高数论文-浅谈定积分与不定积分的联系与区别

求不定积分的基本方法和技巧

[摘要]：不定积分是导数运算的逆运算，它在积分中起到了根基的作用，不仅为计算不定积分服务还为一些后续课做准备。现对求不定积分的基本方法和技巧做一简单总结。

[Abstract]：Inverse operation of indefinite integral is the Derivative operation, it played a role of the Foundation in integration, not only for the purpose of calculating Indefinite Integral Service also prepare for subsequent lessons. Now on the basic methods and skills of solving the indefinite integral make a simple conclusion.

[关键词]不定积分 第一换元积分法 第二换元积分法 分部积分法 递推公式

一、第一换元积分法（也称凑微分法） 设f(u)duF(u)c，则

f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F(u)cF[(x)]c

u(x)令u=（x）f(u)du

第一换元积分法是将被积表达式“凑”成微分的形式，亦称“凑微分法”.

1.几个简单的例子 例1.1 求eexdx

解 eexdxeed(ex)eec

11cosdx x2x11111解 2cosdxcosd()sinc

xxxxxxxxx例1.2 求例1.3 求(5x211)xdx 解 (5x211)xdx551252(5x11)d(5x11) 101(5x211)6c 60常用的凑微分形式

（1）f(axb)dx___d(axb) （2）ba1f(xn)xn1dx____dxn

n（3）f(ex)exdx____dex （4）f()dx_____d() （5）f(lnx)dx____dlnx （6）f(x)1dx2____dx x1x11xx1x2.复杂积分式的凑微分法

这类题型的解法一般是将被积分式g(x)dx写成f(x)(x)dx，或

(x)f(x)dx，

其中f(x)较(x)复杂.对f(x)或构成f(x)的主要部分求导，若其导数为(x)的常数倍，则(x)dxkdf(x)或(x)dxkdf*(x).其中k为常数，

f*(x)为f(x)的主要部分.

强调要注意的问题

例1.4 计算不定积分 (x2x)ex(x23x1)exdx 解： 因为 [(x2x)ex]'(2x1)ex(x2x)ex(x23x1)ex，

所以原式322x2(xx)ed[(xx)e][(xx)e]c

32x2x例1.5 计算不定积分解： 因为

sin2xacosxbsinx2222dx,ba

(a2cos2xb2sin2x)'a22cosx(sinx)b22sinxcosx(b2a2)sin2x所以

原式

1d(a2cos2xb2sin2x)22a2cos2xb2sin2xc 222baa2cos2xb2sin2xbax21例1.6计算积分4dx

x1解： 原被积分式的分子分母同除以x2，则

11d(x)2xdxx原式 11x22(x)22xx11xx2111xarctanarctancc

222x2例1.6这种题型一般做法是分子分母同乘（或除）以一个因子，再仿前法凑.

二、第二换元积分法

1.利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分

若被积函数f(x)含根式a2x2，则可做代换令xasint；若被积函数

f(x)含根式a2x2，则可做代换令xatant；若被积函数f(x)含根式

x2a2，则可做代换令xasect

例2.1求不定积分xdx(x1)1x22

解： 因为被积函数f(x)中含有1x2，所以应作变换xsint，

dxcostdt，于是

原式sintcostd(cost)dt2cos2t (sin2t1)cost122(ln11)dcost 2cost2cost1222cost1cln2cost22dx

21x221x2c

例2.2求不定积分x3(1x)322解： 因为被积函数f(x)中含有1x2，所以应作变换xtant

tan3tsin3t1cos2t2d(cost) 原式3sectdt2dt2sectcostcost (1111)d(cost)costc1x2c 2costcost1x2例2.3求不定积分x2a2dx,(a0) 4x解： 因为被积分函数f(x)含有x2a2，所以应作变换xasect

atant1tan2t原式44asecttantdt23dt

asectasect 112sintcostdtsin2td(sint) 22aa11x2a23 2sintc23a3axc 3

2.倒代换（即令x）

倒代换法要求：设m、n分别为被积函数的分子，分母关于x的最高次数，当nm1时，用倒代换可望成功. 例2.4 求不定积分1t1tdxx2ax1t22(a0)

