内蒙古科技 大学2016-2017学年第 1 学期《概率论与数理统计》试卷
说明：本试卷共 6 页，考试时间 120 分钟；满分 100 分。
题 号 一 1 2 3 4 5 1 得 分 评卷人 2 3 4 二 5 6 7 8 9 总 分 说明： 可能用到的数值： (1.147) 0.8749;(2.5) 0.9938; (1.96) 0.975
(1.65) 0.95; (2.58) 0.995 ; z0.05 1.645 。 一、简单计算题（每题 4 分，共 5 小题，共计 20 分）
1、已知随机变量 X 的分布律为:
X P 求 E(X ), D(X )。
-2 0.2 0 0.3 3 0.5 2、设事件 A 与 B 独立，已知 P{AB} 0.16 , P( AB) P( AB)，求 P( AB) 。
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3、某人进行射击,设每次射击的命中率为a (0 a 1) ,独立进行射击 400 次,试求至少命中 2 次的概率。
4、若连续型随机变量 X ~ N(2,32 ) ，请问随机变量函数2X 1服从什么分布, 并写出其密度函数。
5、设随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
请确定常数k 。
K(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
f (x, y)
0,其它.
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二、解答题。（共 9 小题，共计 80 分） 1、（8 分）三个箱子，第一个箱子中装有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱子中装有 3 个 黑球与 3 个白球，第三个箱子中装有 3 个黑球与 5 个白球。现随机地选取一个箱子，再从该箱中随机取出一个球，求：（1）该球是白球的概率;（2）若已发现取出的是一个白球，则它不是取自第二箱的概率是多少。
2、（8 分）设随机变量 X 与 Y 独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：
Y X x1 x2 p j y1 y2 1 8 y3 pi 1 8 1 6 1 试卷第 3页（共 6页）
3、（10 分）在一简单电路中,两电阻 R1 和 R2 串联连接,设 R1 , R2 相互独立, 它们的概率密度均为
10 x
, 0 x 10 f (x) 50
其它. 0,
求总电阻 R R1 R2 的概率密度。
4、（9 分）已知总体 X 服从正态分布 N (, 2 ) ， X 1 , X 2 ,, X 为来自于总体 X 的简n 单随机样本，令统计量Y ( X X ) ，求：（1） EY , DY ，并判别 Y 有或没有无偏 1
1
2
性。(2 ) 计算相关系数 YX 。
1
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5、（9 分）对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生 无家长，1 名家长，2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05, 0.8, 0.15。若学校共有 400 名学生。设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布。 (1)求参加会 议的家长人数 X 超过450 人的概率;(2)求有1 名家长来参加会议的学生人数不多于340 人的概率。
6、（9 分）设总体 X 服从正态分布 N(, 100) ，为使总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间长度不大于 1，问样本容量 n 至少应取多大？
7、（9 分）设 X1, X2 , , Xn 是来自参数为 的泊松分布总体 X 的一个样本. 求:（1）
的矩估计量；（2） 极大似然估计量。
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8、(9 分) 某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均标准差是 0.15cm,今从一批产品随机地取得 15 段进行测量，其结果如下：
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
假定切割的长度服从正态分布，且标准差没有变化，试问该切割机工作是否正常？ （ 0.05）
9、（9 分）设随机变量 X 的分布函数为：
0, x 1,
F (x) ln x, 1 x e, X
1, e x
求：（1） p(X 2), p(0 X 3) , (2) 求概率密度 fX (x) 。
试卷第 6页（共 6页）
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