U664-线性代数-向量组、方程组 练习一

一、判断题：

( ) 1、如果两个向量组的秩相等，那么它们必然是等价向量组. ( ) 2、若向量组1,2,3线性无关，1,2,4线性相关，则4必可由1,2,3线性表示. ( ) 3、设1,2,那么1,2,,n是一组n维向量且n维单位向量1,2,,n线性无关.

,n可被它们线性表出，

( ) 4、设123...r, 213...r,, r12...r1，

那么r{1,2,r}r{1,2,r}.

TTT( ) 5、设1(a1,a2,a3),2(b1,b2,b3),3(c1,c2,c3),则三条直线aixbiyci0，

(ai2bi20,i1,2,3)交于一点的充要条件是1,2,3线性相关且1,2线性无关.

( ) 6、如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. ( ) 7、mn是n维向量组1,2,m线性相关的必要条件.

( ) 8、若1,2,3线性无关，则12,23,31线性无关. ( ) 9、正交的向量组必定不含零向量.

( ) 10、如果A是n阶矩阵且A0，则A的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合. 二、填空题

1、设(2,1,5)，(1,1,1)，则＝ ，32＝ . TTT2、设1(1,1,1)，2(1,2,3)，3(1,3,t)，则当t 时它们线性相关. TTT3、设1(k,1,1),2(0,2,3),3(1,2,1), 则当k 时，1,2,3线性无关. TTTT4、向量组1(1,2,3,4),2(2,3,4,5),3(3,4,5,6), 4(4,5,6,7)，

TT该向量组的秩是 .

1011x35、若A223,且rA3,则 .6、设A014，rA2，则x . 13t2217、设三阶方阵 A,1,2,B,21,32 ,

其中,,1,2 均是三维列向量且

1A,3B3, 则AB .

8、设1,2,3,1,2均为4维列向量, 且矩阵A(1,2,3,1), B(1,2,2,3),

C(3,2,1,12),如果|A|a,|B|b，则行列式|C| .

1223的列向量线性相关，则t . 9、已知矩阵A4t3110010、设矩阵A00

1000010000，则A3的秩为 . 11、若A为n阶可逆矩阵，则r(A) . 101

12、已知(1,2,3),(5,1,k), 那么k 时,向量与正交.

TTTT三、已知向量组1(1,1,1,3),2(1,3,5,1),3(2,6,10,a),4(4,1,6,a10)

TT线性相关. 试求a值并确定该向量组的一个极大线性无关组. 并将其余向量用此极大无关组线性表示.

TTTT四、已知1(1,2,1),2(,1,10),3(1,,6),(2,5,1),

试分析的取值情况使得

(1)可由1,2,3线性表出，表示方式唯一； (2)可由1,2,3线性表出，表示方式不唯一； (3)不能由1,2,3线性表出.

五、设1123,21223,312233,如果1,2,3线性无关，

证明：1,2,3也线性无关.

线性方程组

一、选择题

1、设n元线性方程组Axb有解，则当r(A)（ ）n时，Axb有无穷多解。 A.  B.  C.  D. 

2、设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax0仅有零解的充要条件是A的（ ）.

A. 列向量线性相关 B. 列向量线性无关 C. 行向量线性相关 D. 行向量线性无关 3、mn是n维向量组1,2,,m线性相关的（ ）条件。

A. 必要 B. 充分 C. 无关 D. 充分必要

4、1,2为齐次线性方程组Ax0的解，1,2为非齐次线性方程组Axb的解，( ).

A.211为Ax0的解 B.12为Axb的解；

C.12为Ax0的解； D.12为Axb的解.

5、设非齐次线性方程组Axb中，系数矩阵A(aij)mn且r(A)r，则（ ）。 A. 当mn时，方程组Axb有惟一解；B. 当rn时， 方程组Axb有惟一解； C. 当rm时，方程组Axb有解； D. 当rn时，方程组Axb有无穷多解。

二、填空题

1、若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r, 则当 时，方程组有唯一解； 当 时，方程组有无穷多解。

2、设三元非齐次线性方程组Axb中，矩阵A的秩为2，且1(1,2,2)T,2(3,2,1)T 为Axb的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为： 。

3、设为齐次线性方程组Ax0的解，为非齐次方程组Axb的解，则3为_____的解。

1214、若A231,则齐次线性方程组Ax0的线性无关的解的个数为______。

411

2

5、设A是mn矩阵，则非齐次线性方程组Axb有唯一解的充要条件是 , 有无穷多解的充要条件是 。

3