一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|0<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥>1}，则集合𝐴∩∁𝑈𝐵等于( )
A. {𝑥|1<𝑥<2} A. (2,4)
3. 已知𝑎=1.50.2，
B. {𝑥|1≤𝑥<2} B. (2,+∞) B. 𝑏>𝑐>𝑎
C. {𝑥|0<𝑥<1} C. (0,2) C. 𝑐>𝑎>𝑏
D. {𝑥|0<𝑥≤1} D. (−∞,2) D. 𝑎>𝑐>𝑏
2. 函数𝑦=lg(4−2𝑥)的定义域是( )
，𝑐=0.21.5，则( )
A. 𝑎>𝑏>𝑐
4. 函数𝑓(𝑥)=ln(2𝑥2+2)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列幂函数为偶函数的是( )
A. 𝑦=𝑥3 A. [−1,3] C. (−3,1)
1
B. 𝑦=𝑥2
1
C. 𝑦=𝑥3 B. D.
1
2
D. 𝑦=𝑥2
3
6. 已知𝑓(𝑥)为R上的减函数，则满足𝑓(𝑥2−2𝑥)−𝑓(3)<0的实数x的取值范围是( )
7. 下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A. 𝑦=√𝑥−1 B. 𝑦=ln𝑥
C. 𝑦=3𝑥−1
D. 𝑦=𝑥−1
1
𝑥+1
𝑓(𝑥)=3𝑥+1+𝑏，8. 函数𝑓(𝑥)是定义在(−2,2)上的奇函数，当𝑥∈[0,2)时，则𝑓(log32)的值为( )
A. 3 A. (−∞,−1]
B. √3+1 B. [−1,+∞)
C. −1 C. [−1,1)
D. −3 D. (−3,−1]
9. 已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎(−𝑥2−2𝑥+3)(𝑎>0且𝑎≠1)，若𝑓(0)<0，则此函数的单调减区间是( ) 𝑙𝑜𝑔1𝑥(𝑥>0)
3
10. 设𝑓(𝑥)={1𝑥，则𝑓(𝑓(−3))等于( )
(3)(𝑥<0)
A. 3
11. 已知函数
𝑛
B. −3
C. 3
1
D. −1
，实数𝑚,𝑛满足−1<𝑚<𝑛，且𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛).若𝑓(𝑥)在[𝑚2,𝑛] 上
的最大值为2，则𝑚=( )
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A. −6
12. 设函数𝑓(𝑥)={
B. −8 C. −9 D. 12
𝑥2+1,𝑥≤1
，则𝑓(𝑓(3))= ( ) 2
,𝑥>1
𝑥
A. 5 1
B. 9
13
C. 3 2
D. 3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数𝑓(𝑥)=8+log𝑎(2𝑥−3)(𝑎>0且𝑎≠1)的图象恒过定点______． 14. ()4
9−21
−+log49⋅log32=_________．
15. 若 𝑓(𝑥)=𝑥(|𝑥|−2)在区间 [−2,𝑚]上的最大值为 1，则实数 𝑚的取值范围
是 ▲ ．
16. 函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，给出下列命题：
①𝑓(0)=0；
②若𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有最小值为−1，则𝑓(𝑥)在(−∞,0)上有最大值1； ③若𝑓(𝑥)在[1,+∞)上为增函数，则𝑓(𝑥)在(−∞,−1]上为减函数； ④若𝑥>0，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥；则𝑥<0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2−2𝑥． 其中所有正确的命题序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合𝑈=𝑅，𝐴={𝑥|2≤𝑥<4}，𝐵={𝑥|−1≤𝑥<3}.求：
(1)𝐴∩𝐵，𝐴∪𝐵； (2)(∁𝑈𝐴)∩(∁𝑈𝐵)．
18. 计算：
(1)log535−2𝑙𝑜𝑔53+log57−log51.8； (2)log2√48+log212−2log242−1．
7
17
