高中数学期中考试卷(难度系数：1.00-0.86)-20170421 (1)

高中数学

注意事项：本试卷共有22道试题，总分____

第I卷（选择题）

本试卷第一部分共有12道试题。 一、单选题（共12小题）

1. 我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

，类比上述结论，

在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ） A．

B．

C．

D． 2. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则

的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

3. 设i是虚数单位，则复数

=（ ）

A．6+5i

B．6-5i

C．-6+5i

D．-6-5i

4. 数学归纳法证明

成立时，从

到左边需增加的乘积因式是（ ）

A．

B． C．

D．

5. 已知函数f（x）=ex

﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实

数m的取值范围是（ ）

A．

B．（，+∞）

C．

D．

6. 复数满足

，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

7. 已知

(是虚数单位),

表示的点落在（ ）

A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

8. 设曲线

在点(3,2)处的切线与直线

垂直，则的值是（ ）

A．2

B．

C．

D．

9. 观察下列各式：

则

（ ） A．28

B．76

C．123

D．199

10. 若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ）

A．（2，4） C．（4，－2）

B．（2，－4） D．（4，2）

为实数，则方程

至少有一个实根”时，要做的

14.把复数z1在复平面内的对应点P绕原点逆时针旋转90°得复数z2在复平面内的对应点Q，z1=2+i，则z1z2= ．

11. 用反证法证明命题：“设

假设是（ ） A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根 C．方程至多有两个实根 D．方程

恰好有两个实根

12. 为了得到函数

的图像，只要把函数

的图像（A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动

个单位长度

D．向右平行移动

个单位长度

第II卷（非选择题）

本试卷第二部分共有10道试题。 二、填空题（共4小题）

13.设曲线在点

处的切线与轴的交点的横坐标为

，

则

的值为

15.观察下列等式 12

＝1

12－22

＝－3 12

－22

＋32

＝6 12

－22

＋32

－42

＝－10

……照此规律，第n个等式可为________．

16.在复平面内，复数

，

对应的点分别是A，B（如图所示），则复数

的值是

_________．

三、计算题（共6小题）

）17.已知函数

，其中是实数．设

，为该函数图象上的两点，且

．

（Ⅰ）指出函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图象在点，处的切线互相垂直，且

，求

的最小值；

（Ⅲ）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围．

18.求函数的导数?

19.已知函数，为正常数．（1）若

，且，求函数的

单调增区间；（2）若

，且对任意

，

，都有

，求的的取值范围．

20.求函数的导数?

21. 已知函数

.（Ⅰ）当

时，求证：函数

在

上

单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；

（Ⅲ）若存在，使得

，试求的取值范围.

22.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥

面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x的相邻两墩之间的桥面工程费用

为

万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工

程的费用为万元。

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m=0米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

答案部分

1.考点：合情推理与演绎推理

试题解析：因为边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值为正三角形的高，

所以，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值应为棱长为的正四面体的高，计算得

。

故答案为：A 答案：A

2.考点：利用导数研究函数的单调性利用导数求最值和极值

试题解析： 函数的定义域为

，

，

令y’>0得：x<-1，令y’<0得x>-1.

所以函数在[-3，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减。 所以当x=-1时，M=2

； 当x=1或x=-3时，m=2，所以。

故答案为：C

答案：C

3.考点：复数乘除和乘方

试题解析：

=-6-5i． 故选D． 答案：D

4.考点：数学归纳法

试题解析：本题中主要涉及数学归纳法的第二步中从到

时；项数的变化，由n=k时 ：

增加因式为

答案：A

5.考点：导数的概念和几何意义

试题解析：因为

所以， 故答案为：B 答案：B

6.考点：复数综合运算

试题解析： 令

，则

所以，即

故选C 答案：C

7.考点：复数综合运算

试题解析：

，所表示的点为，落在第一象限，故选A

答案：A

8.考点：导数的概念和几何意义

试题解析：函数

=1+

的导数为

，

∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，

由

×（-a）=-1 得，a=-2，故答案为：B．

答案：B

9.考点：合情推理与演绎推理

试题解析：本题考查归纳推理的思想方法．

观察各等式的右边，它们分别为1，3，4，7，11，…，

发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，故

答案：C

10.考点：复数乘除和乘方

试题解析： 由可得，

，故选C.

