广东工业大学2008年概率论考试试卷及答案

广东工业大学试卷用纸，共10页，第1页

：名 姓 线 ： 号 学 订 ： 业 专 装 ：院 学广东工业大学考试试卷 ( ) 课程名称: 概率论与数理统计 试卷满分 100 分 考试时间: 2008 年 6 月 27 日 ( 第 18 周 星期 五 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分. 1. 已知P(A)0.5, P(B)0.4, P(AB)0.6, 则P(AB)= ( ) (A) 0.2 (B) 0.45 (C) 0.6 (D) 0.75 2. 设一批产品共有1000个，其中50个次品，从中随机地不放回地选取500个产品，X表示抽到次品的个数，则P(X=3)=（ ） 497（A）C350C950A3497C500 （B）50A9501000A500 1000（C）C33497500(0.05)(0.95) （D） 3500 3. 设随机变量(X,Y)~N(1,1;4,9;12)，则Cov(X,Y)=（ ） （A） 0.5 （B）3 （C） 18 （D）36 4. 对于给定的正数，01，设u2，(n)，t(n)，F(n1,n2)分别是N(0,1)，2(n)，t(n)，F(n1,n2)分布的下分位数，则下面结论中不正确．．．的是（ ） （A）uB）22u1 （1(n)(n) 广东工业大学试卷用纸，共10页，第2页

（C）t(n)t1(n) （D）F1(n1,n2) 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分. 1. 设X1 F(n2,n1)~U(0,2)，则随机变量YX2在（０，４）内的概率密度函数为 . 2. 设(X,Y)的联合分布列为 Y X 0 1 0.2 0.1 0.3 0.4 0 1 XY的概率分布列为____________, Y2的概率分布列为____________. 3. 设随机变量X与Y相互，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P{max(X,Y)1} 4. 设随机变量X~B(100,0.2),应用中心极限定理可得P{X≥30}=__________________. (已知Φ(2.5)=0.9938) 5. 设X1、X2、X3为从总体X中抽取的容量为3的样本，总体均值为，总体方差为2. 记ˆ1111ˆ1X1X1X, 分别为未知参数 的估计，则X1X2X3, 2123333632____________为 的无偏估计，且此两个估计中___________较有效. 6. 原假设H0不真时，作出接受H0的决策，称为犯第 类错误，原假设H0为真时，作 出拒绝H0的决策，称为犯第 类错误. 三、(8分) 在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，这些病人中吸烟的占45%。据以往记录，吸烟的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有5%确患有肺癌 （1）在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率; (4分) （2）在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他是吸烟者的概率. (4分) 四、(８分) 设顾客在某银行的窗口等待的时间X(分钟)服从参数为1指数分布，某顾客在窗口等5待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求：(１) Y的分布律；（4分）(２) P{Y≥1}.（4分） 广东工业大学试卷用纸，共10页，第3页

A五、（8分）设随机变量X的概率密度为fx1x201x1其它 . 求（1）系数A；（2分）（2）X的分布函数；（4分）（3）概率P(X六、（10分）设二维随机变量(X,Y )的概率密度函数为关于 1).（2分） 22,f(x,y)0,0x1,0yx其它 求: (1) Y关于X的边缘分布密度函数fYX(yx)，并判断X与Y是否？(6分) (2) E(XY). (4分) 七、(8分) 设 X1, X2, …, Xn 是来自参数为  的泊松分布总体 X 的一个样本，试求：（1） 的矩估计；(3分)（2）的极大似然估计．(5分) 八、(8分) 证明：（契比雪夫大数定理）设随机变量X1,X2,,Xn,相互, 且具有相同的数学期望和方差: E(Xk),D(Xk)2(k1,2,), 作前n个随机变量的算术平均1nXXk, 则对于任意正数, 有 limPX1成立. nnk1九、(10分) 设服用某种药物一定份量使病人每分钟脉搏增加的次数X近似服从正态分布N (μ,σ2)，均值μ、方差σ2均未知，今抽查9个病人，测得每分钟增加脉搏的次数样本均值为13.20， 样本标准差为4.0 （1） 试取α=0.05，检验假设 备用数据：x2分布、t分布的上侧α分位数 222 (8)=15.507 x0.025(8)=17.535 x0.975 (8)=2.180 t0.025 (8)=2.3060 x0.05H0:μ=10 H1:μ10; (6分) (4分) （2） 求σ的置信度为0.95的置信区间. t0.05(8)=1.8595 t0.025(9)=1.8331

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广东工业大学试卷参及评分标准 ( ) 课程名称: 概率论与数理统计 考试时间: 2008 年 6 月 27 日 (第 18 周 星期 五 ) 一、答 （1） D （2） A （3） B （4） B 二、答 1（1） fY(y)2y0（2） X+Y pi (0y4),(其他). 0 0.2 １ 0.4 ２ 0.4 Y2 pi 0 0.3 １ 0.7 ˆ; ˆ （6）,  （3） 1/9 （4）0.0062 （5）P(A, 22 三、解 设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得： P(B)=0.45, P（B）=0.55, P(AB)0.9, P(AB)0.05. （1）由全概率公式得： P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(B)=0.68. （2）由贝叶斯公式得： P(BA) P(AB)P(AB)P(B)81. P(A)P(A)136广东工业大学试卷用纸，共10页，第5页

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5e5xx0四、解 由题意得：f(x){, 从而 0x0pPr(x10)5e5xdxe50, 所以 YB(5,p). 10kk（1） P(Yk)C5p(1p)5k， k0,1,2,3,4,5 （2） P(Y1)1P(Y0)1(1e50)5. 五、解 由题意得： （1） A1x2dx1A1x21dx1, A=1. 01(arcsinx)（2）F(x)21 （3）P(X)x11x1x1 121 3 六、解 由条件得： 当 0x1时，则 fx(x)f(x,y)dy2dy2x，从而 0x2x,fx(x)0,0x1其它 当0y1时，则 fY(y)f(x,y)dx2dx2(1y),从而 y12(1y),0y1 fy(y)其它0,1,（1） fYX(yx)x0,0x1其它 因为 f(x,y)fx(x)fy(y), 0x1,0yx，所以X与Y不. （2） 广东工业大学试卷用纸，共10页，第7页 E(XY) 七、解 （1） 因 100yxyf(x,y)dxdyE(XY)1132xydydx(xx)dx x0x4111E(X)，故的矩估计为 X n（2） 因似然函数为 nL(i1exixi!)ennxii1 ix!i1从而 lnLn(x)lnlnx! iii1i1nnd1nˆlnL0，则得到的极大似然估计为 xiX 令dni1 八、证明 由于 1n1n1E[Xk]E(Xk)n. （3分） nk1nk1n1n1n1D[Xk]2D(Xk)2n22.（6分） nk1nk1n由切比雪夫不等式可得： limPX1. （10分） n 九、解 （1）取检验统计量 tX0，则它服从t(n1)， S/n 所以此检验问题的拒绝域为 x0t(n1)。 s/n2 由条件得到 n9，x13.2，s4.0, tx102.4>t0.025 (8)=2.3060 s/n广东工业大学试卷用纸，共10页，第8页 （2）取检验统计量 2(n1)S22，则2(n1)S222(n1)，从而 P{21(n1)2(n1)S222(n1)}1 2(n1)S2(n1)S22P{22}1 (n1)(n1)212所以σ的置信度为0.95的置信区间为（2.701793, 7.66261）. 广东工业大学试卷用纸，共10页，第9页

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