小学数学专题研究【新】

第一章小学数学课程目标及内容 第一节小学数学课程

一、数学的对象、本质及其作用

对象：数学是一种研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。

本质：数学是一种研究思想事物的抽象的科学——恩格斯。 作用：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。各门学科的数学化，数学作为一种文化，已成为共识。

二、我国数学课程及其演变过程 1、萌芽时期（公元前600年前）

2、初等数学时期（公元前600年——17世纪中叶） 3、变量数学时期（17世纪中叶——19世纪20年代） 4、近代数学时期（19世纪20年代——第二次世界大战） 5、现代数学时期（第二次世界大战以来）

作为一门学科，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学。 算学作为小学课程则从近代光绪二十八年（1902年）才正式开始。 美国学者狄考文在12年编的《笔算数学)，则是我国学校里的第一部算学教科书。1903年春编《最新初小算学教科书》，我国自己编写的第一本正式的小学算学课本问世。

1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。

1992年三个面向“面向现代化、面向世界、面向未来”。 新中国成立初期，南方以大东书局出版的俞子夷编的教材作为课本，北方则以华北审定的刘松涛等编的老区教材作为课本。

三、国外数学课程变革的简况及趋势

1、现代数动发展是不平衡的，但大致可分为三种类型: 第一类是\"革新型\"。强调结构与统一，打破传统体系，增加较多

的现代数学内容。如美、英、法等国。

第二类是\"进化型\"。保留传统算术内容，但又引进集合、映射等概念，在传统基础上局部渗透一些现代数学思想。如苏联。

第三类是\"中间型\"。介于上述两类之间，基本保留传统算术内容，适当增加一些现代数学内容，有结构思想，但又不用结构思想将各部分内容统一起来。如日本。

现代数动发展各国的相似之处： 1、精简传统的算术内容；

2、增加或渗透集合、函数、统计等现代数学内容； 3、用结构思想处理传统内容。

2、\"现代数学\"便学生的计算能力和几何直观能力变得很差，给继续学习和今后工作带来了很大困难。其主要原因是？

①重视纯数学，而忽视数学的应用。②概念过于抽象以及过早引人，不符合学生的年龄实际，增加了他们的负担，这种\"严格的不理解，还不如不严格的理解\"。③过分强调概念，忽视计算能力的培养。④重视演绎推理，忽视直觉、归纳、类比等似然推理。

1980年8月，在美国伯克利举行了第四届国际数学教育大会，\"回到基础\"改为\"走向基础\"。各国围绕此目标都采取了相应的调整措施。这些措施可以归纳为以下几点。

(1)继续坚持数学教育现代化方向;

(2)强调学生要掌握必需的数学基础知识和基本技能;

(3)把问题解决作为数学教育的核心，培养学生发现问题解决问题的能力;

(4)加强与日常生活的联系，更多地注重应用，不断适应新的发展需要;

(5)充分发挥计算器(机〉在数学教育中的作用;

(6)重视教育评价手段，用比传统的测验更为广泛的测试方法，对数学课程计划和学生的学习成绩，作有效的评价。

“大众数学”就是在普及教育中，要使数学课程不再为少数尖子所设，而应为国民大众服务。其目标是要让全体学生学好数学，学习

更多的数学而且是需要的数学。

第二节小学数学课程目标制定的依据 小学数学课程目标制定的依据？ 1、小学教育的培养目标 2、数学学科的特点 3、小学生的认知发展水平 一、小学教育的培养目标

小学数学课程的设置必须符合小学教育的培养目标，小学数学教学必须促使学生在德、智、体、美、劳诸方面获得和谐、全面的发展。

二、数学学科的特点 1高度的抽象性。

任何一门科学，都具有抽象性的特征。但是，数学的抽象，在对象上、程度上都不同于自然科学和社会科学的抽象。首先，数学的抽象撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系。其次，数学的抽象是逐步发展的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。也就是说，数学的抽象不仅表现在广度上，而且表现在不同层次的深度上。

2.严密的逻辑性。

自然科学家证明自己的论断可以通过实验，而数学家证明定理只能用推理和计算，而且在挂理论证的过程中，必须严格遵守逻辑规则才能保证由已知推出的结论具有正确性。

3.应用的广泛性。

人类全部生活实践中，特别是在生产劳动和科学技术研究中，凡是涉及到空间形式和数量关系的问题无不用数学来解决。

三、小学生的认知发展水平

根据小学生的思维特点以及数学学科的性质，应培养小学生初步的逻辑思维能力。

根据小学生认知几何图形的心理特点，可以通过对模型、实物的观察和实际操作，使他们对简单几何图形的大小、形状和相互间的位置关系形成一些鲜明的表象，即几何观念。

根据小学生世界观的不成熟性，结合小学数学课程，可以自然地进行辩证唯物主义的启蒙教育。

根据小学生的个性品质、兴趣爱好和行为习惯等方面具有较大的可塑性，在小学阶段要着重培养小学生学习数学的兴趣，帮助他们养成良好的学习习惯。

第三节小学数学课程目标

一、历年来我国小学数学课程目标归纳

纵观将近一个世纪以来我国小学数学课程目标的演变，可以发现:课程名称由\"小学堂算学\"到\"小学算术\"，再到\"小学数学\"，逐步拓展;指导思想由\"自谋生计之必需\"的功利主义到“适应进一步学习和直接参加生产劳动的需要”，再发展为“提高民族素质”，逐步更新。

