大学生助学贷款问题建模

一.摘要 ........................................................................... 2 二.问题的重述

2.1背景 ................................................................ 2 2.2问题 ................................................................ 2 三.问题的分析 ............................................................... 3 四.建模过程

4.1基本假设 .................................................................. 4 4.2定义符号说明 .......................................................... 4 4.3模型建立与求解 ...................................................... 4 4.4模型检验与分析 ...................................................... 6 五.模型的评价与改进 ................................................. 10 六.参考文献 ................................................................. 11

大学生助学贷款问题

摘要：国家助学贷款是由主导、财政贴息，银行、教育行政部门与高校共同操作的专门帮助高校贫困家庭学生的银行贷款。借款学生不需要办理贷款担保或抵押，但需要承诺按期还款，并承担相关法律责任。借款学生通过学校向银行申请贷款，用于弥补在校学习期间学费、住宿费和生活费的不足，毕业后分期偿还。本文就王同学应当采用哪种还款方式偿还贷款的金额最少问题进行研究，展开讨论、分析和建立数学模型，利用matlab软件进行求解。 对于两种还款方式选择，实际上他还有两种时间选择，一是王同学经过宽限期再开始还款;二是王同学一毕业第二年就开始还款。因此本文将对两种还款方式分别进行两种讨论，建立出对应的模型，偿还贷款的金额最少时即为最优解，最后进行编程和求解。

关键词：助学贷款 还款方式 最优解 月薪负担

第一章 绪论

国家助学贷款是党、在社会主义市场经济条件下，利用金融手段完善我国普通高校资助体系，加大对普通高校贫困家庭学生资助力度所采取的一项重大措施。国家助学贷款是由主导、财政贴息、财政和高校共同给予银行一定风险补偿金，银行、教育行政部门与高校共同操作的专门帮助高校贫困家庭学生的银行贷款。借款学生不需要办理贷款担保或抵押，但需要承诺按期还款，并承担相关法律责任。借款学生通过学校向银行申请贷款，用于弥补在校学习期间学费、住宿费和生活费的不足，毕业后分期偿还。

第二章 问题

2.1选题背景

大学生助学贷款帮助了许多大学生完成了学业，这是发展科教兴国的资助措施。这是一个好的，它为家庭贫困的同学提供了上大学的机会。可是近年来一些同学对助学贷款还款问题还是存在一些疑问，都想寻找一个还款最省的还款方式。 2.2提出问题

王同学是邵阳学院的一名2014级大一的新生，因为家境的原因决定申请助学贷款，大学期间需要借贷24000元。已知助学贷款的申请是一年之中最少申请1000元，最高不能超过6000元，借款期限最低为6年，最长为14年，可以在大学期间接连申请，在大学就读期间贷款所产生的利息由国家（或地区）支付，每年的12月20日为还款期，从毕业时的6月20号到次年的12月20日为宽限期，宽限期内只需自付利息，不需偿还本金。宽限期结束后次年的12月20日除自付利息外开始等额还本，贷款期限最后一年的12月20日要求全部还清。王同学2018年6月20号大学毕业，想在2023年将钱款全部还清。王同学决定在大学期间每年6月20日申请助学贷款6000元，还款结止日期为2023年12月20日，现在有两种还款方式供选择。

（1）申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。 （2）申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。

请用数学建模的方法分析，王同学应当采用哪种还款方式他偿还贷款的金额

最少？

附：贷款利率表（调整时间：2014.3.1）

各项贷款 六个月 一年 一至三年 三至五年 五年以上

2.3问题分析

由题意可知，目的就是为了建立数学模型，找出偿还贷款的金额最少时的最优解。这是一个优化问题，这就是说在不同的约束条件下，只要建模合理，答案可以是多种。建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于等额本息还款方式和等额本金还款方式，我们根据货币等值原理，分别建立了与之对应的模型，然后根据题中所给的数据，分别求解出两种方式的还款额，并得到最优解。

单位： 5.60% 6% 6.15% 6.40% 6.55% 第三章 建模过程

3.1模型假设

1、王同学在大四毕业的时候找到一份稳定的工作并且有经济能力以任何一种方式 偿还贷款。

2、贷款利率都按王同学进校时第一笔贷款利率计算 3、王同学有自主还款的意愿

3.2定义符号说明

Kx—————每年等额还款额。 P—————贷款本金。

Rx—————年利率。 Ax—————宽限期所付利息。

Tx—————选择此种方式最终需还本利总和。 Nx—————贷款年限。 B—————月薪负担率。

角标11———贷款方式1还款方式1。 角标12———贷款方式1还款方式2。 角标21———贷款方式2还款方式1。 角标22———贷款方式2还款方式2。

3.3模型建立与求解 王有两种贷款方式选择:

（1）申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。 （2）申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。 实际上他还有两种还款时间选择：

