期内，平均生育数下降必将趋近一个定值。我们采用SIS模型：

d(t)2(t)[1(t)]2(t)，(0)0 dt终值为22 2改变终值可以体现国家政策影响的力度，如下对此做出分析： a. 初值相同，终值设定不同的情况： 曲线一 曲线二 曲线三 曲线比较如图13

0.360.340.322 0.5 0.5 0.5 2 0.35 0.40 0.40 0 0.00035 0.00035 0.00035 平均生育数

0.30.280.260.240.220.205101520253035404550时间

13

图13

b. 城、镇、乡初值不同的影响： 参数选择为：

城:20.5,20.4,00.00026镇:20.5,20.4,00.00032 乡:20.5,20.4,00.00040如图14，初值不同不影响终值。

0.450.4平均生育数

0.350.30.250.205101520253035404550

图14

4.3.2.3生育性别比模型

记

生育性别比(t)第t年末出生的男婴数100%

第t年末出生的女婴数由于中国当前对女性的歧视，许多女婴不能正常出生或存活。但由于社会的进步，(t)必会下降。

a. 在中短期内，农村生育性别比降低趋势较为明显，城镇生育性别比在一定值周围上下波动。简单起见，我们采用如下线性回归方程：

v(t)v0d1tt(t)t0d2t c(t)c0d3t其中0为初始时刻生育性别比，d为表示其变化快慢的系数。 利用SAS软件得到如下结果：

14

城市 116.8 0.4357 城镇 117.4 0.08427 乡村 111.1 0.1051 0 d 方程通过显著性检验。 b. 在长期内，生育性别比不断上升，最后必将趋近1。我们采用SI模型来描述生育性别比：

d(t)3(t)[1(t)]，(0)0 dt其中3，0为参数。

(t)t曲线斜率最大点在tm31ln(的值就可以控制生育性别比变化的快慢。

101)处，因此在初值一定的情况下，控制34.3.3迁移模型

第t年末该类地区迁移的年龄为i的人数

第t年该类地区末年龄为i的总人数记迁移率i(t)t(t)、c(t)分别是从村到镇、从村到城的迁移率。

Ac(t),At(t),Av(t)分别为城、镇、乡外来人口比重。

在中国经济快速发展的一个很长的时期内，国内人口迁移主要是从乡到镇、从乡到城，因此只考虑这两种迁移。

假设迁移率没有性别差异。从数据得出迁移率的性别区别不明显，而且随着迁出的人在城镇的工作多元化，迁移率的性别区别将会减小。

（1） 时间的影响：

迁移率长期发展情况将是先增大后减小。这是由于当前城镇发展速度高于农村，所以中短期内迁移率将增加；但是，经济发展最终将消灭城乡差别，外来人口比重最终将变为零。

a. 中短期内，外来人口比重变化速率改变不大，假设其随时间线性增加，通过线性回归得到如下结果：

Ac(t)0.002380.006694t At(t)0.00110.01113t Av(t)0.00652-0.01782t

三个线性回归方程均通过显著性检验。

b.长期内，城镇的外来人口比重减小并最终趋于零，我们采用SIS模型描述其变化：

15

dA(t)3A(t)[1A(t)]3A(t)， A(0)A0且33 dt由附录数据计算出城、镇的外来人口比例初值及变化趋势，求得其随时间的长期变化曲线如图15：

0.10.090.08外来人口比重

0.070.060.050.040.030.020.01005101520253035404550时间

图15

其中，绿线为转移到城市的比例，红线为转移到镇的比例。 （2）年龄的影响：

对数据的初步分析可以得知：青年和中年人口迁移率比幼年和老年人口迁移率高得多；迁移率在25岁到30岁间达到峰值；迁移率的变化率随青少年的年龄增长不断增高，遂老年人的年龄增长不断降低。所以，我们考虑用Gamma分布来描述迁移率随年龄增长的变化：