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19. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥−1是奇函数．
(1)求a的值； (2)解不等式𝑓(𝑥)>3．
2𝑥+𝑎
20. 某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：
用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为 𝑔( 𝑥) (单位：千克/年)养殖密度为 x，𝑥>0 (单位：尾/立方分米)，当 x 不超过 4 时，𝑔(𝑥) 的值恒为2；当 4≤𝑥≤20，𝑔(𝑥) 是 x 的一次函数，且当 x 达到 20 时，因养殖空间受限等原因，𝑔(𝑥)的值为0． (1)当 0<𝑥≤20 时，求函数 𝑔(𝑥) 的表达式； (2)在(1)的条件下，求函数 𝑓(𝑥)=𝑥⋅𝑔(𝑥)的最大值．
21. 定义在(0,+∞)上的函数𝑓(𝑥)，对于任意的m，𝑛∈(0,+∞)，都有𝑓(𝑚𝑛)=𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛)成立，
当𝑥>1时，𝑓(𝑥)<0． (1)求证：1是函数𝑓(𝑥)的零点；
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(2)求证：𝑓(𝑥)是(0,+∞)上的减函数； (3)当𝑓(2)=2时，解不等式𝑓(𝑎𝑥+4)>1．
1
22. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥−2𝑥．
(1)若𝑓(𝑥)=2，求x的值；
(2)若对于𝑡∈[1,2]时，不等式2𝑡𝑓(2𝑡)+𝑚𝑓(𝑡)≥0恒成立，求实数m的取值范围．
1
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析： 【分析】
本题考查了集合的交集和补集运算，是基础题．根据补集与交集的定义，计算即可． 【解答】
解：全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|0<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥>1}， ∴∁𝑈𝐵={𝑥|𝑥≤1}， ∴𝐴∩∁𝑈𝐵={𝑥|0<𝑥≤1}． 故选：D．
2.答案：D
解析：解：由函数𝑦=lg(4−2𝑥)，得到4−2𝑥>0，即2𝑥<4=22， 解得：𝑥<2，
则函数的定义域是(−∞,2)， 故选：D．
根据负数和0没有对数，求出函数的定义域即可．
此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握对数及指数函数的性质是解本题的关键．
3.答案：D
解析： 【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题． 【解答】 解：
∴𝑎>𝑐>𝑏， 故选D．
，
4.答案：D
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解析：解：函数𝑓(𝑥)=ln(2𝑥2+2)是偶函数，函数的值域为：[𝑙𝑛2,+∞)．
满足题意的函数的图象为：．
故选：D．
判断函数的奇偶性，判断函数值域范围，即可推出结果． 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，是基础题．
5.答案：C
解析： 【分析】
本题考查幂函数及函数的奇偶性，属于基础题． 根据题意逐项进行判断即可得到结果． 【解答】
解：对于A，函数𝑦=𝑥3为奇函数，故A错误；
对于B，函数𝑦=𝑥2定义域为[0,+∞)，则函数没有奇偶性，故B错误； 对于C，函数𝑦=𝑥3=3√𝑥2为偶函数，故C正确；
对于D，函数𝑦=𝑥2定义域为[0,+∞)，则函数没有奇偶性，故D错误； 故选C．
321
1
6.答案：B
解析： 【分析】
本题考查了函数的单调性问题，属于基础题． 直接利用函数的单调性，转化不等式，求解即可． 【解答】
解：𝑓(𝑥)为R上的减函数，且𝑓(𝑥2−2𝑥)−𝑓(3)<0， 即𝑓(𝑥2−2𝑥)<𝑓(3)，
所以𝑥2−2𝑥>3，解得𝑥>3或𝑥<−1， 故实数x的取值范围是故选B．
．
