强 激 光 与 粒 子 束 第２０卷 布与文献［２］中的实验结果相一致，应力分布与文献［８］中ＡＮＳＹＳ商用有限元软件模拟结果以及文献［９］中 ＦＥ分析结果均一致。 １介质模型及计算原理 １．１ 介质模型 高功率薄片式固体激光器如图１所示，本文所选取的激光介质模型及其坐标建立如图２所示，ｚ，Ｙ方向长 度Ｌ ，Ｌ 分别为１ ｃｍ，ｚ方向即厚度方向Ｌ 为１ ｍｍ。在ｚ，Ｙ方向等分为Ｎ 一Ｎ ＝１０１个节点，在ｚ方向等 分为１１个节点，介质划为１０×１０ 个小立方块，在ｚ，Ｙ和ｚ坐标方向的步长分别为ｄｚ，ｄ 和ｄｚ。 ｐｕｍｐ—ｌｉｇｈｔ Ｆｉｇ．１ Ｓｋｅｔｃｈ ｍａｐ ｏｆ ｔｈｉｎ ｓｌｉｃｅ ｌａｓｅｒ Ｆｉｇ．２ Ｎｄ：ＹＡＧ ｓｌｉｃｅ 图１薄片激光器示意图 图２ Ｎｄ：ＹＡＧ薄片 １．２计算原理 设泵浦光为近超高斯光束，在激光介质内形成的内热源分布函数可表示为 ｑ（ｘ，Ｙ，ｚ）一Ｉｏ口ｅｘｐ（一ａｚ）ｅｘｐ｛－Ｅｘ／Ｗ （ｚ）］ ）ｅｘｐ｛一［ｙ／Ｗ （ｚ）］。 ） （１） 式中：Ｉ。表示泵浦光在泵浦面上的中心光强。总泵浦功率为１００ Ｗ，光强按式（１）分布在泵浦面上。Ｗ （ｚ）和 Ｗ （ ）分别表示泵浦光在ｚ处ｚ方向和Ｙ方向的超高斯束宽；Ｓ 和Ｓ 分别表示泵浦光在ｚ方向和Ｙ方向的 超高斯阶数；ａ为激光介质的光吸收系数； 为被吸收光转化为热的系数［７］。由于薄片泵浦距离很短，单次泵浦 对泵浦光的吸收较少，为充分利用泵浦光能量，有必要利用镀膜的方式使泵浦光在激光介质中多穿过几次，以 提高泵浦光的利用率［８］，本文考虑薄片对泵浦光束的４次吸收。在计算时考虑泵浦光波４次通过薄片介质，从 而提高介质对泵浦光的吸收效率。 根据式（１）所描述的内热源分布，利用热传导微分方程式（２）和热传导第三类边界条件，也称罗宾（Ｒｏｂｉｎ） 条件式（３），可得到介质的温度分布［９］。 ａｄＴ Ａ（等＋努＋筹 一 个 ｌ （足 ＋ｈＴ）ｉ—ｈＴ ０ ｌ Ｓ 表示冷却液的温度。 将计算得到的３维温度分布代人热平衡微分方程和热弹性体边界条件 ＋Ｇ）＝Ｏｅ＋ＧＶ －＿（３） 以上式中：Ａ—ｋ／ｃｐ；ｋ是材料的导热系数；ｃ是比热容；Ｐ是材料的密度；ｈ是对流换热系数；ｗ表示内热源；Ｔａ ｄｘ ｄＶ “一卢 ＋Ｘ一０ ｄｘ ｄＶ ＋Ｇ） ＋ ＧＶ 一』９ ＯＴ＋ｙ一０ （４） ＋Ｇ） Ｏｅ＋ＧＶ ２ｄ ｗ－－卢 ｄ ＋Ｚ一０ ｆＸ一 ＋眦 ＋盯 （５） ｛Ｙ—ｌｒ ＋脚 ＋ｎｚ＂ Ｌｚ一打一＋眦 ＋ 式（４），（５）中：“， 和Ｗ分别是ｚ，Ｙ和ｚ方向的位移分量；Ｔ是介质中的温度分布； 为拉梅常数；Ｇ为剪切弹 性模量；卢为热应力系数； ，Ｇ，卢是与介质泊松比 ，杨氏模量Ｅ，热膨胀系数Ｂ相关的量ｍ ；Ｘ，Ｙ和Ｚ分别为 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 李 刚等：Ｎｄ：ＹＡＧ方形薄片激光器３维温度及热应力的数值模拟 ５５９ Ｘ，Ｙ和ｚ方向的体积力分量； ，ｃｒｙ和ｄ。