i21e2i2，ii1

2(2)其中2，2为参数。下面通过数据拟合确定2，2。 a. 对于从村到城的迁移率： 拟合得到：

i2= 2.73 2=2.21

拟合情况如图16

16

0.060.050.040.030.020.0100102030405060708090

图16

b. 对于从村到城的迁移率： 拟合得到：

2= 13.03 2=2.414

拟合情况如图17

0.050.0450.040.0350.030.0250.020.0150.010.00500102030405060708090

图17

可见，用离散化的Gamma分布来描述迁移率随年龄增长的变化结果非常准确。

17

4.4中国人口增长的特点 4.4.1 老龄化程度

题目附录一指出，60岁以上的人属于老年人。设第t年末中国老年人总数为Pold(t)，则

Pold(t)Pci(t)Pti(t)Pvi(t)

i=60i=60i=60909090老龄化程度描述老年人口在总人口中的比例，所以老龄化程度表示为

O(t)Pold(t) P(t)其中，P(t)为第t 年末全国的总人口数。

4.4.2 性别比

第t年末的公民性别比为男性公民总人数与女性公民总人数之比，可表示为

G(t)Pm(t) Pw(t)其中Pm(t)、Pw(t)分别为第t年末男性公民、女性公民总人数。

4.4.3 城镇化程度

第t年末城镇化程度体现出此时城镇人口与乡村人口之比，可表示为：

A(t)Pc(t)Pt(t)

Pv(t)其中，Pc(t)，Pt(t)，Pv(t)分别为第t年末城、镇、乡人口总数。

4.5中国人口增长的中短期预测

通过对上面影响因素模型的求解，我们得到各个参数及其变化规律

将上面的参数带入模型求解，首先通过01-04年的数据05年的数据进行检测，得到图18中比较曲线：

18

1.41.210.80.60.40.20181522293643505764717885

图18（横坐标表示年龄，纵坐标表示各年龄段人数占总人数的比例）

通过对此图分析可以知道：

1 除少数比较不规则的点外，在整个年龄上，预测得数据与实际数据吻合的比较好。1-8岁阶段，实际预测的数之比实际数值稍小，假设实际数据准确，那么可能时我们对生育率的把握不够准确，体现在参数上，可能是1-8岁的概率分布并不能和实际某一年的数据完全吻合，但在允许变动的范围内，本文的模型还是较好的进行了预测。8-30岁阶段，预测不是非常吻合。这可能体现在概率分布的问题上，也可能体现在迁移率上。30-50岁阶段较好的吻合，而且还表现了一个人口高峰期。50-90岁阶段实际数值比预测数值稍小，可能是死亡率预测的问题。

2 预测数据成功的预测了三个人口高峰期，说明，模型能够较好的反映年龄结构的变化，随着时间的变化，此模型的预测峰值还会变化。

3 模型比较健壮，能够较好的反映在整个年龄上的分布。在模型中我们引入了三个概率密度，这三个密度总和起来使得模型比较强壮，对于预测问题有较好的稳定性。

通过上面的分析，发现模型比较适于预测，而且准确度比较高，下面我们用01-05年的数据进行短期预测。

4.4.1 对总人口增长的预测

通过模型的求解得到结果如图19

模型预测2005年各年龄段比例世纪2005年各年龄段比例13.3513.313.2513.2亿人13.1513.113.051312.95系列120062007200820092010

