数列中的整除性和奇偶性分析(学生版)

数列中的整除性和奇偶性分析

Sn3(an1)(nN)b4n3(nN){b}nn2，数列的通项公式为，

例1．数列{an}的前n项和为Sn，且

如果把{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排成数列{cn}，求{cn}的通项公式。

例2．直线l:yab，其中a(xc1,1)，b(1,c2x)，数列{an}的前n项和为Sn，对nN，

anSn,)nn均在l上。在数列{an}中是否存在ak，al，ap，aq(klpq)，它们组成一等差数列，若存点(在，求出k,l,p,q一组值，若不存在，请说明理由。

an(mN*)anm.

anSnn2n例3．设数列的前项和，数列bn满足

bn（Ⅰ）若b1,b2,b8成等比数列，试求m的值；

bnb1,b4,bt(tN*,t5)btm（Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指

出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.

例4．已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列，公差为d(d0)，在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后，所得到的m3个数所组成的数列an是等比数列，其公比为q.

(1)若a1,m1,求公差d；

(2)若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的mm数的乘积（用a,c,m表示）

(3)求证：q是无理数。

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例5．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1b1,b2a3．

（1）求a的值；

（2）若对于任意的nN，总存在mN，使得am3bn成立，求b的值；

（3）令Cnan1bn，问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续

三项；若不存在，请说明理由．

例6．设{an}是各项均为正数的无穷项等差数列．

（Ⅰ）记Sna1a2的首项a1及公差d；

2an，Tna12a24n3nSn≤nn1，Tn≥2*an(nN)，试求此等差数列3，已知

2（Ⅱ）若{an}的首项a1及公差d都是正整数，问在数列{an}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{am}？若存在，请写出{am}的构造过程；若不存在，说明理由．

例7．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为

Aij.

1 4 7 10 13 …

2

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4 8 12 16 20 …

7 12 17 22 27 …

10 16 22 28 34 …

13 20 27 34 41 …

… … … …

（1）证明：存在常数CN，对任意正整数i、j，

*AijC总是合数；

（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列bn. 试证不存在正整数k和m(1km)，使得b1，bk，bm成等比数列；

（3）对于（2）中的数列bn，是否存在正整数p和r (1rp150)，使得

r的一组解（不必写出推理过程）存在，写出p，；若不存在，请说明理由．

b1，br，bp成等差数列．若

例8．已知anb是公差为d的等差数列，n是公比为q的等比数列。

（1） 若

an3n1*m、kN，是否存在，有amam1ak?说明理由；

an1bn*anbna（2） 找出所有数列和，使对一切nN,n,并说明理由；

ab（3） 若a15,d4,b1q3,试确定所有的p，使数列n中存在某个连续p项的和是数列n中的

一项，请证明。

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