课程目标按照这样一个轨迹演进:①知识、技能→②知识、技能、思维→③知识、技能、能力→④知识、技能、能力、思想、非智力因素。

二、小学数学课程目标分析 (一)理解和掌握最基础的数学知识

小学数学基础知识的范围包括:1.算术知识; 2.代数初步知识; 3.几何初步知识; 4.计量初步知识; 5.统计初步知识。

小学数学基础知识的内容包括:1.概念; 2.性质; 3.法则;4.公式; 5.方法。

对小学生而言，学习基础知识的要求是在理解的基础上掌握。所谓理解，就是对事物的本质和内部规律的认识，也就是使学生不但知其然，而且知其所以然。所谓掌握，是指在理解的基础上，能运用知识进行分析、判断或计算，并能说明道理。强调在理解的基础上掌握，就是要重视小学生获得知识的思维过程，教给他们获得知识的方法。

(二)培养初步的数学能力 1.计算能力。

小学阶段计算能力的具体内涵也就是:正确、迅速、合理、灵活。 正确即准确无误(对)，这是首要条件;迅速即熟练(快)，这是基本要求;合理、灵活即指运算过程简捷，方法合理(巧)，这是计算正确和迅

速的必要保证。

2.初步的数学思维能力。

逻辑思维是一种确定的(A就是A，不是B)、前后一贯的(不矛盾的〉、有条有理的(循序渐进的)、有根有据的(理由充分的)思维。在进行逻辑思维的过程中，主要采用比较、分析、综合、抽象、括等思维方法。其中分析和综合是最基本的方法，判断、推理是基本的形式。

(1)比较:比较是借以认出对象和现象异同的一种逻辑方法，它是认识的基础。

(2)抽象概括:抽象就是抽取事物的本质属性(这类事物都具有而别的事物都不具有的性

质)，使它与其他属性分开;概括就是将同类事物的相同属性结合起来。抽象和概括总是紧密地联系着的，数学中的任何一个数，一个算式、一种符号、一种规律都是抽象概括的结果。

(3)分析综合:分析是把一个对象和现象分解成若干部分和若干属性的思维方法.综合是把一个对象或现象的各个部分结合为一个整体的思维方法。在思维过程中，分析(又称执果索因)与综合(又称由因导果)往往是不可分割地进行着。

(4)判断推理:判断就是对某个事物的性质、现象作出肯定或否定的论断，数学中的法则、定理、结论、性质都是判断。判断可分为主概念、谓概念和联系词三部分，主概念反映研究对象，谓概念反映对象的属性和属性间的关系，联系词则表示主概念与谓概念之间的关系。判断是逻辑上的用语，在数学上通常叫做命题。判断能力主要反映在判断的正确性和敏捷性上。由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式叫推理，已知判断叫前提.推出的新判断叫结论。推理有归纳(由个别到一般的推理)、演绎(由一般到个别的推理)、类比(由个别到个别的推理)三种。对于不同的数学问题，可能用到不同的推理形式来解决。

3.初步的空间观念。

空间观念是物体的形状、大小，物体与物体之间的方向、距离及其位置关系保留在人脑中的表象。所谓表象，是指过去形成的感知所

留下的痕迹，表象是从感知到概念的一个过渡。

培养小学生初步的空间观念：一是要求在昕到某一图形的名称时，就能在头脑中正确地再现它的形象;二是能够地画出学过的图形;三是能在各种几何形体或模型中，正确找出自己所需要的图形，并适当地分类。值得注意的是，小学生空间观念的强弱，是各不相同的，并不和年龄成正比，很大程度上取决于实践操作和平时的观察积累。

4.运用所学知识解决实际问题的能力。

培养小学生这一能力主要是运用所学的数学知识去解决日常生活中的简单实际问题。具体要求是：能正确地、合乎情理地解答应用题，以及能把日常生活中遇到的简单的实际问题转化成数学问题进行解答，从而培养学生对日常事物进行数学处理的最初步的能力。

(三)培养良好的思想品德 第四节小学数学课程内容 一、学科数学与科学数学

作为学科的数学与作为科学的数学这是两个既有联系又有区别的概念。科学数学只考虑数学本身的内容、结构、特点及其理论意义、应用价值;而作为学科的数学，只能是经过实践检验的科学数学中的一些基本理论和知识，在一定逻辑系统之下，把它们联系起来，并为一定年龄的学生所掌握的。显然，学科数学的内容是依赖于科学数学而建立和发展的。

1.作为科学的数学，它不考虑人们是否能够理解和接受，只要能完备而又精确地阐明某种数学理论，更深刻地反映现实世界的空间形式和数量关系就行。而作为学科的数学必须遵循学生的知规律和心理特点，往往从日常生活、生产中的具体事例出发，现象进行描述，然后转向定义、定律、性质等的揭露。

2.作为科学数学，对所有的定理、法则等都必须进行严格的论证和推导;而作为学科的数学，限于学生的接受水平，往往通过列举一些事例用不完全归纳法得出结论。

3.作为科学数学，完全按照数学理论的逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均;作为学科数学，在不影响科学性的前提下，兼顾小学生

的认知规律，对某些内容可作适当调整。

科学数学是作为人类认识的结果而呈现的，以完全揭示数量关系和空间形式为目的;而学科数学可看作为认识对象而存在。对作为小学学科的数学而言，除了正确反映科学数学的知识外，还必须充分遵循小学生的认知规律，有利于使他们学懂、学会、学活，有利于发展他们的智能，有利于进行思想品德教育。