19

图19

由此可知：

在2006-2007年期间，人口增长比较平缓，每年平均增加500万人，虽然总和生育率小于更替水平。但由于人口基数巨大，使得总人口仍然在增加。

在2010年人口大体达到13亿3千万人左右。国家的发展计划是将人口控制在13亿6千万以内，因此反映了我们的模型较好的进行了预测。

下面我们对每个年龄段的数据进行分析，得到图20：

500004000030000200001000001917253341495765738189

图20（横坐标表示人数，纵坐标表示年龄）

由图20得知：

1. 对于年龄在小于18岁的人，人口数目逐年减小，这说明，人口的总和生育率在一

定时期内发挥了作用，大约在30年前开始计划生育，这可以体现出计划生育政策对控制小孩的出生发挥了作用，但有一定的延时。

2. 对于年龄在18岁以上的人，随时间的增加越来越多，这说明计划生育之前那部分

人对中国人口的增长产生了剧烈的冲击。

3. 在曲线上有三个高峰，19岁左右，41岁左右，64岁左右，这三个高峰期的存在，

使得人口的变化很不规律。一个高峰期的来临可能直接影响到人口的变化。 4. 曲线的高峰在逐渐的变化，人口结构正在向老龄化迈进。

5. 新出生的婴儿在总人口中的比例有增加的趋势，很有可能是婴儿的父母是处于生

育高峰。（1983—1989是一个生育高峰）

4.4.2 对老龄化程度的预测

分别对农村城镇，城市的老年人数进行统计可以得到图21

2006年预测数据2007年预测数据2008年预测数据2009年预测数据2010年预测数据 20

1.210.80.60.40.20200620072008时间

图21（横坐标表示年份，纵坐标表示老年比例）

通过对上表的数据进行分析得到如下结论：

1 从总体上来讲，老龄化程度将在07到08年中期这段时间有较快的提高，在08年中期后保持相对的稳定。

2 提高最快的是农村女性老龄化程度，较快的是农村男性老龄化程度。这主要是由于乡村向外迁移人口多且多为男性，

3 城镇男、女性老龄化程度都将在08年中期后有微小降低，在此之前变化不明显。

4.4.3 对性别比变化的预测 总趋势体现在图22中：

1.0421.04120092010总的变化乡女老年比例乡男老年比例镇女老年比例镇男老年比例城女老年比例城男老年比例男女比例变化老年比例1.041.0391.0381.0371.0361.03520062007200820092010系列1

图22

通过对上面图形的分析知道：

1 总的性别比例的变化在短期内没有特别的规律，且变化不大。这可以解释为，虽然出生人口的性别比例比较不均衡，但由于男士的死亡率相对较高等原因，使得社会上总的人口比例基本上为1:1。

2 在基本恒定的同时，也产生小小的波动，可以理解为随机现象。 对每个年龄段的性别比例进行分析，得到图23：

21

3.53比例(1/1000)2.521.510.50181522293643505764717885年龄女性比例男性比例

图23

总坐标表示各年龄的人占总人数的比例。 通过对上图进行分析，可以知道：

1 对于年龄小于22岁的人，男性比例大于女性比例，体现出生育性别比较高。

2 随着年龄的增长，这种比例在减小，到了50岁以上，女性的比例大于男性的比例，体现出中年后女性死亡率低于男性。

3 控制男女比例对于稳定社会发展有重要作用。 4.4.4 对城镇化的预测

分别对城市，城镇，农村人口的比例进行统计，得到如图24：

0.60.50.40.30.20.10200620072008图24

曲线1：镇人口比例 曲线2：市人口比例 曲线3：村人口比例

通过上面图形可以得到以下结论： 1 城镇和城市人口在不断增加。

2 农村人口由于向城镇和城市的迁移，在不断减小。

3 农村迁往城市和农村迁往城镇的速度不同，大致为线性关系。

22

曲线1曲线2曲线320092010

对各个年龄段的人口比例进行统计，得到图25：

160000140000120000100000800006000040000200000181522293643505764717885农村人口城镇人口城市人口

图25

通过对上图分析可得，

1 农村人口比较多，城镇次之，再次为城市，这也体现了现有的城镇化发展情况，中国的城镇化发展情况比较低。

2 农村的人口结构大致为增长型，可以解释为，农村的总和出生率比较高，对于小孩比例的增加起作用。

3 城镇，城市的人口结构大致为稳定型，可依据解释为总和出生率不高，且很多成年人会搬到城镇和城市去。

4.6中国人口增长的长期预测

对人口增长的长期预测必须考虑政策的影响。 国家可以采取的政策下：

计划生育方面：加强，保持，放松。

加强计划生育力度：降低育龄妇女的总和生育率；由于中国传统观念的影响，新生婴儿的性别比失衡会进一步加剧；新生婴儿进一步减少，使老龄人口比重加大，我国将提前进入老龄社会。

