数列模块

一、0诊要求

对于等差数列、等比数列、数列求和、数列通项、考查几乎每年都有一小一大，属于简单题或中档题； 二、考点复习

等差数列

基础自测

1

1.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S4＝20，则S6等于

A．16

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )

A．3 B．4 C．5 D．6

Sn2n－3a6

3.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则的

Tn4n－3b6

值为________．

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于 ( )

A．63

S2 014S2 008

5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，2 014－2 008＝6，则S2 013等于

( )

A．2 013

6.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( )

A．30

7.在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最

大值，并求出它的最大值；

B．45

C．90

D．186

B．－2 013

C．－4 026

D．4 026

B．45

C．36

D．27

B．24

C．36

D．48

( )

第1页

知识方法回顾

1．等差数列的有关定义

(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)．

(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)． (2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________. 3．等差数列的前n项和公式与函数的关系

dd

Sn＝2n2＋a1－2n.



数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________. 4．等差数列的性质

(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________.

(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________

等比数列

基础自测

S4S81. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S＝5，则S＝________．

2

4

11111

2.在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且a＋a＋a＋a＋a＝2，求

1

2

3

4

5

a3.

3.等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋„＋log2a2n－1＝( )

A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2

111

4.等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝aa＋aa＋„＋的结果可化

anan＋11223

为( )

111122A．1－4n B．1－2n C.31－4n D.31－2n



3a93

5.在等比数列中，已知a1a8a15＝243，则a的值为( )

11

A．3 B．9 C．27 D．81

第2页

6.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝( )

A．11 B．12 C．14 D．16

7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3等于( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3

知识方法回顾

1．等比数列的有关概念 (1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q

an＋1表示，定义的表达式为a＝q．

n(2)等比中项：

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1．

na1，q＝1，



(2)前n项和公式：Sn＝a1（1－qn）a1－anq

＝，q≠1.

1－q1－q

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r； (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„仍是等比数列；

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

强化训练

a9＋a101

1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为( )

2a7＋a8

A．1＋2 B．1－2 C．3＋22 D．3－22

2．(2011·漳州模拟)数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( )

A．a3＋a9≤b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10

C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定

3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )

A．6秒 B．7秒 C．8秒 D．9秒

4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )

A．24 B．32 C．48 D．64

22n－22n－1

5．若数列{an}的通项公式an＝55－45，数列{an}的最大项为第x项，最小项

第3页

为第y项，则x＋y＝________.

6．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k*

∈N，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.

7．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij (i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为________．

1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 „„„„„„„„„„„„„„

1

8已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和

3为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

11000

(2)若数列{}的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？

2009bnbn＋1

1

9．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝. 2

*

(1)当n∈N时，求f(n)的表达式； (2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋„＋an<2；

fn＋1

(3)设bn＝(9－n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．

fn

答案1．C 2.B 3.B 4.D5．3 6.21 7.107

1x11

8．解 (1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝.…a＝f(1)－c＝－c， 1

33322

a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－；

927

42

a28121a2121

又数列{an}成等比数列，a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1；公比q＝＝，an＝－×a3233a1333

－27

1nn－1*

＝－2×，n∈N；∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝Sn＋Sn－1(n>2)，又3bn>0，Sn>0，∴Sn－Sn－1＝1.数列{Sn}构成一个首项为1、公差为1的等差数列， Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又当n＝1时，也适合上式，∴bn＝2n－1，n∈N*.

11111111

(2)Tn＝＋＋＋„＋＝＋＋＋„＋

b1b2b2b3b3b4bnbn＋11×33×55×7(2n－1)×(2n＋1)

第4页

1111111111111n－1－1－＋－＋－＋„＋＝＝＝32352572n＋12n＋1.… 222n－12n＋12n100010001000

由Tn＝>，得n>，∴满足Tn>的最小正整数为112. 9．解 (1)令x

920092n＋12009

111

＝n，y＝1，得到f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

222

1111

即f(n)＝()n. (2)记Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an，∵an＝n·f(n)＝n·()n，∴Sn＝＋2×()2＋