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7.答案：D
解析： 【分析】
本题考查函数的定义域及值域，属于基础题． 根据题意逐项进行判断即可得到结果． 【解答】
A中，定义域为{𝑥|𝑥≥1}，值域为{𝑦|𝑦≥0}，不符合； B中，定义域为{𝑥|𝑥>0}，值域为R，不符合；
C中，定义域为{𝑥|𝑥≠0}，3𝑥−1∈(−1,0)∪(0,+∞)，值域为(−∞,−1)∪(0,+∞)，不符合； D中，∵𝑦=𝑥−1=1+𝑥−1≠1，𝑥≠1， ∴函数𝑦=𝑥−1的定义域与值域相同，符合， 故选D．
𝑥+1
𝑥+1
2
8.答案：C
解析： 【分析】
本题主要考查了奇函数的性质.先解得𝑏=−2，即可求解． 【解答】
解：由于函数𝑓(𝑥)在R上为奇函数， 当0≤𝑥<2 时，𝑓(𝑥)=3𝑥+1+𝑏， 所以𝑓(0)=30+1+𝑏=0，解得𝑏=−2，
则𝑓(log32)=𝑓(−𝑙𝑜𝑔32)=−𝑓(log32)=−(3log32+1−2)=−1 ． 故选C．
1
9.答案：D
解析： 【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查．
令𝑡=−𝑥2+2𝑥−3>0，求得函数的定义域，根据𝑓(0)=log𝑎3<0，可得0<𝑎<1，根据复合函数单调性求解即可． 【解答】
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解：令𝑡=−𝑥2−2𝑥+3>0，可得−3<𝑥<1， 故函数的定义域为{𝑥|−3<𝑥<1}． 根据𝑓(0)=log𝑎3<0，可得0<𝑎<1， 𝑦=log𝑎𝑡，在𝑡∈(0,+∞)上单调递减， 根据复合函数同增异减的原则可知，
本题即求函数𝑡=−𝑥2−2𝑥+3在定义域内的增区间，
由于𝑡=−𝑥2−2𝑥+3在{𝑥|−3<𝑥<1}上的单调递增区间为(−3,−1]， 所以函数𝑓(𝑥)=log𝑎(−𝑥2−2𝑥+3)的单调减区间是(−3,−1]， 故选D．
10.答案：B
𝑙𝑜𝑔1𝑥(𝑥>0)3
解析：解：∵𝑓(𝑥)={1𝑥，
()(𝑥<0)
3
∴𝑓(𝑓(−3))=𝑓((3)−3) =𝑓(27)=𝑙𝑜𝑔127=−3．
3
1
故选B．
根据分段函数，先求出𝑓(−3)=27，再求出𝑓(27)，运用对数的运算性质，即可得到．
本题考查分段函数及运用，考查指数的运算和对数的运算，考查基本的运算能力，属于基础题．
11.答案：C
解析： 【分析】
本题主要考查最值及其几何意义，对数函数的图象和性质，属于中档题．
先结合函数𝑓(𝑥)=|log3(𝑥+1)|的图象和性质，再由𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)，得到(𝑚+1)，(𝑛+1)的倒数关系，再由“若𝑓(𝑥)在区间[𝑚2,𝑛]上的最大值为2”，求得m，n的值得到结果． 【解答】 解：
，且𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)，−1<𝑚<𝑛，
∴−log3(𝑚+1)=log3(𝑛+1)
∴(𝑚+1)(𝑛+1)=1，
∵若𝑓(𝑥)在区间[𝑚2,𝑛]上的最大值为2，且−1<𝑚<𝑛， 又函数
在[0,+∞)上单调递增，
∴log3(𝑛+1)=2，∴𝑛=8， ∴𝑚=−9，∴𝑚=−9．
8
𝑛
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故选C．
12.答案：B
解析： 【分析】
本题考查分段函数和复合函数，属于基础题． 根据复合函数求值由内向外依次计算即可． 【解答】
解：根据题意𝑓 (3)=，
3
所以 𝑓(𝑓(3))=𝑓(2)=(2)+1=13，
3
3
9
22
故选B．
13.答案：(2,8)
解析： 【分析】
本题主要考查对数函数的图象恒过定点问题，属于基础题．令对数的真数等于1， 求得x、y的值，可得它的图象经过定点的坐标． 【解答】
解：对于函数𝑓(𝑥)=8+log𝑎(2𝑥−3)(𝑎>0且𝑎≠1)，令2𝑥−3=1，求得𝑥=2，𝑦=8， 可得它的的图象恒过(2,8)， 故答案为(2,8)．
14.答案：3
解析：
【分析】本题主要考查了指数函数与对数函数综合应用，解题的关键是熟练掌握指数函数与对数函数的计算，
根据已知及指数hansh函数与对数函数的jis计算，求出值．
【解答】解： 原式=(3)2−1
25
+log23⋅log32=+1=．