保持计划生育力度：育龄妇女的总和生育率维持不变；新生婴儿的性别比将基本维持不变。

放松计划生育力度，增加育龄妇女的总和生育率；由现在新生婴儿性别比的失衡向平衡发展；新生婴儿增加，降低老龄人口比重，延缓我国老龄化进程。

以下分别考虑五种政策对人口增长长期形势的影响。 政策1：国家保持现有政策不变化；

政策2：国家加强计划生育工作的力度，限制城市化进程； 政策3：国家放松计划生育工作的力度，限制城市化进程； 政策4：国家放松计划生育工作的力度，保持城市化进程； 政策5：国家放松计划生育工作的力度，严格限制城市化进程；

图26是我国在不同政策下25内总人口数量，国家的政策对总人口的发展趋势有很大的影响。其中政策1是保持现有政策不变，17年后达到峰值，并基本稳定在13.7亿附近。

23

比较各政策下总人口趋势，发现计划生育对总人口趋势影响很大，例如政策5情况下，人口在15年内快速攀升到峰值，达到14.8亿。而政策2情况下，人口增长缓慢，峰值只有13.5亿。

15000000145000001400000013500000130000001250000012000000111315171921232513579

图26（纵坐标是未来25年的人口数量（单位：百人），横坐标是时间）

图27是我国在不同政策情况下25年内城镇化速度的趋势，可见国家政策对城镇化进程的控制是相当有效的，例如政策5，减缓了城市基础设施的压力。我国的城市化速度很快，在25年后会达到一个很高的水平。

政策1政策2政策3政策4政策510.90.80.70.60.50.40.30.20.10政策1政策2政策3政策4政策5135791113151719212325

图27（纵坐标是未来25年的城市化比例，横坐标是时间）

综合比较图26和图27，发现一个有趣的现象，延缓城市化进程会降低人口总量，例如图26中的政策5后半段以及政策2。这符合本文所构建的模型，因为城乡死亡率不同，一般来说，乡村高于城市，所以出现上述现象不足为奇，反而说明了模型的合理性。

24

图28是我国在不同政策情况下25年内人口老龄化的趋势，我国人口的总体趋势向老龄化发展，不管采取何种政策我国都将在15内迈进老龄化社会。政策1，2，3，4的比较发现如果只是稍微放松计划生育工作力度，不会对延缓老龄化进程产生影响。政策5还表明，医疗条件的改善，在降低死亡率的同时会使；老龄化进程加快。

0.40.350.30.250.20.150.10.050政策1政策2政策3政策4政策5135791113151719212325

图28（纵坐标是人口老龄化比例，横坐标是时间）

人口老龄化进程

图29 是我国在不同政策情况下25年内人口性别比例的变化，图像的趋势表明，在5种政策下，性别比例都变化不大，集中在106.0—102.5之间，是相当合理的；但是这个性别比例是总人口的性别比例，而各年龄段的性别比例是很不协调的。

106.5106105.5105104.5104103.5103102.5102101.5101政策1政策2政策3政策4政策5135791113151719212325

图29（纵坐标是男女性别比例（100*男性总数/女性总数），横坐标是时间）

图30是在保持现有政策不变下2030年各年龄段的性别比例。

25

男女比例140120100806040200171319253137434955616773798591

图30 2030年按年龄分布的性别比例（男/女*100）

综上所述，建议国家采用政策4，在该政策下：总人口在19年后进入稳定期，达到14.2亿（低于国家要求的15亿），城镇化进程保持现有速度，延缓老龄化进程，降低婴儿性别比。