二、小学数学课程内容的编辑原则？

1.以数与计算为主线，以数与形为重点，把各部分内容按其彼此的内在联系结合起来。

2.由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋上升。 3.突出重点、分散难点。

广义的重点就是数学知识中的飞跃，学生认识中的转折。

狭义的重点就是指在某部分知识中能起到承上启下作用的知识点，也就是学生认识中的生长点，突出这些重点知识，便可以简驭繁，促进知识的迁移。

难点与重点不同，它是指学生在学习中普遍感到困难的知识点，也就是说，完全是依据学生的接受能力来确定的。所以，编辑内容时，要分析小学生感到困难的心理因素，把众多难点适当分散，减缓坡度。

4.把数学知识和数学应用结合起来。 5.注重趣味性。

第二章小学数学解题的理论依据 第一节数学问题及其组成 一、数学问题的概念

所谓问题，一般认为是\"人没有认识而应该认识的东西\"，或是 \"人认识的已知部分与被认识的未知部分的距离\"，或是\"认识主体与认识对象之间的距离\"，或是\"疑难和矛盾是一种没有直接明确的方法和途径可遵循的情境\"。问题最显著的特征是相对性。

数学问题作为一种情境，自然是多种多样的。布卢姆将数学问题进行了这样的分类:知识性问题、领会性问题、运用性问题、分析性问题、综合性问题、评价性问题。各类问题之间，又具有内在的逻辑一

致性。富勒将数学问题作出以下分类:确定性问题、探索性问题、论断性问题、分析性问题、组合性问题、评价性问题、证明性问题、创造性问题。

知识背景主要包括已有的概念、理论和方法。因此，依照数学问题的解答与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为这样两类:常规问题和非常规问题。

依照数学问题提法的意义是否正确，数学问题的条件是否充分，还可以把数学问题划分成可能问题和不可能问题。可能问题，即问题的条件充分，在提法上意义正确，能够按原有

的预设求得答案。不可能问题，即问题的条件不充分，在提法上意义不正确，不能按原有预设求得答案。

不可能问题有两个显著的特征:其一，不可能问题是某些可能问题的自然延伸，能够在较长时期内给人以成功的希望;其二，不可能问题是以可能问题的面目出现，其不可能性的本质隐藏得较深，以致经过长时间的反复尝试，才能将其本质揭示和确认出来。

二、数学问题的组成成分

数学问题的组成成分是条件、目标和运算。

条件，是指问题已知的和给定的论断，它们可以是数据，可以是关系，也可以是问题的状态。

数据，不言自明。关系，是指对条件的。问题的状态，是指在问题所涉及的范围内，解决问题过程中的某一时刻的表达形式。问题的原始状态或初始状态，就是问题在最初时刻的表达形式。

目标，是指在一个问题系统变成稳定系统以后，这个稳定系统的状态，也即通常所说的问题的所求。问题一旦达到目标状态，那也就不再是一个问题系统，而是一个稳定系统。在此之前的各个状态，都是问题的中间状态。

运算.是指允许对条件采取的行动。可以是逻辑运算、数学推导，也可以是具体的步骤。

第二节智力结构与活动方式 一、智力的概念

智力，心理学的意义和日常使用时的含义基本一致，有这样两方面:一是天赋的潜力、特性和发展的容量，即健全的大脑和健全的神经代谢的总和。二是发展得以进行下去的大脑的功能，即能够决定操作或理解的功能。

皮亚杰曾把少年儿童从出生到智力成熟所经历划分为四个阶段: (1)感知运动阶段(O-2岁)。(2)前运算阶段(2-7岁)。 (3)具体运算阶段(7-11岁)。 (4)形式运算阶段（11岁以上)。 少年儿童所能解决的智慧问题的数量和他们的实际年龄的比值(通称为智商)。

所谓同化，是把环境中信息结合并组织到已有的智力结构或图式中。

为了达到心理发展，必须使原有图式改造和重新结合，形成新图式，这种过程就是顺应。

二、智力活动方式

通常把解某类题的智力方式的总和称为解题措施、方式或方法。\" 在数学解题中，智力活动方式正如苏联心理学家波戈雅夫列斯基理解的那样，是\"用于解决一定类型和概括程度的任务一一问题的分析、综合、抽象、概括以及其他专门组织起来的过程系统或操作系统\"。

所谓分析，意即分解、划分、分开；综合，意即联合、组合、统一。分析也就是在思想上和实际中将对象(现象、过程)，对象(或几个对象)的特征，或者对象之间的相互关系分

解成几部分的过程，而综合则是与分析相反的过程。

所谓比较，是从对比或对照物体和现象开始，对被比较客体进，行分析，划分出它们共同和不同特征的一种智力方式。比较是任何注意和认识的基础，是心理过程产生的基本条件。

比较只能在同类客体中进行。

比较作为研究同一类客体的本质特征的智力方式，不仅是分析和综合在经验性水平上的统一，而且还是抽象和概括的必要条件。

抽象分为三种类型:

(1)孤立抽象。从其他因素中划分出确定因素(对象、特点、部分

等)。

(2)重点抽象。不仅划分出一种因素，而且也指出作为背景的其他因素。

(3)区分抽象。有意识地划分出本质因素和非本质因素以及它们的根本区别。

概括也可分为下列两种基本形式: (1)一般性概括。(2)概念性概括，又称特殊性概括。

第三节数学思维品质及其发展水平 一、思维的概念、本质及类型

思维这个概念的定义是:人脑对客观事物的本质特征、相互关系及其内在规律性的概括的、间接的反映，是人们在对外界输入的信息感知的基础上经过分析、综合、比较、抽象、概括等智力活动方式.对其加工、推理和获得理性认识的心理过程。

思维是间接认识事物.是通过感知与被直接认识的事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。所以，思维要依靠感性认识，没有它就不可能有思维.但思维又远远超脱于感性认识的界限之外，可以认识感觉器官感知不到的对象和现象的那些方面。这也就是思维的本质。

