几个分块矩阵之间的半正定性关系

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年第２期　（总第６３期）　牡丹江师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎｏ．２，２００８　ＴｏｔａｌＮｏ　６３　几个分块矩阵之间的半正定性关系　关丽杰　（牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江　１５７０１２）　摘要：矩阵的正定及半正定性是矩阵的一个十分重要的性质，分块矩阵在高等代数的学习中又具有十分　广泛的应用，现将二者联系起来，研究几个分块矩阵的半正定性之间的相互关系．　关键词：半正定；合同；可逆；对称　［中图分类法］０１５１．２１　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００３－－６１８０（２００８）０２－－００１８－－０２　矩阵的正足放半正定性是矩阵的一个十分重　要的性质，分块矩阵在高等代数的学习中又具有　十分广泛的应用，现将二者联系起来，研究几个分　块矩阵的半正定性之间的相互关系．　命题１　Ａ与Ｂ均为实对称矩阵，且Ａ与Ｂ　合同，若Ａ＞／ｏ，则Ｂ＞／ｏ．　证明　Ａ是实对称半正定的，设　Ａ—Ｑｄｉａｇ（　１，…，　，，０，０，…，ｏ）ｏ　，　令Ｍ一（Ｄ　Ｅ），则Ｍ可逆，　所以（　ｃ—Ｂ　。Ｂ）≥ｏ，从而（含，菩）≥ｏ．　应用上述几个命题讨论下面问题．　已知　Ｍ一（ＢＡ，　）≥ｏ是分块矩阵，讨论　其中Ｑ可逆，因为Ａ与Ｂ合同，所以存在Ｃ可　逆，有Ａ＝ＣＢＣ　，则　Ｂ＝ＣＱｄｉａｇ（２１，…，　，，０，０，…，ｏ）ｏ　Ｃ　Ｍ。一（会　（　肋Ａ　ＢＫｃ　），Ｍ。一（　Ａ　ＢＫｃ　）＇　Ｍ。一一（ＣＱ）ｄｉａｇ（２１，…，　，，０，…，Ｏ）（ＣＱ）　．　因为Ｃ，Ｑ可逆，则Ｐ—ＣＱ也可逆，从而　Ｂ＝Ｐｄｉａｇ（２１，…，　，，０，０，…，Ｏ）Ｐ　，　（Ａ　警）　是古是半止疋即？分　匕１Ｉ　ＪＺＩＳＪ即半止疋任天乐？　则Ｂ≥０．　命题２　若Ａ，Ｃ均是对称阵，则当Ａ可逆　时，（含，ＢｃＪ与ＩｏＡ　ｃ一呈，Ａ一。Ｂ）合同．　证明　（一　，Ａ一。　）（会，罢）（　一　－１Ｂ）　一结论１　若Ｍ是半正定的，则Ｍ１，Ｍ　，Ｍ３，　Ｍ　，Ｍ　未必也是半正定的．　例１令Ａ一（　），Ｂ一（　２　），　（　ｃ—Ｂ０，Ａ＿１Ｂ），　按照合同的定义知，命题２是正确的．　命题３若Ａ可逆，Ａ≥Ｏ，并且Ｃ一　一　Ｂ≥Ｏ，　（　），ｃ一（　；）．　分析因为Ｍ＝（会，　）与　Ｎ一（　ｃ一　一　Ｂ）合同，可以用例题中的数　则（含　证明令Ｔ一（　一　Ｂ），　据验证Ｎ≥ｏ，从而Ｍ≥ｏ；而Ｍｌ一（Ｂ罢Ａ　）与　－＿（Ａｏ　ｃ—Ｂ０Ａ一。Ｂ，）合同，代人数据可以验证　则Ｔ　（含言）Ｔ一（　ｃ一呈，Ａ一。Ｂ），由命题　Ｎ。知（会，言）的半正定性与（　ｃ一　一。Ｂ）相同，　例２令Ａ一（　），　Ｂ一（　一　），　考虑（　ｃ—Ｂ０，Ａ一。Ｂ），因为Ａ≥ｏ且ｃ—Ｂ　Ａ－１　Ｂ，（＿　１　），ｃ一（一　）．　Ｂ≥Ｏ，设Ａ＝Ｄ＇Ｄ，Ｃ一　Ｂ＝Ｅ＇Ｅ（Ｄ，Ｅ可逆），　则（　ｃ一　收稿日期：２００７－－０９—１３　・　）一（　Ｅ，）（Ｄ　Ｅ）　又因　Ａ　５一　十Ｂ，　（Ｄ　Ｅ）　（Ｄ　Ｅ）一　．　又因为Ｍ　一Ｃ　Ｊ与　１８・　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００８年第２期　（总第６３期）　牡丹江师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎｏ．２，２００８　ＴＤｔａｌＮＯ　６３　一Ｉ。