男女比例二、 模型优缺点比较

首先介绍并求解两个经典的模型，然后进行比较得出本文模型的优缺点。 相对于经典模型，本文中的模型有如下优点： 1 可操作性

引入了影响死亡率，和生育率的子因素，将人口总量的变化转化到这些因素的变化上。因素的数据更易获取。

2 健壮性

将死亡率转化为死亡分布率和死亡减小率，这样将死亡变化转化为总和死亡率的变化上，仅仅预测这一个参数就可以得到死亡率，这样大大地加强了模型的强壮性。将生育率转化为总和生育率和生育率分布的乘积，这样把生育率这个随时间和年龄变化的量转化为仅随时间变化的量，并在短期内通过拟合得到变化规律，并在长期内通过一个经典的非线性模型来描述。这样增加了模型的健壮性。

3 可控性

在做长期参数预测时，将变化规律用参数来描述，这些参数体现了国家政策的控制，这样通过这些参数的变化就可以体现人口总题的变化趋势。这样，就可以根据国家对人口的要求制定不同的政策。

除了上面的优点还有如下的缺点：

1 模型中是基于概率分布假设的，但对于概率分布的形式很难预测，我们只能对其进行大致的拟合，但可能并不是实际情形。死亡率的拟合函数参数值稳定性太差。出生模式的拟合曲线不能完全符合实际情况，迁移模式的拟合曲线太理想化。

2 总和生育率不能完全准确的描述，只能用近似形式的曲线来描述。可能实际总和生育率的变化并不是那个形式。

26

参考文献

[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2003 [2] 王学民.应用概率统计[M].上海：上海财经大学出版社，2005 [3] 梅长林,范金城.数据分析方法[M].北京：高等教育出版社，2006 [4] 姜启源等编，大学数学试验，北京:清华大学出版社，2005.2

[5] 肖华勇,田铮等编.随机数学基础[M].北京：高等教育出版社，2005 [6] Song Jian, Yu Jingyuan. Population system control. Springer-Verlay,1988 [7] 人口控制网站(www.popinfo.com)

[8] 数据来源：国家统计局．2002年中国统计年鉴．

[9] 安和平．中国人El预测的自回归分布滞后模型研究；统计与决策2005．

[10] 李南，胡华清．基于随机方法的中国人口预测与规划．系统工程理论法应用，l998(01)．

[11] Chahnazarian :Determinants of the Sex Ratio at Birth :Review of Recent Literature, Social Ecology 112Win2ter ;35 (3 —4) :214 —235.

[12] Poston D L , Fertility and family planning in China : an analysis of provincial patterns, Journal of BiosocialScience, 1988 .20 .4 Oct ,379 —391.

[13] Arnold ,F. et al ,Sex preference ,fertility ,and family Planning in China ,Population and Dvelopment Review ,1986 ,12 ,2 ,J une ,221 —246.

[14] 虞丽萍，人口年龄结构模型建模和预测，上海交通大学硕士学位论文2007.1

附录

附录一：短期预测（2006年）完整数据

2006 city town village 男性数量 女性数量 男性数量 女性数量 男性数量 女性数量

0 15411 13781 15361 13026 47149 39406 1 14945 13361 14039 11855 49548 41235 2 14551 13008 12811 10827 53818 44789 3 14831 13110 10589 8696 49613 41397 4 13518 11856 9637 7872 42822 34666 5 13924 12395 9980 8053 47765 37637 6 14790 13199 10804 8826 49954 41232 7 15721 13802 11443 9452 53228 43877 8 16319 13996 12268 10037 56053 46958 9 16796 14993 12717 10410 58665 49289 10 17337 15332 13405 11041 61119 52068 11 18012 15812 13681 11280 64030 56055 12 18503 16304 14170 11678 67075 57525 13 19741 17674 15020 12909 73613 64212