思维作为一种极其复杂的心理现象和过程，大体上有逻辑思维和非逻辑思维之分。

逻辑思维是指按照逻辑的规律、方法和形式，有步骤地有根有分，逻辑思维也有形式逻辑思维和辩证逻辑思维的区别。

形式逻辑思维是以概念、判断、推理等思维形式，同一律、矛盾律、排中律等思维规律，归纳、演绎、类比、科学假设等思维方法为其研究对象。辩证逻辑思维研究的则是思维形式如何正确反映客观事物的运动变化、事物的内部矛盾、事物的有机联系和转化等问题，其主要特点是用有限量来描述和刻画无限过程以及有限与无限的矛盾转化。很显然，辩证逻辑思维是形式逻辑的延伸和发展。

非逻辑思维是不确定的，未经一步步分析，而对事物突然间的领悟、理解或给出答案的思维。其主要特点是直接性、突发性、灵活性和创新性。

思维和智力发展一样，也有其阶段性和顺序性，即感知动作思维、具体现象思维、抽象逻辑思维以及辩证逻辑思维。

二、数学思维及其品质

所谓数学思维，又叫数学型思维，就是以数和形为思维的对象，以数学的语言和符号为思维的载体，以认识和发现数学规律为目的的一种思维。

由于数学科学具有抽象性、严谨性和统一性，所以与之相适应的数学思维，也有其抽象

性(相对于数学思维的对象与方法而言)、严谨性(相对于数学思维的依据而言人统一性(相对于数学思维的发展方向而言)。

既然个体之间的思维发展是有差异的，所以在数学活动中，数学思维优与劣的评价和衡量就应该有一个相对的标志，这就是数学思维品质。

苏联辛钦认为数学思维品质只有下面四个方面: （1）推理结构的优势性。 (2)思路的简捷和优美性。 (3)符号运用的准确性。(4)论证过程的分解和转换性。

上述观点在很大程度上为人们所理解和接受。特别值得注意的是，辛钦非常注重数学思维中的审美品质。美的客观来源有自然美和社会美，美的社会形态有艺术美和科学美。数学美是科学美的核心部分。

数学思维中的审美品质，就是以熟悉数学内容为基础，懂得基本概念、公式、符号、运算等，从理智、逻辑、内在的角度去领悟其美感，使数和形之间的多样性关系得以和谐统一。反映在小学数学解题中，也就是所化原则。

如果侧重于数学思维的内部实质.数学思维品质还应该表现在广阔性、深刻性、灵活性、批判性和独创性等几个方面。

数学思维的广阔性品质，表现在能多方面、多角度地去思考问题，善于发现事物之间的多方面的联系，找出多种解决问题的方法，并能把它推广到类似的问题中去。另外，在有了一种解决问题的方法或理论以后，还能从多方面设想.探求这种方法或理论适用的各种问题。

数学思维的深刻性品质.表现在能深入地钻研与思考问题.善于从复

杂的事物中把握住它的本质，而不被一些表面现象所迷惑。数学思维的灵活性品质，表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化.及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关定理、公式、法则，并且思维不圄于固定程式或模式。

数学思维的批判性品质，表现在有主见地评价事物，能严格评判自己提出的假设或解题的方法是否正确和优良，善于提出问题和发表不同的看法。

数学思维的独创性品质，表现在能地发现问题、分析问题和解决问题，主动提出新的见解和采用新的方法。

三、数学思维水平的评定

苏联著名数学教育家斯托利亚尔经过多年的实验观察，得到了一个较为合理并具代表性的数学思维水平的五级评定标准。

前两级水平是小学年级的学生所特有的，第二级水平是初中年级学生所特有的，第四级水平是高中年级学生所特有的。至于第五级水平.无论是几何方面的还是代数方面的，均属数学思维的现代水平，一般的中学阶段的学生是难以达到的。

第四节影晌小学数学解题的心理因素

影响问题解决的一些因素的三个方面: 一是问题情境因素(问题的不同类型及难度)；二

是解题者个体特征(解题者知识经验基础和个性品质) ;三是解题中的认知策略(解题者用来调节注意、回忆和思维的技能)。

迁移，是指一种知识、技能的学习和应用对另一种知识、技能的学习和应用所施加的影响。这种影响可能是积极的、起促进作用的，也可能是消极的、起干扰或抑制作用的。前者称为正迁移，后者称为负迁移。

思维定势，指的是一种思维的定向预备状态。在思维不受到新干扰的情况下，人们依照既定的方向或方法去思考。

巴甫洛夫曾提出过关于高级神经系统的\"兴奋-抑制说\"这一理论，用它可以来解释思维定势。

在小学数学解题活动中，思维定势的有益方面表现为:将所面临的

问题的特征同已学过的知识或已解决过的问题的特征进行比较，利用已有的知识、方法和经验与当前问题情境联系，去识别、理解那些意义不明、特征不清的条件隐蔽的对象，反映出思维的趋向性和专注性。思维定势的消极方面表现为:不容易改变思维方向，不能从多种角度全面地、整体地看问题，反映出思维的呆板性和盲目性。

第三章小学数学解题的认知过程 第一节小学数学学习及认知 一、学习的概念及分类

从广义上理解，学习是有机体凭借经验的获得而产生的比较持久的行为(思维、想象、记忆、感知等内部心理活动和言语、表情、动作等外部活动)变化;从狭义上理解，学习是指学生在教师指导下，有目的、有计划、有组织、有步骤地进行的获得知识、形成技能、培养能力、发展个性的过程。

