江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(三)

高三数学（理）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷选择题（共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数，则在复平面内错误！未找到引用源。对应的点坐标为

错误！未找到引用源。

A .错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D． 错误！未找到引用源。 2. 已知两个集合，则错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

A. B． C．错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。D．2,e

3．随机变量~N(0,1)，则P12=

Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718

（参考数据：P()0.6826，P(22)0.9544，P(33)0.9974） 4．从错误！未找到引用源。中不放回地依次取2个数，事件错误！未找到引用源。“第一次取到的是奇数” 错误！未找到引用源。“第二次取到的是奇数”，则 错误！未找到引用源。 B． 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 D． 找到引用源。错误！未找到引用源。5．按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（ ） 开始 输入x k=0 x=2x+1 k=k+1 否 A．(20,25] B．(30,57] C．(30,32] D．(28,57] x>115? 是 输出k . 结束 A. C． 错误！未*p6．已知数列{an}满足: 当pq11p,qN,pq时，apaq2，则{an}的前10 y项和S10 A. 31 B. 62 C. 170 D. 1023 7． 已知函数fx的图像如图所示，则fx的解析式可能是 （ ） 11x3 B.fxx3 2x12x111C.fxx3 D.fxx3 2x12x1A.fx1Ox 8． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上. 当D三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时， 三棱锥Q-BMN的正视图面积等于

QC1A1MNCB1112a B. a2

422232a D. a C. 44A.

1

D正视方向 AB图1 图2 12211则的最小值为（ ） aba1b2A.2 B. 2 C. 22 D. 1

10．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为(1,2)，点C位于第一象限，AOC．若BC5，则

9．若正数a,b满足：

yBCαOsin2cos225 A.5233cos= 22

Ax

B.5 5

C.5 5

D.25 511. 已知错误！未找到引用源。是双曲线上的不同三点，且错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

连线经过坐标原点，若直线错误！未找到引用源。的斜率乘积，则该双曲线的离

错误！未找到引用源。

心率错误！未找到引用源。 A .

B．

C． 错误！未找到引

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。用源。 D． 错误！未找到引用源。 12.已知函数，对错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，则错误！未找

错误！未找到引用源。

到引用源。的最小值为 A .

B．

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

C． 错误！未找到引用源。

13．设1x5a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5,则a1a2a5 ．

314．关于x的方程xpx20有三个不同实数解，则实数p的取值范围为 ．

15．已知△ABC外接圆的圆心为O，且OA3OB2OC0,则∠AOC= ．

16．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkBAB（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给

出以下命题：

①函数yx3x21图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B是抛物线yx21上不同的两点，则A,B2；

④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4t，乙、丙应聘成功的概率均为(0t3)，9316，求t的值； 81（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．

2

18．（本小题满分12分）

(sinxcosx)21已知函数f(x)，方程f(x)3在(0,)上的解按从小到大的顺序排成数列

cos2xsin2xan(nN*)．

（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn3an，数列bn的前n项和为Sn，求Sn的表达式． 2(4n1)(3n2) 19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱ABC1中A1B1C，侧面ACC1A1与侧面CBBC11都是菱形，

ACC1CC1B1600，AC2. （Ⅰ）求证：AB1CC1；

（Ⅱ）若AB16，求二面角CAB1A1的余弦值. 20．（本小题满分12分）

x2y23221（a＞b＞0）的离心率为已知椭圆形：2＋2＝，其左顶点A在圆O：x＋y＝16上．

ab2（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得

PQAP

＝3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)e(sinxcosx)a，g(x)(aa10)e（aR且a为常数）． （Ⅰ）若曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2)，求实数a的值；

3

x2xb(1e2)g(x)1（Ⅱ）判断函数(x)21lnx(b1)在(0,)上的零点个数，并说明理由．

(aa10)e2xx

四、选考题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。） 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB上．连结EC，CD．

（Ⅰ）证明：直线AB是圆O的切线； （Ⅱ）若tan∠CED＝

1，圆O的半径为3，求OA的长． 2

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系错误！未找到引用源。中，曲线错误！未找到引用源。的参数方程为错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数），以原点为极点，以错误！未找到引用源。轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！未找到引用源。

（I）求曲线错误！未找到引用源。的普通方程与曲线错误！未找到引用源。的直角坐标方程；

（II）设点错误！未找到引用源。，曲线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。交于错误！未找到引用源。,求错误！未找到引用源。的值. 24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数错误！未找到引用源。

（I）若错误！未找到引用源。的解集为错误！未找到引用源。，求实数错误！未找到引用源。的值； （II）当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，解关于错误！未找到引用源。的不等式错误！未找到引用源。