27

14 20006 15 21575 16 23059 17 24937 18 25669 19 26078 20 26140 21 27112 22 26524 23 26283 24 26607 25 27493 26 28498 27 28296 28 29701 29 30761 30 32070 31 33962 32 35435 33 38428 34 39496 35 40424 36 40854 37 39686 38 38712 39 37584 40 37782 41 38814 42 38757 43 37156 44 34392 45 31815 46 28996 47 27721 48 28777 49 29019 50 29520 51 28461 52 26289 53 25679 54 23615 55 22269 56 20384 57 19043 18475 15882 19779 17309 21534 18486 23217 20358 24759 20613 25492 20211 26744 19507 27525 17840 27938 15560 27115 15286 27680 15517 29040 17215 30298 18669 30234 19814 32030 21337 32689 22653 34140 23912 35923 25450 37337 26131 39218 27527 39943 27959 40884 28356 40838 28579 39295 27773 38039 27751 36443 26688 36620 25850 37688 25729 37066 24682 35609 23528 33495 20425 30466 18477 27893 15762 26690 14758 28117 15267 28518 15513 28910 15637 28394 15359 26988 14292 26842 14429 24307 12869 22457 11958 20848 11142 19207 10142 13852 76512 14714 82688 16130 84837 17493 90203 18136 86893 17553 77715 17285 65461 15964 57369 14554 47450 14896 43347 15824 38625 17766 38137 19615 37875 21062 35781 22033 36498 23620 36340 24527 38420 25872 41308 26056 43378 27694 49382 27649 50068 28314 54147 27969 56813 27605 58044 26749 60030 26228 60640 25627 59436 25012 61603 24120 59523 22359 56032 19960 48445 17398 44997 14871 38584 14032 38251 14626 43628 14688 46464 15228 50905 14840 52349 13944 51026 13976 52964 12670 49042 11577 47841 10798 44968 9939 41417 66806 73474 77828 82359 79140 70631 58560 50066 41492 40429 37469 39057 38242 36534 36346 35633 36801 40066 42453 48013 49123 53508 56596 57980 61117 60330 60168 61369 59955 55808 48521 44247 38664 37183 42274 44797 49252 51343 49417 52967 47263 45662 42918 40018

28

58 17436 18457 9625 9598 39783 38131 59 16191 16721 8938 8595 37373 34853 60 14624 15315 8104 7847 34189 32328 61 13642 14691 7804 7604 32445 30626 62 12530 13872 7141 6999 29653 28203 63 12772 14215 7290 7221 31307 29203 64 12461 13552 6697 6289 27986 25915 65 12344 13354 6221 6084 26241 25114 66 12078 13193 6162 5763 25939 24097 67 11966 13215 5992 68 11829 13086 5718 69 11427 12358 5394 70 11203 11903 5055 71 10790 11714 4922 72 10142 10654 4578 73 9914 10306 4362 74 8848 9057 3877 75 8126 8215 3693 76 7247 7288 3295 77 6471 6650 2888 78 5862 5924 2604 79 4712 5190 2187 80 4067 4645 1880 81 3434 4187 1675 82 2834 3479 1216 83 2675 3334 1073 84 2060 2608 844.7 85 1558 2218 741.8 86 1202 1873 578.4 87 927.2 1545 444.9 88 755.6 1297 311 89 589.3 1055 215.2 90 504.2 944.7 207.7 附录二：长期预测数据

ctiyrate townrate villagerate 2006 0.277382 0.17651 0.546109 2007 0.283907 0.187883 0.528209 2008 0.290369 0.199382 0.510249 2009 0.296721 0.210971 0.492308 2010 0.302945 0.222632 0.474423 2011 0.309046 0.234348 0.456606 2012 0.315048 0.246118 0.438834 2013 0.32098 0.257951 0.42107 2014 0.326875 0.269856 0.403268 5767 5846 5245 5215 4770 4613 4671 3920 3711 3335 3008 2874 2562 2087 1967 1682 1641 1268 1181 978.2 772.4 678.9 520.7 476 city+town 0.453891 0.471791 0.489751 0.507692 0.525577 0.543394 0.561166 0.57893 0.596732 25543 24899 22962 22215 21219 19193 19697 16710 15427 13768 12030 11404 9408 8148 7283 5689 5278 4097 3212 2651 2022 1430 1110 989.2 oldrate 0.129462 0.133984 0.139107 0.144553 0.15063 0.157273 0.164299 0.172385 0.179913 23434 23478 21670 21232 21228 19470 20585 17595 16887 15486 14166 12984 11584 10127 9142 7955 7827 6014 5247 4294 3438 2771 2280 2118

totalp 104.1227 13061305 104.0706 13108377 104.0276 13158495 103.9955 13213445 103.9724 13273369 103.9595 13336964 103.9549 13402273 103.9523 13467203 103.9579 13529061