二、小学数学学习与小学数学解题

小学数学学习的核心内容或最终目的是解决小学数学问题。也就是说，通过不断地对情境的感知，进入记忆、思维和想象，从而获得数学知识和技能。

通过对已知的信息进行分解和重新组合，使之与已有的知识结构中的有关知识相联系，揭示问题的内在关系，从而发现结论和推导方法，这就是所谓的发现学习。从这一方式来说，小学数学解题即是一种发现学习。

经过思考，理解了题意，且与己有的适当知识(概念、原理、公式、方法等)建立了实质性的联系，并能融会贯通，这就是所谓的有意义学习。从这一深度来看，小学数学解题又是一种有意义的学习。

发现学习和有意义学习在某种意义上来说是等同的，只是区分的标准(维度)不同。两者的实质是一致的，都是面临情境所代表的新知识与学习者已有的与新知识有关的表象、符号、概念或命题之间所建立起来的某种合理的逻辑的联系。换句话说，即学习者依赖自身的内部状态，对外界情境进行感知、记忆、思维等一系列活动，导致原有知识结构发生变化的

过程。这样，也就统一成所谓的认知学习。

认知，作为心理学中的特殊术语.从广义上讲，与认识是同一概念，是人脑反映客观事物的特性与联系，揭示事物对人的意义与作用的心理活动，从狭义上讲，是指记忆过程中的一个环节，又称再认，指过去感知过的事物在当前重新出现时仍能认识。

第二节小学数学认知结构 一、认知结构

任何学习都是认知结构的组织与再组织。所谓认知结构，是指个体在感知及理解客观现实的基础上，在头脑里形成的一种心理结构。简单点说，认知结构就是个体头脑里的知识结构。

在小学数学学习中，小学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构，即数学认知结构。

二、小学数学解题与数学认知结构

小学数学解题作为小学数学学习的主要内容和方式，其意义也就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学认知结构，并伴随着同化和顺应等特征。

第三节小学数学认知技能 一、技能与能力

技能，是顺利完成某种任务的一种心智或动作的活动方式，它需要通过练习才能形成。动作，泛指在完成一项具体任务中，所涉及的一系列动作，以完善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作技能。

心智，系指借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感知、记忆、想象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。在认识特定事物，解决具体问题时，这些心理活动按一定的合理的、完善的方式进行就是心智技能。

技能又称心因技能，意思是其活动方式并非简单的外显反应，而是受内部心理过程所控制，往往与认知加工活动交织在一起。所以我们还可以把认知与技能联系在一起，称为认知技能。

技能和能力是不同的概念，二者既有联系，又有区别。技能是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性心理特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发展起重要的促进作用。

数学活动中，通过训练而形成的数学认知技能具体表现为: 数学动作技能。运用工具绘图的技能，测量技能，使用计算工具的技能等。

数学心智技能。数的计算技能的形式的恒等变形技能，解方程、解不等式的技能，推理

论证技能，运用数学方法的技能等。

这两种数学技能既有联系又有区别，一方面，数学心智拔能的形式，与数学动作技能有关;另一方面，数学动作技能又受数学心智技能控制、

二、组学认知技能的形成阶段

数学认知技能的话成可以概括成认知阶段、联结形成阶段和自动化阶段咀

所谓认知阶段，就是小学生理解并记住与数学技能有关的知识及事项，形成表象.了解解题过程布结果。

所谓联结形成阶段，就是小学生对数学知识有所理解并形成表象以后，能够有效地利用适当的“剌激与反应”方式，将这些数学知识联结起来，形成解决问题的程序步骤。

所谓自动化阶段，就是解题者完全自如地、熟练地、似乎不需要意识地参与而进行数算活动。剌激与反应几乎同时发生，中间不需要有意识的思考。其特征是数学动作迅速、稳定、流利，数学心智活动简化。

第四节小学数学认知发展 一、认知发展的概念

发展，作为一般意义上的理解.是指人的各种特性在结构上和机能上的变化。

所谓认知发展，是指与大脑生长和知识技能有关的发展方面。涉

及人在知觉、记忆、思维、语言、智力等方面种种功能的发展变化。

二、数学认知发展的阶段

在小学数学解题这一特殊心理活动中，认知发展一般包含以下几个阶段。

1、输入阶段。

小学生感知新的数学信息和数学内容，原有的数学认知结构和数学技能与新情境之间产生矛盾，在心理上产生达到目标的需要，即心向。

2、同化或顺应阶段。 3、运用阶段。

第四章小学数学解题的实质和结构 第一节小学数学解题的含义

数学问题作为一般意义上的问题，是一种没有直接呈现明显的方法、想法或途径可遵循的情境。其解决就是运用先前学得的知识去探索新情境的心理过程，是以思考为内涵，以目标为定向的心理活动。

小学数学解题，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就是思考的活动及探索的过程。

小学数学解题也就意味着找出这样一个数学的一般原理(定义、公理、定理、法则、定

律、公式)的序列，当应用它们到问题的条件或者条件的推论(解法的中间结果)时，就能得到问题所要求的答案。

第二节小学数学解题的结构

奥苏伯尔解题结构模式：1、呈现问题的情境2、明确问题的目标与已知条件3、填补空隙的过程4、解答后的检验。

小学数学解题的几个阶段：1、分析题意2、寻找解法3、实行解法4、回顾解法有三层内容，一是证实所实行的解法是正确的，满足题目的全部要求;二是进一步分析所实行的解法是有效的(包括了一切可能情形) ;三是说明解法的过程是简捷的。

第三节小学数学解题的趋向

根据解题者寻求解答的趋向.可以把解题分为两种主要方式. 一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。

所谓尝试错误式，是由进行无定向的尝试，重复无效动作，纠正尝试中的错误，直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行动。