3
3
5
15.答案：[−1,√2+1]
解析： 【分析】
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本题考查了函数的图象的应用及最值的求法，
作函数𝑓(𝑥)=𝑥(|𝑥|−2)的图象，由图象知当𝑓(𝑥)=1时，𝑥=−1或𝑥=√2+1；从而由图象求解． 【解答】
解：作函数𝑓(𝑥)=𝑥(|𝑥|−2)的图象如下，
当𝑓(𝑥)=1时，𝑥=−1或𝑥=√2+1； 故由图象可知，
实数m的取值范围是[−1,√2+1]． 故答案为[−1,√2+1]．
16.答案：①②④
解析：解：由函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，可得𝑓(−0)=−𝑓(0)即𝑓(0)=0 ①𝑓(0)=0；正确
②若𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有最小值为−1，则根据奇函数的图形关于原点对称可在𝑓(𝑥)在(−∞,0)上有最大值1；正确
则根据奇函数在对称区间上的单调性可知𝑓(𝑥)在(−∞,−1]上为增函③若𝑓(𝑥)在[1,+∞)上为增函数，数；错误
−𝑥>0，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥；则𝑥<0时，𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−[(−𝑥)2−2(−𝑥)]=−𝑥2−2𝑥.④若𝑥>0，正确
故答案为①②④
由函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，可得𝑓(−0)=−𝑓(0)可判断①
若𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有最小值为−1，则根据奇函数的图形关于原点对称可在𝑓(𝑥)在(−∞,0)上有最大值1；
则根据奇函数在对称区间上的单调性相同可知𝑓(𝑥)在(−∞,−1]上为③若𝑓(𝑥)在[1,+∞)上为增函数，增函数；
④若𝑥>0，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥；则𝑥<0时，−𝑥>0，𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)代入可求
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本题综合考查了奇函数的性质的应用；奇函数的性质𝑓(0)=0、奇函数的图象关于原点对称、奇函数在对称区间上的单调性相同、及求解对称区间上的函数解析式等知识的简单应用．
17.答案：解：(1)集合𝐴={𝑥|2≤𝑥<4}，𝐵={𝑥|−1≤𝑥<3}，
∴𝐴∩𝐵={𝑥|2≤𝑥<3}， 𝐴∪𝐵▲{𝑥|−1≤𝑥<4}；
(2)集合𝑈=𝑅，∴∁𝑈𝐴={𝑥|𝑥<2或𝑥≥4}， ∁𝑈𝐵={𝑥|𝑥<−1或𝑥≥3}，
∴(𝐶𝑈𝐴)∩(𝐶𝑈𝐵)={𝑥|𝑥<−1或𝑥≥4}．
解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． (1)根据交集、并集的定义计算即可； (2)根据补集与交集的定义计算即可．
18.答案：解：(1)原式=log5(5×7)−2(log57−log53)+log57−log55=log55+log57−2𝑙𝑜𝑔57+
2𝑙𝑜𝑔53+log57−2𝑙𝑜𝑔53+log55=2． (2)原式=log2√7√489
+log212−log2√42−log22
=log2
√7×12√48×√42×2=log21
2√2 =log21−2=−2．
33
解析：本题考查了对数的运算，是基础题。 (1)根据对数的运算法则进行解答． (2)根据对数的运算法则进行解答．
19.答案：解：(1)∵函数𝑓(𝑥)=2𝑥−1是奇函数，
∴𝑓(−1)=−𝑓(1)， ∴
1+𝑎21−122𝑥+𝑎
=−(2+𝑎)，
∴𝑎=1，经检验，满足题意． 故𝑎=1． (2)𝑓(𝑥)>3，即
2𝑥+12𝑥−1
>3，1<2𝑥<2，解得0<𝑥<1，
∴不等式的解集为{𝑥|0<𝑥<1}．
解析：本题考查奇函数的定义，考查学生解不等式的能力，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)利用𝑓(−1)=−𝑓(1)，求出a的值；
