数学模型第四版9.5随机人口模型

我们在5.6节讨论的人口模型是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口，但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测，之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理。如果研究对象是是一个自然村落或一个家族的人口、数量不大，需作为离散随机变量看待时，就要利用随机人口模型来描述其变化过程了。

时刻t的人口用随机变量X(t)表示，X(t)只取整数值，记Pn(t)为X(t)=n的概率，n=0,1,2…，下面要在对出生和死亡的概率做出适当假设的基础上，寻求Pn(t)的变化规律，并由此得出人口X(t)的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况。

模型假设 若X(t)=n, 对人口在t到t+t的出生和死亡作如下假设

1. 出生一人的概率与t成正比，记bnt ;出生二人及二人以上的概率为o(t). 2. 死亡一人的概率与t成正比，记dnt ;死亡二人及二人以上的概率为o(t). 3. 出生与死亡是相互独立的随机事件。

4. 进一步设bn和dn均与n成正比，记bn=n，dn=n，和分别是单位时间内

n=1是一个人出生和死亡的概率。

建模与求解 为得到Pn(t)的方程，考察随机事件X(t +t)=n。将它分解为以下一些互不相容的时间之和，并且根据假设1~3，可以得到这些事件的概率： 1. X(t)=n-1, 且t内出生一人，概率为Pn1(t)bn1t； 2. X(t)=n+1, 且t内死亡一人，概率为Pn1(t)dn1t；

3. X(t)=n,且 t内没有人出生或死亡，概率为P1bntdnt)； n(t)(4. X(t)=n-k(k2), t内出生k人,或X(t)=n+k(k2)，t内死亡k人，或X(t)=n，t

出生且死亡k人(k1)，这些事件的概率均为o(t)。 按照全概率公式有

Pn(tt)Pn1(t)bn1tPn1(t)dn1t

Pn(t)(1bntdnt)(t) （1） 由此可得关于Pn(t)的微分方程

dPnbn1Pn1(t)dn1Pn1(t)(bndn)Pn(t) （2） dt特别地，在假设4下方程为

dPnbn1Pn1(t)dn1Pn1(t)(bndn)Pn(t) （3） dt若初始时刻（t=0）人口委确定数量n0，则Pn(t)的初始条件为

1, Pn(0)0,nn0nn0 （4）

（3）式对于不同的n是一组递推方程，在条件（4）下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果。幸而，通常人们对（3）式的解Pn(t)并不关心，感兴趣的只是X(t)的期望E（X(t)）（以下简记作E(t)）和方差D(t)，而它们可以由（3），（4）直接得到。因为按照期望的定义，

 E(t)nPn(t) （5）

n1对（5）求导并将（3）代入得

dE n(n1)Pn1(t)n(n1)Pn1(t)()n2Pn(t) （6）

dtn1n1n1注意到



n(n1)Pn1n1(t)=

k(k1)P(t)

kk1

n(n1)Pn1n1(t)=

k(k1)P(t)

kk1代入（6）式并利用（5）式，则有

dE ()nPn(t)()E(t) （7）

dtn1由（4）可以写出E(t)的初始条件

E(0)n0 （8）

显然，方程（7）在（8）下的解为

E(t)n0ert,r （9） 这个结果与5.6节（3）式表示的指数模型

x(t)x0ert （10）

形式上完全一致，从含义上看，随机性模型（9）中出生概率与死亡概率之差r可成为净增长概率，人口的期望E(t)呈指数增长，在人口数量很多的情况下如果将r视为平均意义上的净增长率，那么E(t)就可以看成确定性模型（10）中的人口总数x(t)了。

对于方差D(t)，按照定义

D(t)nP(t)E2nn12 (t) （11）

用类似求E(t)的方法可以推出（习题9）

D(t)n0()t()te[e1] （12） D(t)的大小表示了人口X(t)在期望值E(t)附近的波动范围。（12）式说明这个范围不仅随

着时间的延续和净增长率r的增加而变大，而且即使当r不变时，它也随着和的上升而增长。这就是说，当出生和死亡频繁出现时，人口的范围波动变大。

评注 从模型假设和得到的人口期望值得结果可以看出，这个随机模型在确定性入口模型中相对应的，只不过是最简单的指数增长模型。但是即使这样，由方程（3），（4）求解Pn(t)已经相当复杂了，读者可以建立与确定性的阻滞增长（logistic）模型相对应的随机模型（习题10）。由这个模型，不仅Pn(t)而且E（X(t)）都难以求出，甚至不知道E（X(t)）是否与确定性阻滞增长模型的结果（5.6节（7）式）一致。所以本节的讨论作为人口模型并没有多大的意义，但是作为一般的生灭过程，特别是从假设1~3得到的模型（2）式有着广泛的用途，如电梯的升降、交通路口的通过以及各种排队现象，都可以在适当的假设下用生灭过程的模型描述。