顿悟式解决问题和尝试错误式不同，它具有一定的\"心向\"，努力发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解决的基础。

第四节小学数学解题的规则

由于数学问题类型广泛，所以解决方法自然也就大相径庭。尽管这样，在小学数学解题中，也还存在着一般的方法、公式或者原理，对类型中的任何一个问题，能唯一地确定出解决的步骤序列。这就是小学数学解题的规则。

根据小学数学解题规则的存在与否，可以把小学数学问题分为常规问题和非常规问题两大类。对常规问题而言，其解题规则一般为公式规则、恒等式规则、定理规则和定义规则。

所谓非常规问题，就是没有一般解题规则的数学问题，它的解题步骤序列，可以利用技巧将其转化为等价的常规问题，或分解为若干个小常规问题，或通过分析、综合等方法来寻求。

第五章小学数学解题的思想方法 第一节化归思想及其应用 一、化归法的概念

在解决数学问题时，往往不是对问题进行正面的\"攻击\"，而是通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解答。这种处理问题的独特思维方式，就是所谓的\"化归法\"。

二、化归法的类型

化归法的特点：在于它具有较强的目的性、方向性和概括性。 基本原则：是由未知到已知，由难到易、由繁到简；

它的方向就是如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较容易

解决的问题的转化，这里蕴含着发现、发明及创造性的活动。

作为广义上的理解，\"化归\"是一种思想;如果从狭义上来看， \"化归\"乃是重要的、常用的和具体的解题方法之一，而且又有分割组合、映射反演等区别。

所谓分割组合，就是把所要求的问题，按照可能和需要，分割成若干部分，使它们更易于求解。再将这些解答有机地组合起来，过渡到问题的最终结论。

所请映射反演，就是映射和反演两种方法并用。映射，就是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立的某种对应关系。反演，就是从已知运算往回推〈每一步运算都以其逆运算来代替)，相对于映射而言，反演也就是逆映射。在数学接替中具体表现为坐标法、复数向量法、换元法等。

第二节类比推理 一、类比法的概念

类比法是根据两个不同的形象，在某些方面(如特征、属性、关系等)的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处.并作出某种判断的推理方法。

二、类比法的应用

在小学数学解题中，类比也有着相当广泛的应用，具体过程是:选择-个类似的、较容易的问题，去解决它，以便它可以作为一个模式。然后利用这个刚刚建立起来的模式，以达到解决原来问题的目的。

在小学数学解题中运用类比，关键在于找寻一个和原题相类似的模式，而这种模式的找寻，往往着眼于同类的问题以及相同的题型。类比也有一定的局限性，其结论常常是不可靠的，甚至是完全错误的。

第三节归纳法 一、归纳法的概念

归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论的推理方法。归纳常常是建立在有目的、有计划的观察和实验基础上的。

二、归纳法的类型

根据归纳对象是否完备，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳

法两种。

所谓完全归纳法.是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理。如果把前提和结论之间有必然性联系的推理定义为演绎推理的话，那么完全归纳法实质上也是一种演绎推理。

所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。由不完全归纳法得到的结论，带有或然性的性质，是否正确，还需要经过严格的证明。

三、归纳法与数学归纳法之间的关系

数学归纳法属于论证的范畴，而不是猜测的方法。换言之，数学归纳法所证明的结论往往是由归纳法所得出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些要用数学归纳法来加以证明。因此，数学归纳法是归纳法的自然发展。

第四节创造性及其体现 一、创造与创造性

创造，一般是指创造者的主观意识活动，通过科学实践而对自然界某一方面或某些方面的合乎规律的反映，它是一种现象。创造有三大基本特征，一是实践性;二是创造者的创造力充分发挥;三是创新性，即开创性和新颖性。

创造性，作为一个认知范畴的概念，系指一种能力或特性，按教育心理学的观点，它和人的智力、智慧品质以及人格等有着密切的关系。

创造和创造性不能等同，不可相互替代，但两者共处一体。因为如果强调过程，着眼于心理机制的话，那么创造就是一种特殊的解决问题的活动，是解决问题的最高表现。而任何问题的解决，都需要一定的创造性作为基础。

创造性既然贯穿在始于问题提出、终于问题解决这一创造过程中，就其内涵来说，它也具有一定的阶段性。

二、创造性的精华

创造性的体现，除了借助于化归、类比、归纳等这些\"逻辑的\" 形

式外，还更依赖于一些\"非逻辑的\"方法，主要是:想象、灵感和直觉。

想象、灵感和直觉，通常被人们称做创造性的精华。

想象乃是具有一定程度概括性的意象的联结与组合，并以意象形式加以表达的一种思维活动。

灵感，是指人们在创造过程中.由于某种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思维活动。灵感最为突出的特点是:灵感引发的随机性，灵感显现的暂时性，灵感显现过程中的情感性。

直觉，简单地说，就是直接的觉察。它是人脑对客观事物的一种迅速而直接的洞察或领悟，是人们自觉或不自觉地考虑某一问题时，在头脑中突如其来的一种创造性设想。

直觉具有三个明显的特性:一是它对问题的内在规律(即客观事物的本质联系)的深刻理解;二是这种理解来自于经验的积累; 三是经验积累到一定程度，突然理性与感性产生共鸣时，而表现为豁然贯通的一种顿悟式的理解。