4

参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数，则在复平面内错误！未找到引用源。对应的点坐标为

错误！未找到引用源。

D

A .错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用

源。 D． 错误！未找到引用源。 2.已知两个集合，则错误！未找到引用源。 B

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

A. B． C．错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。D．2,e

3．随机变量~N(0,1)，则P12= B Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718

（参考数据：P()0.6826，P(22)0.9544，

P(33)0.9974）

4．从错误！未找到引用源。中不放回地依次取2个数，事件错误！未找到引用源。“第一次取到的是奇数” 错误！未找到引用源。“第二次取到的是奇数”，则 错误！未找到引用源。 D A. B． C． 错误！未找到引用错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 D． 源。错误！未找到引用源。5．按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（ D ） 开始 输入x k=0 x=2x+1 k=k+1 x>115? 是 输出k . 结束

否 A．(20,25] B．(30,57] C．(30,32] D．(28,57] *p6．已知数列{an}满足: 当pq11p,qN,pq时，apaq2， 则{an}的前10项和S10B A.31 B.62 C.170 D.1023 7． 已知函数fx的图像如图所示，则fx的解析式可能是 A y1x3 2x11C.fxx3 2x1A.fx

1x3 2x11D.fxx3 2x1B.fxOx8． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，

DQ动点M、N、Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上.

1C1当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时， 三棱锥Q-BMN的正视图面积等于 B

A.

A1MB1112a B. a2

42DNC

A5 B正视方向 图2 图1 C.

2232a D. a 449．若正数a,b满足：

12211则的最小值为（ A ） aba1b2A、2 B、2 C、22 D、1

10．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为(1,2)，点C位于第

AOC2一象限，．若

BC5，则

yBCαOsin2cos225 A.55 C.533= c D os225 B.525 D.5

Ax

11.已知错误！未找到引用源。是双曲线上的不同三点，且错误！未找到引用源。连

错误！未找到引用源。

线经过坐标原点，若直线错误！未找到引用源。的斜率乘积，则该双曲线的离心率

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 B A . B． C． 错误！未找

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。到引用源。 D． 错误！未找到引用源。 12.已知函数，对错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，则错误！未找

错误！未找到引用源。

到引用源。的最小值为 A A .

B． C． 错误！未找到引用

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。源。 D．错误！未找到引用源。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设1x5a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5,则a1a2a5 ．31

314．关于x的方程xpx20有三个不同实数解，则实数p的取值范围为 ．p3

215．已知△ABC外接圆的圆心为O，且OA3OB2OC0,则∠AOC= ．

316．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkBAB32（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给出

以下命题：

①函数yxx1图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B是抛物线yx1上不同的两点，则A,B2；

2④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 16．答案②③.解:①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,

6

(A,B)7②对：如y1； 3；17|2xA2xB|2③对；(A,B)2；④错；

22222(xAxB)(xAxB)1(xAxB)|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1x22(A,B)|ex1ex2|1(ee)x1x22，

1(ex1ex2)211111,因为恒成立，故t1. tx1x2x1x22(A,B)|ee|(ee)(A,B)三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4t，乙、丙应聘成功的概率均为(0t3)，9316，求t的值； 81（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望． 17解：（Ⅰ）依题意

4tt16, 所以t2. 933812（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为, 的可能取值为0,1,2

3428415214P(2)，P(1)，

932793932751581453010P(0)10. ，所以E2932727272727918．（本小题满分13分）

(sinxcosx)21已知函数f(x)，方程f(x)3在(0,)上的解按从小到大的顺序排成数列

cos2xsin2xan(nN*)．

（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn3an，数列bn的前n项和为Sn，求Sn的表达式． 2(4n1)(3n2)(sinxcosx)212sinxcosxsin2xtan2x, …………2分 18．解：（Ⅰ）f(x)22cosxsinxcos2xcos2xk(kZ) ………4分 由f(x)3及x0得2xk,∴x326方程f(x)3在(0,)的解从小到大依次排列构成首项为，

6(3n2)公差为的等差数列∴an(n1). ………………6分

62621113(3n2)()， （Ⅱ）bn(4n21)(3n2)62(2n1)(2n1)42n12n1111111n. Sn(1)()()(1)43352n12n142n14n2

7

19．如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBBC11都是菱形，

ACC1CC1B1600，AC2. （Ⅰ）求证：AB1CC1；

（Ⅱ）若AB16，求二面角CAB1A1的余弦值.

