旅游方案设计数学建模

黄金周旅游方案设计

摘要

本文主要解决的是去旅游的最佳旅游路线的设计问题。花最少的钱游览尽可能满意度高的景点是我们追求的目标。基于对此的研究，我们建立了三个模型。

针对方案一：建立了单目标最优化模型。选定10个游览景点，在约束条件下，建立0-1规划模型，以总费用最小为目标函数。使用 lingo 编程，最后求得的最小费用是：755元。具体方案为：11→7→ 4→6→3→2→1→10→11

针对方案二：建立了单目标最优化模型。巧妙地将该问题化为TSP，以满意度为目标函数，在时间的约束条件下，运用lingo 编程，最后求得满意度是：0.86。旅游路线为： 11→2→4→7→9→10→11

针对方案三：建立了多目标最优化模型。基于方案一与二，以最小费用和最大满意度为目标函数，在约束条件下，采用分层求解法，运用lingo 编程，最后得出满意度是：0.83，费用为782元。推荐路线：11→2→7→6→3→10→9→11

关键词：多目标最优化模型 0-1规划模型 TSP lingo求解

一、 问题重述

1.1问题背景

是全国旅游大省，每年接纳游客上千万人次。现假设黄金周期间，你在外地读书的老同学、好朋友前来看望你，并要在游玩几天，请查阅相关资料，从车费，餐饮，门票 ，景点满意度 等多方面综合考虑，建立相关数学模型，列出一个四天三夜的游玩计划。 1.2需要解决的问题

根据对题目的理解我们可以知道，需要解决的问题是在游玩四天三夜，并且综合考虑车费，餐饮，门票 ，景点满意度等多方面因素。所以我们的目标就是在满足所有约束条件的情况下，求出最少费用。

二、模型假设

假设1：旅行路线的总路程不包括在某一城市中观光旅游的路程；

假设2：旅行者在某一城市的旅游结束前往下一个目的地时，所乘坐的交通工具

都是非常顺利的，不会出现被滞留等意外情况；

假设3：在乘坐交通工具的途中，不考虑除交通费用之外的其它任何费用； 假设4：任意两点之间来回路程相等；

假设5：每个景点游玩时间与满意度成正比，比例常数为k； 假设6：定义满意度为该景点客流量占总客流量的比例； 假设7：每天固定餐饮等消费为100元/天； 假设8：每天游玩10个小时；

三、符号说明

符号 Ti 符号说明 旅游者在第i个景点的逗留时间 第i个景点门票 第i个景点到第j个景点的距离 Ci Dij Xij Xij =0表示景点i和景点j不连接 Xij =1表示景点i和景点j连接 景点i的满意度 i

四、问题分析

设计路线的原则是：满足旅游者的意愿；在有限的四天尽量游玩更多的景点；尽量使费用最低。对路线安排规划的时候时刻关注以上三个目标，从而在题目要求围求得最优解。 4.1方案一的分析

经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，使游客在4天时间花最少的钱游览尽可能多的地方。显然，花费最少和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，计算出在这种情况下的最小花费，这样最终会得出几种推荐旅游路线。游览的总费用由3部分组成，分别为交通总费用、在旅游景点的花费和每天的餐饮费。 4.2方案二的分析

本方案所要实现的目标是，使游客在4天时间游览满意度高。显然，满意度高和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，计算出在这种情况下的最小花费。 4.3方案三的分析

此方案在方案一的基础上增加了代表们满意度这一约束条件。我们可以知道本题所要实现的目标是，使游客在4天时间花最少的钱游览尽可能多的地方。显然，花费最少和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，计算出在这种情况下的最小花费。这样最终会得出几种推荐旅游路线，而组织方可以根据自己的实际情况进行选择。

