例 1：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3 cm， DC=15 cm，BC=24 cm．点 P 从 A 点出发，沿 A→D→C 的方向以 1 cm/s 的速度匀速运动，同时点 Q 从 C 点出发，沿 C→B 的方向以 2 cm/s 的速度匀速运动．当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动．
（1）连接 AP，AQ，PQ，设△APQ 的面积为 S（cm2），点 P运动的时间为 t（s），求 S 与 t 之间的函数关系式．
（2）当 t 为何值时，△APQ 的面积最大？最大值是多少？（3）△APQ 能成为直角三角形吗？如果能，直接写出 t 的值； 如果不能，请说明理由．
A P DBQC【思路分析】① 研究基本图形，标注信息．
3A P D3 7415
B24
② 分析运动状态，分段、定范围．
△APQ 的面积 S(1/s) P : A(2/s) Q : C
3 s
D
12 sQC15 sCB总时间：0≤t≤12，分为两段：0≤t≤3，3＜t≤12．③ 分析几何特征，表达，设计方案求解．
第 1 问，结合分段，画出对应的图形后，表达对应图形的底和高，根据公式建等式．（当 t=0 时，三角形不存在；所以 t≠0）第 2 问，借助第 1 问的面积表达式来求解．
第 3 问，由于直角所在角不确定，分类后，画出对应图形，表达，分析不变特征，设计方案求解．
【过程示范】解：（1）当 0＜t≤3 时，
A P DB1 15t S t 15
22当 3＜t≤12 时，
QCAD PBQC1 1 1
S 15(3 2t) 3(t 3) 2t (18 t)
222
9
t 2 t 27
215t（0 t ≤ 3） 综上： S 29
t 2 t 27（3 ≤ t ≤12）2
（2）当 0＜t≤3 时，
15t S ，为一次函数，
215
∵k= ＞0，S 随 t 的增大而增大，
245
∴当 t=3 时，S 最大，为 ．
2
当 3＜t≤12 时，
9
S t 2 t 27 ，为二次函数，
2
∵a=1＞0，
∴图象开口向上，
b
又∵ 9 ，3＜t≤12，
2a4
∴当 t=12 时，S 最大，为 117．
综上：当 t=12 时，S 最大，最大值为 117 cm2．（3）0＜t≤3
①当∠APQ=90°时，
A P DBEQ C此时，AP=EQ，即 t=3-2t，∴t=1．
②当∠PAQ=90°时，
A P DB此时，CQ=AD，即 2t=3，
3 ∴ t ．
2QC3＜t≤12
①当∠APQ=90°时，
ADPBQ易证∠APD=∠PQC，∴△APD∽△PQC，
C∴t=6 或 t=9．
②当∠PAQ=90°时，
AD PB易证∠PAD=∠QAE，∴△PAD∽△QAE，
QEC巩固练习
1
如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BC= 53，∠C=30°．点 D从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时， 另一个点也随之停止运动．设点 D，E 运动的时间为 t 秒（t＞0），过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF．（1）求证：AE=DF．（2）四边形 AEFD 能成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值； 如果不能，请说明理由．
（3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
AEDBA
FC
BA
C
B
C
2
如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E 分别为边 AC，BC 的中点．点 P 从点 A 出发，沿折线 ADDEEB 以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 匀速运动；点 Q 也从点 A 出发，沿射线 AB 以每秒 2 个单位长度的速度运动，当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动．设点 P，Q 运动的时
．间为 t 秒（t＞0）
（1）当点 P 到达点 B 时，求 t 的值．
（2）设△BPQ 的面积为 S，当点 Q 在线段 AB 上运动时，求出 S 与 t 之间的函数关系式．
（3）是否存在 t 值，使 PQ∥DB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
AQ
PD
B
A
EC
D
B
A
EC
D
B
EC
3
如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6 cm， AB=8 cm，BC=14 cm.动点 P，Q 都从点 C 出发，点 P 沿 C→B 的方向做匀速运动，点 Q 沿 C→D→A 的方向做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求 CD 的长；
（2）若点 P 以 1 cm/s 的速度运动，点 Q 以2 2 cm/s 的速度运动，连接 BQ，PQ，设△BQP 的面积为 S（cm2），点 P，Q运动的时间为 t（s），求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t的取值范围；
（3）若点 P 的速度仍是 1 cm/s，点 Q 的速度为 a cm/s，要使在运动过程中出现 PQ∥DC，请直接写出 a 的取值范围．
ADQBADPCBADCBC思考小结
表达线段长是动点问题解题过程中重要环节之一． 表达线段长时思考方向如下：
①利用 s=vt，用动点走过的路程来表达；
②利用动点所走路程和线段长组合，来表达新线段长；③和角度结合在一起，利用相似或三角函数来表达．
【参考答案】
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