（1）王同学经过宽限期再开始还款。 （2）王同学一毕业第二年就开始还款。

等额本息还款法模型的建立

王同学选择申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至贷款还清。 根据定义其计算公式可表示为：

P×(1+R)N—K×(1+R)N-1—K×(1+R)N-2—K×(1+R)N-3—……—K=0 模型的讨论

1王同学选择过了宽限期才开始还款 ○

2018年6月20日王同学毕业，宽限期截止到2019年12月20日，此阶段他只需自付利息，A11=P×（R）÷2+P×（R）。

算得A11=24000×0.0655÷2+24000×0.0655=2358（元）。 2017年：P×（1+R）—K11。

2018年：（P×（1+R)—K11）×（1+R）—K11。

2019年：[（P×（1+R)—K11）×（1+R）—K11]×(1+R）—K11。

2020年：{[（P×（1+R)—K11）×（1+R）—K11]×(1+R）—K11}×（1+R)—K11。 按照王同学原定目标2020年12月20日他应该是还清了最后一笔钱，此时他欠款为零。即{[（P×(1+R)—K11)×（1+R)—K11]×(1+R)—K11}×(1+R)—K11=0 解得K11=7013.63148（元）。

所以王同学若选择（申请生源地助学贷款，即每年等额还款，直到期限为至

贷款还清）这种方式他将为此支付T11=K11+A11=7013.63148×4+2358 =30412.5259（元）。

2王同学选择毕业第二年就开始还款 ○

半年宽限期需要支付：A12=24000×0.0655÷2=786（元） 按照计算公式：

（4）

P×(1+R)（5）—K12×(1+R）—K12×(1+R)（3）—K12×(1+R)（2）—K12×(1+R)1—

K12=0

解得K12=5783.02428（元）

他需要一共支付T12=K12+A12=5783.02428×5+705=29620.1214（元）。 等额本金还款法模型的建立

王同学选择申请国家助学贷款，即每次偿还当年产生的利息后并且等额还本。

根据定义王同学每年等额因还K=P÷N（元） 模型的讨论

1王同学选择过了宽限期再还款 ○

2018年6月20日王同学毕业,宽限期截止到2019年12月20日，此阶段他只需自付利息，A21=P×（R）÷2+P×（R）.

计算得A21=24000×0.0655÷2+24000×0.0655=2358（元） 2017年：P×R+K21=7572。 2018年：（P—K21）×R+K21=7179。

2019年：（P—2K21）×R+K21=6786。 2020年：（P—3K21）×R+K21=6393。 其中K21=24000÷4=6000（元） 所以他为此必须偿还本息为各年总和：

T21=[P×R+K21]+[(P—K21)×R+K21]+[(P—2K21)×R+K21]+[(P—3K21)×R+K21]+2358 =30288（元）

②王同学选择毕业第二年就开始还款 宽限期利息A=P×（R）÷2=786（元） K22=24000÷5=4800（元） 2016年：P×R+K22=6372（元）。

2017年：（P—K22）×R+K22=6057.6（元）。 2018年：（P—2K22）×R+K22=5743.2（元）。 2019年：（P—3K22）×R+K22=28.8（元）。 2020年：（P—4K22）×R+K22=5114.4（元）。 所以他为此必须偿还本息为各年总和

T22=[P×R+K22]+[（P—K22）×R+K22]+[（P—2K22）×R+K22]+[（P—3K22）×R+K22]+[（P—4K22）×R+K22]+786=29502（元） 4.4模型的分析与检验

建立模型时，我们避轻就重，做出了一系列的假设，当然现实生活中，这些假设肯定是不会同时发生的，这就是我们模型的误差主要来源。模型分析之所以王同学若想要偿还贷款金额最少应该选择毕业第二年就开始还款这是应为宽限期内的本金基数高需要偿还利息多，所以王同学应该选择尽早还款。根据毕业大学生在邵阳本地就业收入情况毕业大学生月薪收入在2000—30000元，将以上计算T值转换成每月负担费用Y。 其中 Y11=K11÷12

=492.6（元）

Y12=K12÷12 =407（元） Y21

2020年：534（元） 2021年：504.8（元）

2022年:475.4（元） 2023年：446（元）

2020年:427.3（元） 2021年:403.8（元） 2022年:380.3（元） 2023年:356.8（元）

Y22

2019年：450.8（元）

引入符号B：月薪负担率。 则

B11：16.42%~24.63%。 B12: 13.57%~20.53%。 B21：2020年：17.8%~26.7% 2021年：16.8%~25.24% 2022年：15.85%~23.77% 2023年：14.87%~22.3% B22：2019年：15.03%~22.% 2020年: 14.24%~21.365% 2021年: 13.46%~20.19% 2022年: 12.68%~19.0% 2023年: 11.9%~17.84%

由以上分析可知虽然王同学选择贷款方式2还款方式2即越早开始偿还当年产生的利息后并且等额还本所支付本金利息最少，但这就意味着他工作一开始就必须承担15.03%~22.%的月工资负担，而且这是建立在王同学一毕业就能找到一份2000~30000元月薪的工作，随着高校扩招步伐加快，大学生就业群体的逐年增加就业压力越来越大，没有工作经验的应届大学生找工作难的问题日益突出，对于王同学而言如果他在毕业前以签得一分好的工作那么贷款方式2还款方式2是最佳选择，若这份工作暂时收入低而后期职位晋升月薪会有所提高，王同学可以考虑贷款方式2还款方式1，这是应为两者比较 T21-T22=840（元）