五、数据分析

数据收集如下：

旅游过程都乘坐公交车，公交车时速40Km/小时，价格每1元/10Km； 分别表示：

1—白鹅岭， 2—始信峰，3—梦笔生花， 4—飞来石，5—光明顶，6—玉屏楼， 7—迎客松 ， 8—化城寺，9—地藏禅寺， 10—肉身宝殿

各景点间的距离（Km）

1 2 3 4 5 6 7 1 0 21.2 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 4.8 11 4.1 21.2 67.8 0 50.5 0 39.2 43.3 5.9 100.7 14 22.2 20.6 15.1 15.5 25.7 27.1 16.4 25.8 34.2 32.5 65.8 65.7 85.5 68.8 64.6 26.2 0 8.5 8.5 36.7 36.6 67.9 39.7 35.4 38.2 0 39.3 39.2 67.4 42.3 38.1 42.4 0 0.34 100.7 11.9 1.2 10.6 0 100.5 100.5 11.8 1.1 10.5 67.8 50.5 39.2 22.2 34.2 43.3 20.6 32.5 6 15.1 65.8 36.7 39.3 5.9 15.5 65.7 36.6 39.2 0.34 8 100.7 25.7 85.5 67.9 67.4 100.7 0 104.3 100.1 102.5 13 9.4 0 9 10 11 14 27.1 68.8 39.7 42.3 11.9 11.8 104.3 35.4 38.1 1.2 0 41.2 0 9.4 4.8 16.4 64.6 4.1 25.8 26.2 1.1 100.1 41.2 38.4 42.4 10.6 10.5 102.5 13

黄金周各景点客流量（万人次/天）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 14.37 10.54 19.14 22.45 7.83 12.25 9.81 4.51 10.32 11.66

各景点门票（元）

1 20 2 60 3 180 4 105 5 20 6 67 7 67 8 55 9 67 10 67 11 0

六、模型的建立与求解

问题：比照TSP巡回旅行商问题，建立TSP模型，利用Lingo和旅行商问题的

结合，求出结果.

6.1 方案一：

6.1.1 目标函数的确立：

我们定义：

m—每个游客的旅游总花费；

m1—每个游客的交通总费用； m2—每个游客的旅游景点的花费； m3—每个游客的餐饮费用；

从而得到目标函数：min m 。m为交通总花费 因为Dij 表示从第 i个景点到第 j个景点距离，而 Xij 是判断代 表们是否从第 i个景点直接到第 j个景点的 0—1 变量，因此我们可以很容易 的得到交通总费用为：

mm1m2m3

11111m1XijDij

10i1j1

11111X（ijCi+Cj)

2i1j1m3300 6.1.2 约束条件： （1）时间约束

由题目可知，游客在旅游时间应该不多于 4 天(40 小时)，而这些时间包括在路途中的时间和在旅游景点逗留的时间。因为Ti表示在第 i个景点逗留时间，所以在景点游玩总时间为：

所以路途中所需总时间为

11111 T1kXij(ij)2i1j111111T2XijDij

40i1j1总的时间约束为：

1111111111TkXij(ij)+XijDij

2i1j140i1j1T<40

（2）0—1 变量约束

我们可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。 对于每个点来说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来， 并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：

j=11时，Xij1

i1j1110111011i=11时，Xij1

j1i11无往返：

XijXji0

（3）游玩景点个数限制

最多游玩包括南艳湖在的11个景点

XXiji1j11111ij11

从而我们可以得到目标函数为：

min mm1m2m3

1111111111mXijDij+X（ijCi+Cj)30010i1j12i1j11111XijXij1j1i11011Xij1i1j111011Xij1s.tj1i11 XX0ijji1111Xij11i1j111111111111kXij(ij)XijDij304011211

6.1.3 模型的求解

通过LINGO求解，推荐路线为：11→7→ 4→6→3→2→1→10→11

从南艳湖出发，第一站迎客松，第二站飞来石，第三站玉屏楼，第四站梦笔生花，第五站始信峰，第六站白鹅岭，第七站肉身宝殿，最后回到南艳湖。

6.2方案二：

6.2.1 目标函数的确立： 最高满意度

6.2.2 约束条件： （1）时间约束

景点逗留时间

11111Max Xij(ij)

2i1j111111T1kXij(ij)

2i1j1所以路途中所需总时间为

11111T2XijDij

40i1j1总的时间约束为：

1111111111TkXij(ij)+XijDij

2i1j140i1j1T30

（2）0—1 变量约束

j=11时，Xij1

i1j1110111011i=11时，Xij1

j1i11XijXji0

最多游玩包括南艳湖在的11个景点：

XXiji1j11111ij11

从而我们可以得到目标函数为：

11111Max Xij(ij)

2i1j16.2.4 模型求解

根据模型，使用 Lingo 编程，得出结果为：11→2→4→7→9→10→11

从南艳湖出发，第一站始信峰，第二站飞来石，第三站迎客松，第四站地藏禅寺，第五站肉身宝殿，最后回到南艳湖。

1111XijXij1j1i11011Xij1i1j111011Xij1s.tj1i11 XX0ijji1111Xij11i1j111111111111kXij(ij)XijDij304011211