2222

11111111＋

3×()3＋„＋n×()n，Sn＝()2＋2×()3＋3×()4＋„＋(n－1)×()n＋n×()n1，

22222222

11111＋1－1

两式相减得Sn＝＋()2＋„＋()n－n×()n1，整理得Sn＝2－()n1－n()n<2. (3)∵f(n)

2222222

1＋()n12f(n＋1)9－n1

＝()n，而bn＝(9－n)＝(9－n)＝.…当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0； 2f(n)1n2

()2

当n>9时，bn<0，∴n＝8或9时，Sn取到最大值．

数列通项、求和

基础知识、方法 1.求数列的通项

1.公式法：（1）anS1,n1；（2）等差数列ana1n1d；

SnSn1,n2（3）等比数列ana1qn1. 2.用递推公式求通项

（1）形如an1anf(n)，求an,用迭加法 （2）形如

an1fn，求an，用叠乘法 an（3）形如anan1（4）形如an1、为常数，可变为等比数列

Aan，求an，倒数法 anA2．求数列的前n项的和 (1)公式法

①等差数列前n项和Sn＝_________＝____________，推导方法：____________；

 ，q＝1，

②等比数列前n项和Sn＝

 ＝ ，q≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法．

(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．

常见的裂项公式有：

第5页

1111111

＝n－；②＝22n－1－2n＋1；

nn＋1n＋12n－12n＋1

1

③＝n＋1－n.

n＋n＋1

(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导． 基础自测

①

311

1.已知数列{an}中，a1＝5，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

an－1an－1

(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．

2. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

2n＋1·an

3.已知数列{an}满足an＋1＝，a＝2，求数列{an}的通项公式．

an＋2n＋11

111

4. 求数列1，，，„，，„的前n项和．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋„＋n

6. 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝1，b1＝2，a2＋b3＝10，a3

＋b2＝7.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

Sn(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，记cn＝·an，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.

2

2

7. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，

第6页

n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

1111

(3)证明：对一切正整数n，有＋＋„＋<. a1（a1＋1）a2（a2＋1）an（an＋1）3

强化训练

1．已知{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于( )

A．40 B．200 C．400 D．20

1

2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列a的前5

n

项和为( )

15313115A.或5 B.或5 C. D. 816168

3．已知数列{an}是等差数列，a1＝tan 225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2 016＝( )

A．2 016 B．－2 016 C．3 024 D．－3 024

1

的前8项和为4．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则数列a

2n－1a2n＋1

( )

3838A．－ B．－ C. D.

415415

5．数列a1＋2，„，ak＋2k，„，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋„＋ak＋„＋a10的值为________．

1

6．在等比数列{an}中，若a1＝，a＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋„＋|an|＝________．

24

7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”

n

的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 8．数列{a n}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

an(1)证明：数列{}是等差数列；

n

(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.

9．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.

(1)求数列{an}的通项公式；

111

(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋„＋S1S2S3

1

第7页

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋pn＋q(p，q∈R)，且a2，a3，a5成等比数列．

(1)求p，q的值；

(2)若数列{bn}满足an＋log2n＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn.

1

11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*.

4an

2

(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

2an－14an1

(2)设cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对n＋1cmcm＋1

于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

20（a1＋a20）10（a1＋a10）

答案：1.解析：选C.S20－2S10＝－2×＝10(a20－a10)＝100d.又a10

22

＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4.∴S20－2S10＝400.2.解析：选C.设数列{an}的公比为q.由题

9（1－q3）1－q611

意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列a是以1为首项，为公比的等

2n1－q1－q

31

比数列，由求和公式可得S5＝.3．解析：选C.∵a1＝tan 225°＝1，∴a5＝13a1＝13，则公

16

a5－a113－1差d＝＝＝3，∴an＝3n－2，∴(－1)nan＝(－1)n(3n－2)，∴S2 016＝(a2－a1)＋(a4

45－1

－a3)＋(a6－a5)＋„＋(a2 016－a2 015)＝1 008d＝3 024.4．解析：选B.设数列{an}的公差为d，

3a1＋3d＝0，n（n－1）

则Sn＝na1＋d.由已知可得解得a1＝1，d＝－1，故{an}的通项公

25a1＋10d＝－5，

11111

式为an＝2－n.所以＝＝2n－3－2n－1，所以数列

a2n－1a2n＋1（3－2n）（1－2n）2

111111118的前8项和为－＋－＋„＋－＝－.5．解析：a1＋„＋ak

16－316－12－111315a2n－1a2n＋1

（2＋20）×10

＋„＋a10＝240－(2＋„＋2k＋„＋20)＝240－＝240－110＝130.答案：

2

1306．解析：a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，

111－－－

则|an|＝×2n1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|＝(1＋2＋22＋„＋2n1)＝(2n－1)＝2n1－

