初中几何翻折变换问题题型梳理

折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。我们一起来探这类题目如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。 类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题

例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC

折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）

解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，

∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x）， 解得x＝4．即BN＝4．故选：A．

变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使

点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）

A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3

解：由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），

∵∠C＝90°，∴AD ﹣CD ＝AC ,（8﹣x）﹣x ＝36， 解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．

变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折

叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为_____．

解：由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH ，

设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．

策略：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。 类型2 翻折前有平行线这一条件的问题

例2． 如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，

AE交DC于点O，若OC＝5cm，则CD的长为（ ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm

解：∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠EAC＝∠ACD，∴AO＝CO＝5cm，

在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO＝3cm， ∴CD＝DO+CO＝3+5＝8cm．故选：C．

变式．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平， 设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为_____． 解：设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AB +BE ＝AE ，即4 +（8﹣x）＝x ，解得：x＝5， 由折叠可知∠AEF＝∠CEF，∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE， 即AE＝AF＝5，∴S△AEF＝1/2×AF×AB＝1/2×5×4＝10．故答案为：10． 类型3 直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答 例3．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD 的值是（ ） A．3/5 B．1/2 C．3/4 D．4/5 解：作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G． ∵在△BCG与△ODG中，∠BCG＝∠ODF，OD=BC, ∠DOF＝∠GBC， ∴△BCG≌△ODG，∴GO＝GB，∴设GO＝GB＝x，则CG＝GD＝2﹣x， 于是在Rt△CGB中，（2﹣x）+1 ＝x ；解得x＝5/4．GD＝2﹣x＝2﹣5/4＝3/4； ∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG＝∠DFG， ∵∠BGC＝∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴DF/BC=DG/BG，∴DF＝3/5； 4OF43D01,OF1,COSDOC，故选D5OD5522变式．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点 D落在边BC上的点

F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（ ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cn

解:由四边形ABCD是矩形，可得BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°，又由由折叠

的性质可得：AF＝AD＝10cm，∠AFE＝∠D＝90°，利用勾股定理即可求得BF的长，继而可得FC的长，然后由△ABF∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EC的长度．EC＝3cm，故选：D． 类型4 等边三角形的翻折一线三等角

例4．如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC边上

的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2，AN＝3，那么边BC长为_____．

解：设BD＝x，DC＝y，

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝x+y，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， 由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，

∴AM＝DM＝2，AN＝DN＝3，∴BM+MD+BD＝2x+y，DN+NC+DC＝x+2y， ∵∠MDN＝∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠NDC+∠MDB＝∠BMD+∠MBD＝120°，∴∠NDC＝∠BMD， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△BMD∽△CDN，

∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）＝DM：DN＝2：3，∴（2x+y）：（x+2y）＝2：3， ∴y＝4x，∴AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，

∵BM/CD=DM/DN=2/3，∴(5x-2)/4x=2/3，∴x＝6/7，∴BC＝5x＝30/7，故答案为30/7．

例4变式.如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着

PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD＝1：3，则AQ的长度为________．

解:易得△BPD∽△CDQ，可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD，由BD：DC＝1：4＝3，BC＝4，

推出DB＝1，CD＝3，设AQ＝x，则CQ＝4﹣x，构建方程即可解决问题；AQ=13/5. 方法策略模式：等边三角形折叠后，会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。 类型5 过一定点的翻折与隐形圆

例5．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上

一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围_________

解:如图所示，连接BM，BD，

∵M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN， ∴点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，A'M＝AM＝4， ∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形， ∴BM⊥AD，∠ABM＝30°，∴BM＝3AM＝43， ∵A'B+A'M≥BM，∴A'B≥BM﹣A'M＝43﹣4，

当点N与点A或点D重合时，点A与点A或点D重合，此时A'B的最大值为8，∴A'B的取值范围为：43﹣4≤A'B≤8，故答案为：43﹣4≤A'B≤8．

例5变式.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E是AD边的中点，点F是射线

AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连接A′C，则A′C的最小值为______． 解析:根据点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，可AE长为半径的半圆，得点A'的运动路径为以E为圆心，再根据两点之间线段最短，即可得出当点A'、C、E三点共线时，A′C的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可．即A′C的最小值为10-1 类型6 折叠后图形不确定的多解的折叠问题 例6．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为______ ． 解:由题意DE＝EC＝EC′＝1，∴DC′＜1+1 ∴DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可： ①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE． ∵AE＝AE，AD＝AC′，DE＝DC′， ∴△ADE≌△AC′E，∴∠ADE＝∠AC′E＝90°， ∵∠C＝∠FC′E＝90°，∴∠AC′E+∠FC′E＝180°， ∴A、C′、F共线，设CF＝x，则BF＝2﹣x，AF＝2+x， 在Rt△ABF中，2+（2﹣x）＝（2+x），解得x＝1/2．

②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件，此时CF＝1． 综上所述，满足条件的CF的长为1/2或1．故答案为1/2或1．

例6变式．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 E，F分别为AB，

AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将△AEF折叠得到△DEF，使点D落在BC上，当△BDE为直角三角形时，BE的值为______．

解:分两种情形分别求解：①如图1中，当∠EDB＝90°时，设BE＝x．

则AE＝ED＝10﹣x．利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；②如图2中，当∠DEB＝90°，设BE＝x，则AE＝ED＝10﹣x．根据tan∠DBE＝DE/BE＝AC/BC，构建方程即可；满足条件的BE的值为25/4或40/7． 三、总结提升

经过以上六个类型问题分析，我们不难得到解决这类问题思维模式。具体如下： 1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

2.折叠类问题中，如果翻折的是直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题；

3.折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就有可能出现等腰三角形，或者角平分； 4.折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，我们可以设未知数，根据勾股定理列方程求解；

5.折叠类问题中，如果折痕过某一定点，这是往往用辅助圆来解决问题，一般试题考查的是点圆最值问题。

6.折叠后图形不明确，应明确分析出可能出现情形，一次分析验证，借助纸片模拟分析。