ｃ一（旦　）ｖ　（ＢＨ－　Ｂ＇）　Ｍ２也是非半正定的．　结论２若ＢＢ　一Ｂ　Ｂ，则Ｍ２一Ｍ３一　，从　而Ｍ２，Ｍ３，Ｍ４的半正定性相同．　合同，经过验证有Ｎ５是非半正定的，从而Ｍ５也　是非半正定的．　例３在例２数据的基础上已经验证Ｍ≥Ｏ，　证明　若ＢＢ　一Ｂ　Ｂ，则必有（ＢＢ　）专一　（Ｂ　Ｂ）寺，根据Ｍ２，Ｍ３，Ｍ４的表达式必有Ｍ２一Ｍ３　一Ｍ４．又因为在例２数据的选取中满足ＢＢ　一　Ｂ　Ｂ，从而Ｍ２一Ｍ３一Ｍ　均是非半正定的．　结论３若Ｍ半正定，且Ｍ２半正定，则必有　Ｍ３，　半正定的结论成立．　证明　若Ｍ半正定，且Ｍ２半正定，则有　（ＢＢ　）专一（Ｂ　Ｂ）专，从而有Ｍ２一Ｍ３一　，则有　Ｍ２半正定，可推出Ｍ３，Ｍ　半正定的结论成立．　又因为　一（　，告　专　Ｎ　２一（ｌ　ｃｏ　ｃ一　（　）Ｂ＇Ｂ　Ａ专Ａ一　。　（ＢＢ，　）｛）Ｊ　Ｎ　ｚ一合同，经代人数据验证有Ｎ。是非半正定的，从而　参考文献　［１］曹重光．线性代效［Ｍ］．内蒙古ｔ内蒙古科学技术出版社，１９９９．　［２］曹重光，张显．高等代效方法选讲［Ｍ］．哈尔滨。哈尔滨出版社，２００１．　［３］白述伟．高等代效选讲［Ｍ］．哈尔滨：黑龙江教育出版社，１９９６．　［４］复旦大学数学系．高等代效［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８７．　［５］张合瑞，郝新．高等代效［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９６０．　编辑：文心　利用概率方法证明不等式　朱　蕴　（黑龙江农垦职业学院，黑龙江哈尔滨１５００２５）　摘要：不等式是教学分析的重要内容，证明不等式常用的是代数方法，但有些问题不容易解决，运用概率　方法可以对一些问题巧妙地解决，同时还可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景。沟通各数　学分支之间的联系．　关键词：不等式；概率分布；数学期望；凹函数；随机变量　［中图分类法］ｏ２１１　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１ＯＯ３—６１８０（２００８）０２—００１９一Ｏ３　Ｐ（ｅ一　ｉ）一一１，本文利用概率方法证明不等式，得到了几个　定理和推论，并对定理进行了推广．证明不等式常　用的是代数方法，但有些问题不容易解决，利用概　率方法能够使阃题简单化，这是一种有效的方法，　同时概率方法使不同的数学分支之间架起桥梁．　定理１设ｅ是一个随机变量，并且聩。存　在，则（髓）。≤髓　．　ｆ一１，２，…，　．　１　”　Ｈ　１　由于Ｅ　一∑三ｎｆ一三∑ｎｆ，　ｉ叠１　ｉ＝１　证明　。．。Ｏ≤Ｅ（ｅ—Ｅ　）。：Ｅ［　一２ｅ（Ｅ　）＋　（Ｅ　）。］一Ｆ４。一（Ｅ　）。，　’．．　聩。一（壹　）。一（　）。（奎）。，由定理１得Ｅ（　）＝　砉ｎ　≥（　）。（ｉ妻＝１ｎ　）。，　ｎ　ｉ＝１　（髓）。≤髓。．　因此有妻　≥　（妻　）ｚ．　推论２设函数，（ｚ）为闭区间［Ｏ，１］上的可　当且仅当ｅ—Ｆ４，随机变量ｅ是一个常数时，不等　式中等号成立．　由定理１可得到以下几个推论．　推论１设ｎ　（　一１，２，…，　）为任意实数，　１　Ｈ　积函数，则『Ｌ　Ｊ０　）如］ｉ　Ｊ。≤ｆ尸（０　ｚ）如．　证明　设　～Ｕ［Ｏ，１］，即　的概率密度函数　则有∑ｎ　≥　（∑ｎ　）。．　—ｌ　一１　为　）＝｛　：　一，函数　）为可积函数，　证明　由于定理１中不等式与随机变量概率　分布的数学期望公式类似，因此，采取概率方法解　厂（ｅ）为随机变量函数，则　。一１　尸（　）ｄｘ，　题．构造一个离散随机变量　，它的概率分布列为　收疆日期：２００７－１２－２４　・　１９　・