222

1－－.7．解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1＝2n1＋2n22

＋

2－2n2－2n1n＋12nn

＋„＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2.∴Sn＝＝2－2.8．解：(1)证明：由已知

1－21－2

an＋1anan＋1anana1可得＝＋1，即－＝1，所以n是以＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)

1n＋1nn＋1n

an由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋„＋n·3n，

n

＋＋

①3Sn＝1×32＋2×33＋„＋(n－1)·3n＋n·3n1.②①－②得，－2Sn＝31＋32＋„＋3n－n·3n1

＋＋

3·（1－3n）3n1－3（2n－1）·3n1＋3n＋1（1－2n）·＝－n·3＝.所以Sn＝.9．(1)设数列{an}

241－3

＋

的公比为q，由题意可得a3＝16，∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n1.(2)∵bn＝log42n

第8页

1n＋1n（n＋3）1441111

，∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn＝.∴＝＝n－n＋3.∴＋＋24Snn（n＋3）3S1S2S3

11111111411111144

＋„＋＝1－4＋2－5＋3－6＋„＋n－n＋3＝1＋2＋3－n＋1－n＋2－n＋3<

Sn333

1＋1＋1<22，∴存在正整数k的最小值为3.10．(1)法一：当n＝1时， a1＝S1＝1＋p＋q，239当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋pn＋q－[(n－1)2＋p(n－1)＋q]＝2n－1＋p.∵{an}是等差数列，∴1＋p＋q＝2×1－1＋p，得q＝0.又a2＝3＋p，a3＝5＋p，a5＝9＋p，∵a2，a3，a5成等比数列，∴a2即(5＋p)2＝(3＋p)(9＋p)，解得p＝－1.法二：设等差数列{an}的公差为d，3＝a2a5，

n（n－1）d2ddd2

则Sn＝na1＋d＝n＋a1－2n.∵S∴＝1，aq＝0.∴d＝2，n＝n＋pn＋q，1－＝p，2222

2

p＝a1－1，q＝0.∵a2，a3，a5成等比数列，∴a23＝a2a5，即(a1＋4)＝(a1＋2)(a1＋8)，解得a1

－－

＝0.∴p＝－1.(2)由(1)得an＝2n－2.∵an＋log2n＝log2bn，∴bn＝n·2an＝n·22n2＝n·4n1.∴Tn

－－

＝b1＋b2＋b3＋„＋bn－1＋bn＝40＋2×41＋3×42＋„＋(n－1)·4n2＋n·4n1，①4Tn＝41＋

－－

2×42＋3×43＋„＋(n－1)·4n1＋n·4n，②①－②得－3Tn＝40＋41＋42＋„＋4n1－n·4n＝1－4n（1－3n）·4n－1122n

－n·4＝.∴Tn＝[(3n－1)·4n＋1]．11．(1)∵bn＋1－bn＝－391－42an＋1－12an－1

224an2

＝－＝－＝2(常数)，∴数列{bn}是等差数列．∵a1＝1，∴

12an－12an－12an－121－4a－1n

n＋1n＋124anb1＝2，因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，由bn＝，得an＝.(2)由cn＝，an＝，

2n2n2an－1n＋1

11111111124

得cn＝，∴cncn＋2＝＝2n－n＋2，∴Tn＝21－3＋2－4＋3－5＋„＋n－n＋2＝

nn（n＋2）111

21＋2－n＋1－n＋2<3， 

m（m＋1）11

依题意要使Tn<对于n∈N*恒成立，只需≥3，即≥3，

4cmcm＋1cmcm＋1

解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3.

＋1

＝

第9页