6.3方案三

6.3.1 目标函数的确立 6.3.2 约束条件： （1）时间约束

景点逗留时间：

11111T1kXij(ij) 2i1j1

所以路途中所需总时间为：

11111T2XijDij

40i1j1总的时间约束为：

1111111111TkXij(ij)+XijDij

2i1j140i1j1T30

（2）0—1 变量约束

j=11时，Xij1

i1j1110111011i=11时，Xij1

j1i11XijXji0

（3）最多游玩包括南艳湖在的11个景点：

XXiji1j11111ij11

（4）满意度约束

满意度与客流量成正比：

11111Xij(ij)0.8

2i1j1从而得到目标函数：

min mm1m2m3

1111111111mXij Dij+X（ijCi+Cj)300

10i1j12i1j1

1111XijXij1j1i11111Xij1i1j111111Xij1j1i11 s.tXijXji01111X11i1j11ij11111Xij(ij)0.82i1j111111111112kXij(ij)40XijDij3011116.3.3 模型的求解

通过LINGO求解，推荐路线为：11→2→7→6→3→10→9→11

从南艳湖出发，第一站始信峰，第二站迎客松，第三站玉屏楼，第四站梦笔生花，第五站肉身宝殿，第六站地藏禅寺，最后回到南艳湖。

6 模型的评价、改进及推广

6.1．模型的评价

1.本文思路清晰，模型恰当，得出的方案合理；

2.本文成功的使用了 0—1 变量，使模型的建立和编程得以顺利进行； 3.在第二问中采用了 TCP 算法，简化了模型的求解难度；

4.由于数据庞大，对程序的要求很高，尽管经过了检验，但结果依然 比较粗糙，有待进行进一步的改进。 6.2．模型的与推广

1.实际情况中，两景点之间可能还有出公路外其他交通方式，如航班、铁路， 增加这些考虑后，结果会更加合理。

2.因数据资料搜集的不完整，准确性也有待商榷，而且没有对最终方案进行 更为细致的讨论研究，这些方面有待改进。

7 参考文献

[1].姜启源、谢金星、叶俊《数学模型（第三版）》：高等教育，2003。 [2].高惠璇《应用多元统计分析》大学,2005。 [3].朱晓临《数值分析》：中国科学技术大学，2010。

8 附录

附录清单：附录 1 为搜集的一些数据 附录 2 为相关程序及运行结果 程序如下：

model: sets:

h/1..11/:b;!b是门票费用; n/1..11/:r,a;!r表示客流量百分比; link(h,n):x,d; endsets data:

a=20 60 105 20 67 67 55 67 67 0; b=20 60 105 20 67 67 55 67 67 0;

r=0.1169 0.0858 0.1558 0.1827 0.0637 0.0997 0.0798 0.0367 0.084 0.0949 0; d=0 21.2 67.8 39.2 43.3 6 5.9 100.7 14 4.8 4.1 21.2 0 50.5 22.2 20.6 15.1 15.5 25.7 27.1 16.4 25.8 67.8 50.5 0 34.2 32.5 65.8 65.7 85.5 68.8 64.6 26.2

39.2 22.2 34.2 0 8.50 36.7 36.6 67.9 39.7 35.4 38.2 43.3 20.6 32.5 8.50 0 39.3 39.2 67.4 42.3 38.1 42.4 6 15.1 65.8 36.7 39.3 0 0.34 100.7 11.9 1.2 10.6 5.9 15.5 65.7 36.6 39.2 0.34 0 100.5 11.8 11.1 10.5 100.7 25.7 85.5 67.9 67.4 100.7 100.5 0 104.3 100.1 102.5 14 27.1 68.8 39.7 42.3 11.9 11.8 104.3 0 41.2 13 4.8 16.4 64.6 35.4 38.1 1.2 1.1 100.1 41.2 0 9.4 4.1 25.8 26.2 38.2 42.2 10.6 10.5 102.5 13 9.4 0; enddata

min=sum(link(i,j):x(i,j)*(b(i)+a(j)))/2+sum(link:d*x)/2+300; for(link:bin(x));

for(link:sum(n(j):x*20*r(j))<=30); for(n(j):sum(h(i):x)=1); for(h(i):sum(n(j):x)=1); end