函数奇偶性的性质及其应用(优质资料,免费下载)

函数奇偶性的性质及其应用

蒋明权 邓海

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。

其判定的法则是：（1）看关系式是否出现f(x)f(x)（此为奇函数）或f(x)f(x)（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f(x)满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。

因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数。 设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x)g(x)，则

g(x)(x0) f(x)

g(x)(x0) （证明从略，类似情况略）。

设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x)是增函数，则当x<0时，f(x)仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。

一. 判断函数的奇偶性

例1. 判定函数f(x)1x2x21的奇偶性。

21x0 解：函数的定义域满足2，即为{1，1}，函数的图象表示两个点：（-1，0），（1，0）。其图象既关

x10于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函数。

二. 求函数的函数值

axaxblogc(xx21)x2（其中a,b,c为常数），且f(2)5，试求f(2)的值。 例3. 设f(x)2axaxblogc(xx21)，易证g(x)是奇函数，故 解：设g(x)2 g(2)g(2)，f(x)g(x)x2

(1)f(2)g(2)4 于是

f(2)g(2)4(2) 两式相加得：f(2)8f(2)853，即f(2)3

三. 函数的解析式

例3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)lg(x1)2x21。试求此函数的解析式。 解：（1）当x＝0时，f(0)f(0)f(0)，于是f(0)0；

（2）当x<0时，x0，则f(x)lg(x1)2(x)21，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则 f(x)f(x)lg(x1)2x21 此函数的解析式为

lg(x1)2x21(x0) f(x)0(x0)

32x2x1(x0)

例4. 设x(1，1)，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)g(x)2xlg(1x)，求f(x)的表示式。 解：f(x)是奇函数，有f(x)f(x)；g(x)是偶函数，有g(x)g(x)，则

(x)f(x)g(x)2xlg1 

f(x)g(x)2(x)lg1(x)f(x)g(x)2xlg(1x) 即

f(x)g(x)2xlg(1x) 两式相减得f(x)2x11xlg() 21x

四. 解不等式

例5. 解不等式(x1)(x2)(x3)(x4)(x1)(x2)(x3)(x4)120

解：设f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x1)(x2)(x3)(x4)，因f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，即f(x)的奇数次方为0，可设f(x)2x4Ax248，以x＝1代入，得

214A1248(11)(12)(13)(14)(11)(12)(13)(14) 解得A＝70，即f(x)2x470x248，原不等式可化为： 2x470x248120 即x435x2360 即(x236)(x21)0 因而x21，x1或x>1

例6. （2004年上海卷）设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］。当x[0，5]时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是______________。

图1

解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数yf(x)在区间［-5，5］上的图象如图2，易知不等式f(x)0的解是(2，0)(2，5]。

图2

五. 在二项式的展开式中的应用

例7. 若(12x3x24x3)11(12x3x24x3)11a66x66a65x65a1xa0，求a65a1的值。 解：设f(x)(12x3x24x3)11(12x3x24x3)11，则f(x)是偶函数 则f(x)a66x66a65x65a1xa0的奇数次方的系数 a65a63a3a10 则a65a10

六. 函数的奇偶性的综合应用题

ax215(a0，b0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中bN，且f(1) 例8. 已知函数f(x)bxc2 （1）试求f(x)的解析式；

（2）问函数f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 解：知函数yf(x)(a0，b0)是奇函数，f(x)f(x)，则c＝0

由于f(x) 解得

a1aa15x22，所以ab2，又ab2，又f(1)，于是2b25b20 bbxb2b1b2，又bN 21 x 所以b＝1，a＝1 所以f(x)xx21 （2）设点（x0，y0）存在关于点（1，0）对称点（2x0，y0），此两点均在函数y的图象上，则

xx021(2x0)21 y0，y022x0 联立以上两式得x022x010，即x012，从而，当x012时，得y022；当x012时，得y022

即存在点（12，22），（12，22）关于点（1，0）对称。

湖南省永州市第一中学（425006）

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高中 学科 数学 版本 期数 统考试题与题解 栏目名称 专题辅导 审稿老师 一校 胡丹 二校 审核 函数奇偶性的性质及其应用 分类索引描述 函数奇偶性的性质及其应用 韩秋荣 分类索引号 G.622.475