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(2)𝑓(𝑥)>3，即
2𝑥+12𝑥−1
>3，即可解不等式．
20.答案：解：(1)当4≤𝑥≤20时，设𝑔(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏，
𝑘=−4𝑘+𝑏=28
{{由条件可知，解得：， 520𝑘+𝑏=0𝑏=22,0≤𝑥≤4
∴𝑔(𝑥)={𝑥5．
−+,4<𝑥≤20
8
2
1
2𝑥,0≤𝑥≤4
(2)𝑓(𝑥)={𝑥25𝑥，
−+,4<𝑥≤20
8
2
∴𝑓(𝑥)在[0,10)上单调递增，在(10,20]上单调递减， ∴𝑓(𝑥)的最大值为𝑓(10)=
252
．
解析：(1)利用待定系数法求出𝑔(𝑥)在[4,20]上的解析式，从而得出𝑔(𝑥)的解析式； (2)判断𝑓(𝑥)的单调性，根据单调性求出𝑓(𝑥)的最大值．
本题考查了分段函数的解析式，分段函数的最值计算，属于中档题．
21.答案：解：(1)证明：对于任意的正实数m，n都有𝑓(𝑚𝑛)=𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛)成立，
所以令𝑚=𝑛=1，则𝑓(1)=2𝑓(1)． ∴𝑓(1)=0，即1是函数𝑓(𝑥)的零点．
(2)证明：设0<𝑥1<𝑥2，∵𝑓(𝑚𝑛)=𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛)，∴𝑓(𝑚𝑛)−𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)． ∴𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥1).
因0<𝑥1<𝑥2，则𝑥1>1.而当𝑥>1时，𝑓(𝑥)<0，从而𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1). 所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数． (3)因为𝑓(4)=𝑓(2)+𝑓(2)=1，
所以不等式𝑓(𝑎𝑥+4)>1可以转化为𝑓(𝑎𝑥+4)>𝑓(4)． 因为𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是减函数，所以0<𝑎𝑥+4<4． 当𝑎=0时，解集为𝜙；
当𝑎>0时，−4<𝑎𝑥<0，即−𝑎<𝑥<0，解集为{𝑥|−𝑎<𝑥<0}； 当𝑎<0时，−4<𝑎𝑥<0，即0<𝑥<−𝑎，解集为{𝑥|0<𝑥<−𝑎}.
4
4
4
4
𝑥2𝑥2
解析：(1)利用赋值法，推出𝑓(1)=0，即可证明结果． (2)利用已知条件结合函数的单调性的定义，证明结果即可． (3)利用已知条件，通过函数的单调性，利用分类讨论求解即可．
本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的证明，分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．
22.答案：解：(1)𝑓(𝑥)=2即2𝑥−2𝑥=2，得4𝑥−2×2𝑥−1=0，∴2𝑥=1±√2，
1
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又2𝑥>0，∴2𝑥=1+√2，
∴𝑥=log2(1+√2).
(2)∵2𝑡(22𝑡−
1
122𝑡
1
)+𝑚(2𝑡−𝑡)≥0，
2
1
1
1
∴2𝑡(2𝑡−2𝑡)(2𝑡+2𝑡)+𝑚(2𝑡−2𝑡)≥0，∵𝑡∈[1,2]，∴2𝑡>2𝑡，
∴4𝑡+1+𝑚≥0恒成立，即𝑚≥−(4𝑡+1)恒成立，问题等价于m大于等于−(4𝑡+1)的最大值−5， ∴𝑚≥−5，
因此m的取值范围为[−5,+∞)．
解析：(1)𝑓(𝑥)=2即2𝑥−2𝑥=2，先解2𝑥，再解x值，注意2𝑥>0；
(2)不等式2𝑡𝑓(2𝑡)+𝑚𝑓(𝑡)≥0恒成立，通过整理变形转化为4𝑡+1+𝑚≥0恒成立，分离参数m后转化为求函数最值问题解决；
本题考查函数恒成立问题及指数方程的求解，考查学生的分析问题解决问题的能力，恒成立问题往往转化为求函数最值问题解决，或分离参数后再求函数最值．
1
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