19【答案】（1）证明详见解析；（2）10. 5解析：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6， 所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B1(3，0，0)，

为正方向建A(0，0，

3)，

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为

AB1(3,0,3)，AC(0,1,3)，

3x10y13z10所以，取m＝(1，－

0x11y13z101)． 8分

3，

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为AB1(3,0,3)，AA1(0,2,0)，

3x20y23z20所以，取n＝(1，0，1)． 10分

0x2y0z0111mn210则cosm,n，因为二面角C-AB1-A1为钝角， 5|m||n|52所以二面角C-AB1-A1的余弦值为20．（本小题满分12分）

10． 12分 5其左顶点

x2y231（a＞b＞0）的离心率为已知椭圆形：2＋2＝，

ab222A在圆O：x＋y＝16上．

（Ⅰ）求椭圆W的方程； （Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O交点为Q．是否存在点P，使得不存在，说明理由．

的另一个的坐标；若

PQAP＝3? 若存在，求出点P

2220. 解：（1）因为椭圆W的左顶点A在圆O:xy16上，令y0，得x4，所以a4.又离心率为

222c3，所以c23,所以bac4, a23，2所以ex2y21. 所以W的方程为

164

……………………………………4分

8

（2）设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，设直线AP的方程为yk(x4)，

yk(x4), 与椭圆方程联立得x2y211642222化简得到(14k)x32kx64k160, 因为4为方程的一个根，

32k2416k2 所以x1(4)，所以x114k214k2281k. 所以|AP|214k ………………………………6分 ，

因为圆心到直线AP的距离为d2所以|AQ|216d2|4k|k21168, …………………………8分 21k21k|PQ||AQ||AP||AQ|1， 因为

|AP||AP||AP|82|PQ|14k23k231k113 代入得到

|AP|81k21k21k21k214k2|PQ|33. ……………………12分 3，所以不存在直线AP，使得显然32|AP|1k21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)ex(sinxcosx)a，g(x)(a2a10)ex（aR且a为常数）．

（Ⅰ）若曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2)，求实数a的值；

b(1e2)g(x)1（Ⅱ）判断函数(x)21lnx(b1)在(0,)上的零点个数，并说明理由．

(aa10)e2xxxxx21．解：（Ⅰ）f(x)e(sinxcosx)e(cosxsinx)=2ecosx，

f(0)2又曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),得f(0)， …3分

01即21a，解得a1 …………………………………………5分

b(1e2)g(x)1（Ⅱ）由(x)21lnx0 (x0)得 2(aa10)xexb(1e2)ex1b(1e2)ex1lnx0，化为1xxlnx， ……7分 22xexe令h(x)1xxlnx，则h(x)2lnx

2由h(x)2lnx0，得xe，

11故h(x)在(0,2)上递增，在(2,)上递减，

ee11h(x)maxh(2)12. …………………………………………10分

eeb(1e2)ex1xb(1)e， 再令t(x)e2e21x因为b1，所以函数t(x)b(12)e在(0,)上递增，

e

9

1011)eb(1)1. e2e2e2知t(x)h(x)max，由此判断函数(x)在(0,)上没有零点，

故(x)零点个数为0. ………………12分 t(x)t(0)b(1【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA＝OB，CA ＝CB，圆O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB 上．连结EC，CD．

（Ⅰ）证明：直线AB是圆O的切线； （Ⅱ）若tan∠CED＝

1，圆O的半径为3，求OA的长． 222.解析：（1）证明：连结OC. 因为OAOB，CACB，所以OCAB. 又OC是圆O的半径，所以AB是圆O的切线. ………………………5分 （2）因为直线AB是圆O的切线，所以BCDE. 又CBDEBC，

BCBDCDCD1所以△BCD∽△BEC. 则有，又tanCED，

BEBCECEC2BDCD1故. BCEC2设BDx，则BC2x，又BC2BDBE，故(2x)2x(x6)，即3x26x0. 解得x2，即BD2. 所以

OAOBODDB325. ………………………10分

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系错误！未找到引用源。中，曲线错误！未找到引用源。的参数方程为错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数），以原点为极点，以错误！未找到引用源。轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！未找到引用源。

（1）求曲线错误！未找到引用源。的普通方程与曲线错误！未找到引用源。的直角坐标方程；

（2）设点错误！未找到引用源。，曲线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。交于错误！未找到引用源。,求错误！未找到引用源。的值. 23. （1）错误！未找到引用源。-----------4分

（2）将错误！未找到引用源。代人错误！未找到引用源。直角坐标方程 得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数错误！未找到引用源。

(1)若错误！未找到引用源。的解集为错误！未找到引用源。，求实数错误！未找到引用源。的值；

(2)当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，解关于错误！未找到引用源。的不等式错误！未找到引用源。

24.（1）因为错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。-------5分 （2）错误！未找到引用源。时等价于错误！未找到引用源。

当错误！未找到引用源。所以舍去； 当错误！未找到引用源。成立

当错误！未找到引用源。成立； 所以，原不等式解集是错误！未找到引用源。-----------10分

10