第六章小学数学解题的能力分析 第一节小学数学解题能力的成分 一、能力与数学能力的概念

能力就是完成某一任务的一种个人特性。它不同于一种习惯或技能，因为习惯或技能只是一个人活动的特征。

心理学的研究表明，先天的、生物学的素质对以后的能力发展是必需的.但并不是充分的。能力只有通过活动才能形成和得以发展。

小学数学教育的一项主要目的就是培养小学生的数学能力。从广义上讲，数学能力是顺利完成数学活动所必备的，且直接影响其活动效率的一种个性心理特性，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中主要表现出来的比较稳定的心理特性。从狭义上看，数学能力即理解为解决数学问题的个性特性。

二、数学解题能力及其成分

小学数学结题能力的成分：1、运算能力；2、空间想象能力；3、逻辑思维能力。

运算能力、空间想像能力和逻辑思维能力是数学解题能力的主要

成分。

概括数学材料、逆转心理过程、灵活性、借助形象化等即是这种心理品质综合体中的具体成分。

运算能力：这些运算能力最初表现为对其知识的理解和技能的形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理运用运算，与其他各种运算的灵活运用和巧妙的结合上。这也就表现出一种解题的能力，即运算能力。

空间想象能力：在空间形式的问题中，所要研究的是图形的形状，图形的大小，图形与图形的位置关系等。在研究过程中，除直接给出一些基本图形的性质外，总是要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行感知和操作，出现或构造出一些异于所给图形的新图形，并找到新的关系。这又表现出一种解题的能力即空间想象力。

逻辑思维能力：数学问题的解决时解题者从感知获得的感性材料出发，通过分析和综合、抽象和概括、判断和推理等逻辑思维方法，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性认识，从而领会和掌握数学的规律和本质。因此，这仍然表现出一种解题的能力，即逻辑思维能力。

瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心理学家认为组成数学解题能力的因素有：

1、一般因素G(主要指智力因素) 2、数因素N（对数概念的理解和应用）

3、空间因素S（对空间形式的理解、想象和抽象） 4、语言因素v(用语言表达数学关系)

5、推理因素R（运用逻辑思维、形象思维和直觉思维） 日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方面： A、数理性的领会能力：具体要求是使之抽象化，使之数量化和图形化，使之记号化或形式化；

B、概括能力：具体要求是使之扩展，集中归纳，改变观点和改变条件。

C、思维能力：具体要求是有计划按步骤地进行思考，进行类比或对比，有根据地进行证明。

苏联心理学家鲁捷茨基：1、使数学材料形式化能力；2、概括数学材料的能力；3、用数学和其他符号进行运算能力；4、连续而有节奏的逻辑推理能力；5、缩短推理过程的能力；

6、逆转心理过程的能力； 7、灵活的思维能力； 8、数学记忆能力； 9、形成空间概念的能力； 10、借助形象化（直观）能力。 第二节概括数学材料 一、概括数学材料能力的内涵

在小学数学解题过程中，概括数学材料能力主要表现在从所给数学材料的形式和结构中，能迅速抓住事物的\"数\"和\"形飞找出或发现具有数学意义的关系与特征;正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分与有数学意义的结构。

小学生感知并概括数学材料的过程不同，也就能反映出他们在能力上的差异。概括数学材料，还在于感知题目的形式结构。所谓题目的形式结构，是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。

二、概括数学材料能力的体现

概括数学材料能力主要表现：1、在从所给数学材料的形成和结构中，能迅速抓住事物的“数”和“形”，找出或发现具有数学意义的关系与特征；2、正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分与有数学意义的结构。

概括数学材料，还在于感知题目的形式结构。所谓题目的形式结构是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。

概括数学材料的能力还充分体现在这样两个方面：一是从特殊的和具体的事物中，概括出某些一般的熟识的教学模式；二是从孤立的和特殊的事物中，概括出未知的数学模式。综合起来也就是从具体内容摆脱出来，并且在各种对象、关系和运算的结构中，概括出相似的、

一般的和本质的东西。

克鲁捷茨基认为对数学材料的概括能力，还应表现在问题的类型上即能从不同的题目中发现一般类型，能从较简单的题目过渡到相同类型较复杂的题目，以及怎样把一种类型从表面上相似的其他类型的题目中区分出来。这样有助于在解决问题时，解题者也就能够迅速概括出所要解决的问题，发现和过去所熟悉的问题的相似之处，从而将解法平移过来。

第三节逆转心理过程 一、逆转心理过程能力的内涵

在小学数学解题过程中，所谓逆转心理过程的能力，指的是重建一种心理过程的方向的

能力，即在进行分析时不仅取顺向，而且取逆向;不仅从正面，而且从反面;不仅从因到果，而且执果索因，使问题得到解决。

二、逆转心理过程能力的体现

在一般情况下，从A→B的正向序列转变为从B→A的逆向序列的过程中，逆向的思路并不总是完全依相反的次序重复正向思路的途径.改变的只是目标和出发点，两种过程的具体路子、中间环节的联结有着很大的差异。因此，不同能力的解题者在这一方面所表现的程度是大不相同的。在小学数学解题过程中，逆转心理过程，还具体表现在正逆两方面的理解、思考和应用上。

第四节灵活性 一、灵活性能力的内涵

灵活性，又称变通性，是创造能力的典型特征。在数学解题过程中，灵活性指的是解题思路的灵活转换和迅速重组。

二、灵活性能力的体现

从认知心理学的角度看，所谓的灵活性系指解题途径的多样化，判断其强弱的标准一般是指解题者从一种心理运算到另一种心理运算的轻快平衡和敏捷程度。

灵活性和深刻性。思维深刻的小学生容易摆脱通常方法的羁绊，灵活自如地考虑问题；而灵活性很强的小学生，也常常能发现一些出

乎意料的解题方法，更深刻地认识问题。

第五节借助形象化

一、数学气质与借助形象化能力的内洒

在数学解题的过程中，解题者都具有一种用数学语言来解释问题的能力倾向，这就是所谓的\"数学气质“

数学气质有如下三种类型。

分析型:倾向于用语言一逻辑的词语去思考; 几何型:习惯于用视觉一形象的词语去思考; 混合型:综合上述两类特征。

数学气质的不同类型之所以存在，既是解题者个别的、典型的心理差异的结果，也是不同的数学类型问题对解题者提出不同要求的结果。

在小学数学解题中，小学生应努力完善语言——逻辑和视觉——形象这两个方面的相互转换，即在一定程度上依靠视觉意象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统也作出一种形象的解释，这就是所谓的“借助形象化”的全部内涵。