29

sexrate 2015 0.332761 0.281833 0.385406 0.614594 2016 0.338656 0.293894 0.367449 0.632551 2017 0.344574 0.306056 0.349369 0.650631 2018 0.35054 0.318326 0.331134 0.668866 2019 0.356558 0.330725 0.312717 0.687283 2020 0.362641 0.343262 0.294098 0.705902 2021 0.368812 0.355949 0.275239 0.724761 2022 0.37507 0.3688 0.25613 0.74387 2023 0.381395 0.381808 0.236797 0.763203 2024 0.387781 0.394986 0.217233 0.782767 2025 0.394152 0.408246 0.197601 0.802399 2026 0.400516 0.421635 0.177849 0.822151 2027 0.406853 0.435103 0.158043 0.841957 2028 0.413141 0.448652 0.138207 0.861793 2029 0.419375 0.462281 0.118344 0.881656 2030 0.425486 0.475912 0.098602 0.901398 city+town为城镇化比率；

sexrate男女性别比率（男总人口/女总人口*100）； totalp为总人口（单位：百人）； clear all; clc;

l=0.95;%死亡率变化

sb=1;%总和生育率变化，国家政策 bgch=1;%性别比例变化，国家政策

chlamda=1;%城乡流动性变化，城镇化速度，国家政策 m=2008;

ntotal=[2004:m]; ctotal=[2004:m]; ttotal=[2004:m]; vtotal=[2004:m]; cwtotal=[2004:m]; twtotal=[2004:m]; vwtotal=[2004:m]; cmtotal=[2004:m]; tmtotal=[2004:m]; vmtotal=[2004:m]; cototal=[2004:m]; tototal=[2004:m]; vototal=[2004:m]; cnewyear; cm=mnextp; cw=wnextp; ctm=mnextpopu; ctw=wnextpopu;

0.187983 0.195834 0.20287 0.209387 0.214852 0.220726 0.228126 0.236705 0.24699 0.258056 0.269539 0.280561 0.291658 0.302956 0.313901 0.324769 103.9599 103.9615 103.9597 103.9587 103.9533 103.9468 103.9365 103.9243 103.9089 103.9016 103.8863 103.8748 103.8582 103.8395 103.8288 103.8107 30

13587721 13641082 13688824 13730013 13763969 13791106 13810847 13823133 13829259 13828832 13826851 13822121 13816788 13811684 13806555 13804698

ct=ctm+ctw;

cmrate=cm/ct*100; cwrate=cw/ct*100; cbr=burnrate;

cch=wstay2*1000; tnewyear; tm=mnextp; tw=wnextp; ttm=mnextpopu; ttw=wnextpopu; tt=ttm+ttw;

tmrate=tm/tt*100; twrate=tw/tt*100; tbr=burnrate;

tch=wstay2*1000; vnewyear; vm=mnextp; vw=wnextp; vtm=mnextpopu; vtw=wnextpopu; vt=vtm+vtw;

vmrate=vm/vt*100; vwrate=vw/vt*100; vbr=burnrate;

vch=wstay2*1000;

new=[cm,cmrate,cw,cwrate,tm,tmrate,tw,twrate,vm,vmrate,vw,vwrate]; newb=[cbr,tbr,vbr]*1000; newtotal=ct+tt+vt;

newrate=[ct/newtotal,tt/newtotal,vt/newtotal] newf=[ct,tt,vt]

newch=[cch,tch,vch];

ntotal=ctotal+ttotal+vtotal;

norate=(cototal+tototal+vototal)./ntotal;

nsrate=(cmtotal+tmtotal+vmtotal)./(cwtotal+twtotal+vwtotal)*100; ncrate=ctotal./ntotal; ntrate=ttotal./ntotal; nvrate=vtotal./ntotal;

31