王同学没有必要为了这840（元）在工作一开始就承担较大的月薪负担，但综合

考虑贷款方式1还款方式2也是不错的选择两者比较 T12-T22=191.73（元） 而且月薪负担一直保持在13.57%~20.53%

这要求王同学在毕业前根据自己实际情况合理选择还款模式不要盲目认为本利偿还金额最少的就是最好的。

误差分析：

本模型的主要误差来源于，对王同学一毕业就还款问题的解释，因为为方便计算令王同学在过了半年的宽限期再还款，对于这个问题可作如下说明，、假若王同学一毕业就开始还款也就是说在2018年12月20日偿还第一笔钱，对于刚毕业的王同学这是一笔5000元左右的负债，在理想情况下他六月份开始工作，至12月前后不过5个月，按衡阳本地大学生最高月薪3000元计算他将每月面临 6000÷（3000×5）×100%=40%

的月薪负担。计算王同学从2018年12月20日偿还贷款根据公式： P×(1+R)N—K×(1+R)N-1—K×(1+R)N-2—K×(1+R)N-3—……—K=0

所以有24000×1.0655^6-K×1.0655^5-K×1.0655^4-K×1.0655^3-K×1.0655^2-K×1.0655^1-K=0 解得K=4965.362 T12=K×6=29792.172 计算T 22

此时K22=24000÷6=4000 2018年：P×R÷2+K22=4786

2019年：（P—K22）×R+K22=5310（元）。 2020年：（P—2K22）×R+K22=5048（元）。 2021年：（P—3K22）×R+K22=4786（元）。 2022年：（P—4K22）×R+K22=4524（元）。 2023年：（P—5K22）×R+K22=4262（元）。 T22=28716 用Matlab作图

>> C1=[30412.5259,29620.1214,30288,29502]; >> C2=[30412.5259, 29792.172,30288, 28716]; >> N=[11,12,21,22]; plot(N,C1) hold on grid on

>> plot(N,C2,'r*') >> xlabel('选择方案') >> ylabel('本息总额（元）')

可知若从2018年开始还款选择贷款方案1还款方案2付出反而多出87.63元， 而选择从2018年开始还款选择贷款方案2还款方案2可节省706元 先考虑B值

2018年：22.43%~33.65%

2019年：12.523%~18.7845%

2020年：11.87%~17.8055% 2021年：11.217%~16.826% 2022年：10.56%~15.847% 2023年：9.912%~14.868% 比较简便计算B22：

2019年：15.03%~22.% 2020年: 14.24%~21.365% 2021年: 13.46%~20.19% 2022年: 12.68%~19.0% 2023年: 11.9%~17.84%

这样比较可知从2018年开始还款从本息方面来说的确最好，但他必须在刚毕业就必须承担非常大的月薪负担率，若王同学能承受2018年22.43%~33.65%的月薪负担，选择2018年就还款是经济上最划算的，综上讨论选择申请国家助学贷款并且在第二年再开始还款是最为稳妥的选择。

五.模型评价与改进

在偿还助学贷款时，人们常常会遇到这样一个问题，哪种还款方式偿还贷款的金额最少，在我们数学上把这类问题称为最优化问题，如何解决这类问题，具有重要意义。

对于两种还款方式：等额本息还款法每月偿还的利息逐渐减少，偿还的本金逐渐增多，每月还款相等，故借款人可准确掌握每月的还款额，有计划地安排收支，比较方便，易记，但其总还款额比等额本金还款法多。而等额本金还款法每月还款额逐渐递减，利息支出相对较少，但前期还款压力较大。

模型最大优点在于对数据考虑充分，具有很高的精确度和可信性。另外我们的模型过程详细，易于理解，整个模型的计算过程大都用数学软件完成，计算结果详细可靠，再者程序编写较为简单，在此基础上, 对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息, 所得结论与客观事实很好地吻合, 从而进一步说明模型是合理的。不过这个模型还是存在一些缺点，模型的建立没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面有缺点，是建立在一个理想的基础上，所以这个模型得出的结果会与实际情况有一定出入，另外，该模型面对的一个主要问题是通过该模型的计算只能笼统的确定哪种还款方式是还贷额少的。但是具体到个人的话还要因人而议，即具有不确定性。因此在改进模型时可以考虑适当加入一些不确定性参数。使得模型更加细化和切合实际。

六. 参考文献

【1】赵静 但琦 数学建模与数学实验（第3版） 高等教育出版社 2008.1 【2】冉启康 张振宇 张立柱 常用数学软件教程 人民邮电出版社 2008.10 【3】马正飞 数学计算方法与软件的工程应用 化学工业出版社 2002.12 【4】张志辉 王桂荣 陈华 《财会月刊》 2008年06 国家助学贷款还款模式及其应用61-62页