二、借助形象化能力的体现

借助于形象化的根本目的在于从直观上来理解较为抽象的数学关系，形成再现性想象，从而促进创造性的活动。

借助形象化所得到的数学关系、数学规律、数学形式结构、数学知识系统和推证模式等.比起其他方式来，更能保持记忆。

第七章小学数学研究专题导引 第一节小学数学现代教育功能观 一、小学数学的教育功能

基础教育对人的培养有两个显著的特点，一是必须有广泛的适应性，二是必须为人的长期行为打基础。

小学数学教育存在的一些误区： 1、小学数学教育贫乏化； 2、学科教育专门化；

3、忽视科学数学同作为小学学科数学的区别；

4、现行考试制度不合理。 二、数学学科品格

数学学科品格表现在：1、积极的思维态度；2、科学的思维方式；3、强烈的思维内驱力；

4、密集的脑力当量。 1.积极的思维态度。

数学学科积极的思维态度表现在从来不满足于观察、直观，而总是通过积极的比较、抽象去揭示事物的本质，即不断抽象化。从来不满足于特例，而总是通过归纳和概括一系列特例的共同的、本质的特征，进而反映一类事物的一般性质或规律，即不断一般化。从来不满足于局部范围内的统一，总是抓住否定局部范围统一的奇异现象，去揭示更大范围的统一，即不断统一化。这种不断的抽象化、一般化和统一化为数学思维的不断升华，提供了必要的以及可能的条件，促进了数学的发展。

2.科学的思维方式。

数学学科作为一种科学的思维方式，其含义有两方面:一是数学通过秩序、和谐、对称、整齐、简约等形式来表现与之联系的思维情趣，并在此基础上，形成学习或研究科学以及从事创造性的劳动的具体方法;二是\"技术化\"向\"科学化\"的过渡。所谓\"技术化\"，是指只注意具体实用的技巧，而没有形成某种思想，停留在经验和技能性层面。而\"科学化\"则表现为注重定量分析.注重形式逻辑，注重抽象思维。

数学在表现现代科学的思维方式方面，具有独特的功能，只有深入地领会数学所反映的思维方式，才能使学生真正学好数学。

3.强烈的思维内驱力。

从数学发展这一角度来看，思维内驱力主要是由数学内部发展和外部需要相适应而产生

的。从数学学习这一角度来看，思维内驱力主要是来源于数学材料与人的认识的矛盾冲突。

4.密集的脑力当量。

若某学科知识总量为T ，其脑力总付出为R ，则两者之反比. 即为

单位知识所含有的脑力付出，通称脑力当量C ，用公式表示为 c=

T R 数学学习的脑力付出在学生曾脑力总付出中，具有突出的地位，数学无疑是发展人的脑力的最为重要的学科。

第二节 小学数学活动教学观 一、数学活动教学的概念及其意义

从实质上看，数学是一系列的活动。对学生学习数学而言，就是要通过产生结论的活动，去真正理解结论，并从中获得素质上的提高。

由于数学本身是一种演绎法与结构法相互矛盾又相互作用的 活动过程.所以它的教学就必须还其本来面目，不仅注重演绎法， 而且还应设计出一种符合学生的认识规律和数学发展规律的教学 过程，这就是数学活动教学观。

数学活动教学可分为这样几个阶段:一是具体材料的数学化， 即从实际生活中提取数学模型;二是数学材料的逻辑组织化，即通 过辨析、归纳、直觉、类比、想象.寻找方向和线索，用逻辑方法把数 学材料组织到逻辑体系中去;三是数学结论的应用化，即把理解和 掌握结论转变为更加具体的思维，并能同所面临的实际情境相结 合.从而创造性地应用结论。综合起来，也就不难看出，上述阶段其 实是思维活动由上升性→探索性→再上升性这样一个循环发展过 程。

数学活动教学的意义：

数学活动教学，是提高人的素质的一个有效的途径。

数学活动教学，提供了个体探求和获取知识的过程，使之锻炼了意志.增强了思维能力，领会了数学的基本思想和方法。

数学活动教学因为同现实联系起来，所以既培养了辩证唯物 主义的科学世界观，又发展了人头脑中的数学现实认识。

二、小学数学活动教学的依据？

1.从智力发展理论中的划分来看，小学生处于具体运算和形 式运算这两个阶段，已经能从特殊到特殊这种\"传递性\"的推理，逐 渐过渡到特殊到一般或一般到特殊这两种不完全归纳和演绎推 理;能从具体直观入手，通过语言复述和部分描述，逐渐过渡到经 验型的抽象。所以，小学数学的教学方法对'此就应该具有依赖性和 适应性，就不能是单纯

的结论教学，而应该强调多种多样的活动教 学。否则，就不能激起学生的共鸣，达不到应有的效果。

2.概念学习理论认为，学习从广义上讲即是一种概念学习。 概念的形成过程，也就是活动的过程，如果注意感性的、具体的描 述方法，就一定能够使学生正确理解和掌握概念。