答案：C

11.考点：直接证明与间接证明

试题解析：反正法的步骤是从证明的对立角度进行假设，一元二次方程根至少有一个实根的对立命题是方程没有实根。所以答案A 答案：A

12.考点：导数计算三角函数图像变换

试题解析：

, 右移得

．故选B．

答案：B

13.考点：导数的概念和几何意义

试题解析：

，所以切线的斜率为，所以切线方程为

令得

，即

所以

答案：

14.考点：复数乘除和乘方

试题解析：z1=2+i，z2=-1+2i，z1z2=(2+i)(-1+2i)=-4+3i。 故答案为：-4+3i 答案：-4+3i

15.考点：合情推理与演绎推理

试题解析：因为奇数项为正，偶数项为负，等号右边符号规律同左边，再乘以

所以，

故答案为：

答案：

16.考点：复数综合运算

试题解析： 由图可知：

，

，

所以

故答案为：

答案：

17.考点：导数的综合运用利用导数研究函数的单调性

试题解析：(I)函数的单调递减区间为

，单调递增区间为[-1,0)、

……3分(II)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为

，点B处的切线斜率为

，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有

当时，对函数

求导，得

因为所以

所以

因此

当且仅当即

时等号成立. 所以，函数的图象在，处的切线互相垂直时，

的最小值为1. （III)当或

。时，

，故

.

当

时，函数

的图象在

点处的切线方程为

，即

当

时，函数

的图象在点处的切线方程为

，即

两切线重合的充要条件是

由①及知，

由①②得

设

则 所以是减函数.

则

所以 又当

且趋近于

时，无限增大，

所以的取值范围是

故当函数的图象在点，处的切线重合，的取值范围

。

答案：(I)减区间为

，增区间为[-1,0)、

（II）略（III）

18.考点：导数计算

试题解析：

(2)解?y=μ3,μ=－

bsin2ωx,μ=y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(－by)′=3μ2(－by′)=3μ2(

－

)=3(

－bsin2ωx)2(－bωsin2ωx)(3)解法一? 设y=f(μ),μ=

,v=x2+1,

则

?=f′()··2x=

解法二? y′=

［f(

)］′=f′(

)·(

)′

=

(

)

答案：详细见解题过程

19.考点：导数的实际应用利用导数研究函数的单调性

试题解析：解：

⑴，

∵，令

，得

，

或，∴函数的单调增区间为，。?⑵∵，

∴，∴， ?设，依题意，

在上是减函数。当时， ，，令

，得：对恒成立，设

，则

，∵，∴，∴

在

上是增函数，则当

时，

有最大值为

，

∴。

?当时，

，，令，得：

，设，则，

∴在上是增函数，∴，∴?综上所述，

.

答案：（1）

，

（2）

.

20.考点：导数计算

试题解析：

(2)解?y=μ3,μ=

－

bsin2ωx,μ=y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(－by)′=3μ2(－by′)=3μ2(

－

)=3(

－bsin2ωx)2(－bωsin2ωx)(3)解法一? 设y=f(μ),μ=

,v=x2+1,

则

?=f′(

)·

·2x=

解法二? y′=［f(

)］′=f′(

)·(

)′

=

(

)

答案：详细见解题过程

21.考点：导数的综合运用

试题解析：（Ⅰ）

…3分

由于，故当时，

，所以

，

故函数

在

上单调递增……5分

（Ⅱ）当

时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解

所以的变化情况如下表所示：

x 0 － 0 ＋ 递减 极小值 递增 又函数有三个零点，所以方程

有三个根， 而

，所以

，解得

…11分 （Ⅲ）因为存在，使得

，

所以当时，…………12分

由（Ⅱ）知，在上递减，在

上递增，

所以当

时，

，

而，

记，因为（当时取等号），

所以在上单调递增，而，

所以当

时，

；当

时，

，

也就是当时，；当时，

………………………14分

①当

时，由

，

②当时，由，

综上知，所求的取值范围为………16分

答案： (Ⅰ)见解析 (Ⅱ)

（Ⅲ）

22.考点：导数的实际应用

试题解析：(1)设需新建n个桥墩，则,即

所以

(2)由（1）知，

令，得，所以x=.

当时，，f(x)在区间（0,）内为减函数； 当

时，

，f(x)在区间（，0）内为增函数；

所以f(x)在x=处取得最小值，此时

故需新建9个桥墩才能使y最小。

答案：(1)(2)9