解 ： 令x，则dx2dt.于是

原式t211a2()2t(1tdt dt)222tat11d(a2t21)a2t21x2a2 2cc

a2a2t21a2a2x3.指数代换（适用于被积函数f(x)由ax所构成的代数式）

2xdx例2.5 求不定积分

12x4x1dt，则 ln2tt1dt1dt原式= 2131ttln2tln2(t)22411d(t)t11222c arctan2ln2ln233123(t)222解： 令2xt,dx22t122x11arctancarctanc 3ln233ln23三、分部积分法

设uu(x)， vv(x)具有连续的导数，则公式udvuvvdu称为分部积分公式

1. Pn(x)ekxdx,Pn(x)sinaxdx,Pn(x)cosaxdx,其中k,a为常数，Pn(x)为n次多项式 一般选取： u(x)Pn(x),dvekxdx或(sinaxdx,cosaxdx) 例3.1 求不定积分(x32x5)cos2xdx

11(3x22)sin2xdx 22113 (x32x5)sin2x(3x22)cos2xxcos2xdx

2421133(x32x5)sin2x(3x22)cos2xxsin2xcos2xc2448解： 原式(x32x5)sin2x

由以上可看出，这种类型的积分可反复利用分部积分公式进行下去，但较繁且容易错，我们可以利用分部积分的推广公式: 设uu(x),vv(x)有n1阶连续导数，则

(n1)(n)(n1)(n2)(n3)n1(n1)uvdxuvu'vu\"vu\"'v(1)uvdx

证明：当n0时 uv'dxuvvu'dx 当n1时

(n1)(n)(n)uvdxuvu'v

u'vu''v (n)dxu'v(n1)u''v(n1)dxdxu''v(n2)u'''v(n2)dx(n1)

(n)(n)(n1)uv'dxuvuvdx由下往上一次代入，即可证得推广的分部积分公式. 例3.2 求不定积分(x53x22x5)cosxdx 解： 设ux53x22x5,v(n1)cosx

原式(x53x22x5)sinx(5x46x2)cosx(20x36)sinx 60x2cosx120xsinx120cosxc

2. ekxsin(axb)dx,ekxcos(axb)dx，其中k,a,b均为常数u(x),dv(x)的选取可随意

例3.3 求不定积分ekxsin(axb)dx

1kxakxa2kx解： esin(axb)dxesin(axb)2ecos(axb)2esin(axb)dx，

kkkkxa2k2kxksin(axb)acos(axb)kxesin(axb)dxec

k2k2所以 ekxsin(axb)dxksin(axb)acos(axb)kxec

k2a23. Pn(x)ln(x)dx,Pn(x)arcsinxdx,Pn(x)arctanxdx

选取： u(x)lnx,arcsinx,arctanx;dv(x)Pn(x)dx 同时利用 arcsinxarccosx,arctanxarccotx22

可把 Pn(x)arccosx,Pn(x)arccotxdx 分别化为Pn(x)arcsinxdx,Pn(x)arctanxdx的积分 例3.4 求不定积分x2arccosxdx 解：原式x3arccosxx3(131311x2)dx

x31x2 arccosxd(x2)

361x21311d(x2)22 xarccosx1xd(x) 3661x23131122 xarccosx(1x)1x2c

3934.递推公式

不定积分中的递推公式的推导，一般多用分部积分法求解 补充例题。

例3.5求不定积分1sinxxedx---------综合题目，可再加一些 1cosx1sinxx1exx1sinxx解： edxdxtanexdx edxx1cosx2cos2x22cos222 xxd()tanexdx x22cos22x2x2xtanexc

2x2ex tanextanexdxtanexdx

参考文献

【1】陈文灯，黄先开.数学复习指南[M].北京：世界图书出版公司2010.2

【2】刘玉莲，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义第四版.高等教育出版社.