“PA kPB”最值探究(胡不归 阿氏圆)

---孙洋清

【问题背景】 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1

时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无 法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。 即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。

其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】 线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

【模型初探】

（一）点 P 在直线上运动

“胡不归”问题

如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动 点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的 位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为 Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2)， 即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。

图 1-1-1

图 1-1-2

图 1-1-3

动态展示：见 GIF 格式！

思考：当 k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

提取系数 k 即可哦！！！

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危 的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？ 胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问 题”。

【模型初探】

（二）点 P 在圆上运动

“阿氏圆”问题

如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确 定？

B

A A

P

P

P

A

O

B

C O

B

C O

图 2-1-1

图 2-1-2

图 2-1-3

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解。

动态展示：见 GIF 格式！

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=kPB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼 斯发现，故称“阿氏圆”。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心 相连接），则连接 OP、OB；

第二步：计算出所连接的这两条线段 OP、OB 长度；

第三步：计算这两条线段长度的比 OP

k ；

OB

OC OP

第四步：在 OB 上取点 C，使得 ；

OP OB

第五步：连接 AC，与圆 O 交点即为点 P．

【模型类比】

① “胡不归”构造某角正弦值等于小于 1 系数 起点构造所需角

（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线---------- 利用垂线段最短解决问题

② “阿氏圆”构造共边共角型相似

PA2 AB AC 构造△PAB∽△CAP 推出

构造线段 即：半径的平方=原有线段

【典型例题】

1．(胡不归问题)如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+ BM 的最小值为

2 1

.

A D

分析：如何将 BM 转化为其他线段呢？

即本题 k 值为 ，必须转化为某一角的正弦值啊， 2 2

1

1

即转化为 30°角的正弦值。

M 思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC， B

C 则 MN= BM，即 AM+ BM 最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。

2 2

1 1

详解：如图，作 AN⊥于 BC 垂足为 N,

A D

∵四边形 ABCD 是菱形且∠ABC=60°，

∴∠DBC=30°，

M 即 sin∠DBC= = ∴ BM=MN，

2 1

1 MN 2 BM

，

B 1

N

C ∴AM+ BM=AM+MN，即 AM+ BM 的最小值为 AN.

2 2

3 2

3 3 .

1

在 RT△ABN 中，AN=AB·sin∠ABC= 6 



∴AM+ BM 的最小值为 3 3 .

2

1

变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？ (2)

本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？

答案：（1） 6 3 （2） 6 3

本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！----详见：本公众号前文！

2．(阿氏圆问题) 如图，点 A、B 在☉O 上，且 OA=OB=6，且 OA⊥OB，点 C 是 OA

2PCPD 的最小值为 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD=4，动点 P 在☉O 上，则

分析：如何将 2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即 2 倍关系 就出现了。套用“阿氏圆”模型：

构造共边共角相似

构造线段 半径的平方=原有线段

．

详解：∴连接 OP,在射线 OA 上截取 AE=6.

OP2 OC OE 即： E

∴△OPC∽△OEP

A P

PE 2PC ∴

2PCPD PE PD ,即 ∴ P、D、E 三点共线最小.

C 在 RT△OED 中， DE OD2 OE2  16 144 4 10

2PCPD的最小值为 即 4 10 .

O D B

PC PD ”的最小值你会求吗？ 变式思考：(1)本题如要求“

1

2

3

PC PD ”的最小值你会求吗？ (2) 本题如要求“

2

A

C P O D B E 答案：（1） 2 10 （2） 3 10

【变式训练】 (胡不归问题) 1.如图，

等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为 AO，点 D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，沿 AD-DC 运动，动点 P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒，动点 P 在 CD 上运动的速度为 1 个单位每秒，则当 AD= 运动时间最短为 答案：

时，

秒.

7 4

2 ， 2

3 4 2.如图，在菱形 ABCD 中，AB=6， 且∠ABC=150°，点 P 是对角线 AC 上的一个动点， 则 PA+PB+PD 的最小值为 答案： 6 2

.

本题也可用“费马点”模型解决哦！！！

【中考真题】

(胡不归问题)

1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过

点 A（-1，0），B（0，- 3 ）、C（2，0），其中对称轴与 x 轴交于点 D。

1 若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PB PD 的最小值为

2

。



8 3

(x 2)(x 4) 与 x 轴从左至右依次交于点 9

3 4 3

与抛物线的另一个交点为 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y x 

3 3

2.（2014.成都）如图，已知抛物线 y 

D（-5， 3 3 ）。

设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为

时，点 M 在整个运动过程中用时最少？

答案： 3 ， 2, 2 3

3 4

课外提升：2015 日照、2015 内江、2016 随州多个城市均在压轴题考察了“胡不 归”问题。 要好好专研哦！！！

(胡不归问题变式)

【变式训练】 (阿氏圆问题)

1.（1）【问题提出】：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，

1 ⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 AP＋ BP 的最小值． 2

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD＝1，则有 ∴ 1 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋ BP 的最小值为 ． 2 1 （2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP＋BP 的最小 3 PD 1 1 ,∴PD＝ BP,∴AP＋ BP＝AP＋PD． BP 2 2 2 CD CP 1 ，又∵∠PCD＝∠BCP,∴△PCD∽△BCP, CP CB 2 1 值为 ． （3）.【拓展延伸】：已知扇形 COD 中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5， 点 P 是 CD 上一点 ，则 2PA＋PB 的最小值为 答案： 37 ，

2

37 ，13. 3

．2.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为圆心作半径为 4 的圆交 X 轴正半轴于点 A，

1

PM  PN 的最小值 点 M 坐标为（6,3），点 N 坐标为（8,0），点 P 在圆上运动，求

2

为__________．

3.如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为 上 一动点，求

3 2

PC+PD 的最小值为 ．

答案：5， 2 .

【中考真题】

(阿氏圆问题)

x2 bx c 与直线 AB 交于 B 0, 4 A 4, 4 ， （2017·甘肃兰州）如图，抛物线 y

两点，直线 AC : y

1

x 6 交 y 轴与点 C ，点 E

2

是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF x 轴交 AC

于点 F ，交抛物线于点 G .

(1)求抛物线 y

x2 bx c 的表达式；

(2)连接 GB ，EO ，当四边形 GEOB 是平行四边 形时，求点 G 的坐标；

(3)①在 y 轴上存在一点 H ，连接 EH ， HF ，

当点 E 运动到什么位置时，以 A, E, F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E, H

的坐标；

②在①的前提下，以点 E 为圆心， EH 长为半径作圆，点 M 为⊙E 上一动点，求

1 2

AM CM 的最小值.

答案：(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）；

5 5 (3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；② ．

2

写在最后： “胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”

（k≠1 的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将 k·PB 这条线段的长度转化为某条具体线段 PC 的长度，进而根据“垂线段最短 或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。

不过两类问题的难点都在于如何对 k 值进行转化，“胡不归”需要构造某角

1 k 2 的正弦值等于 k(如 k 值＞1 则要先提取 k 去构造某角的正弦值等于 或等于 )

k k1

将 k 倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题； “阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要

信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k 值如大于 1 则将线段扩大相同 的倍数取点，k 值如小于 1 则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线 段最短”解决问题。

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