分别为正应力分量； ， 和ｒ 分别为剪应力分量；叉，＿ｙ和 是表面 上ｘ，Ｙ和ｚ方向的面力分量；ｚ， 和 是表面法线方向与ｚ，Ｙ和 三坐标轴之间的余弦值。Ｐ为体积应变 ８一 ＋￡ ＋ 一 ０ｚ ＋ ０ ＋ ０ｚ （６） 再利用描述应变和位移关系的几何方程（７）以及描述应变与应力关系的物理方程（８）求出应变和应力 ｛￡）一 ， ， ，ｙ ） 一｛ ， ， ， ＋ ，ａ ｗｙ＋ ａ ｖ，８ｕ ８ｗ｝ ’＋２Ｇｅ 一口 ＋２Ｇｅ，一 ＋２Ｇｅ ｚ一 （７） （８） ｛ ，ｄｙ，ｄ ， ， ， ） 一 Ｇｙ Ｇｙ Ｇｙ 由于方形薄片的下表面粘贴在热沉基片上，所以强制该表面的位移均为零，即（ ， ，叫）一０。用差分法解上述 方程计算得到温度分布Ｔ和位移分布（ ， ，叫），根据式（７）和（８）求得介质中正应力 ，ｃｒｙ， 和剪应力ｒ ， ， 分布。以上计算所需的Ｎｄ：ＹＡＧ的参数如表１所示 ｎ］。 表１ Ｎｄ：ＹＡＧ薄片参数 Ｔａｂｌｅ １ Ｐａｒａｍｅｔｅｌ－Ｓ ｏｆ Ｎｄ：ＹＡＧ ｓｌｉｃｅ ２计算结果及分析 ２．１温度分布 根据图２建立的坐标系，上表面为泵浦面，下表面为冷却面，与热沉接触。根据式（１）的内热源分布函数， 在垂直于ｚ轴的任意面内，温度分布呈中间高边缘低，边界温度为２９３．８ Ｋ，略高于环境空气温度２９３ Ｋ，如图 ３（ａ）所示。泵浦光经过泵浦面到冷却面，由于介质对光能的吸收，光能逐渐减弱，离泵浦面越远（即离冷却面越 近）介质可吸收的光能就越少，由光能转换的热能也就越少，所以温度就越低。同时由于冷却水与冷却面之间 的对流换热系数＾一１０ ｋＷ／ｍ 远大于泵浦面与空气之间的对流换热系数＾一５０ Ｗ／ｍ ，冷却面的冷却效果远 远优于泵浦面的冷却效果，因此介质温度沿厚度方向即 方向从泵浦面到冷却面越来越低，如图３（ｂ）所示。 ３ｌ５ ３１０ 、 三３０５ ＆３００ ｏ 墨２９５ ２９０ ５ ｇ （ａ）ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｏｎ ｐｕｍｐ—ｓｕｒｆａｃｅ 【ｂ）ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｎ：ａｘｉｓ Ｆｉｇ．３ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ 图３薄片中的温度分布 ２．２位移分布 泵浦面上Ｘ，Ｙ，ｚ方向的位移 ， ，Ｗ的分布如图４所示。由热平衡微分方程可知，热位移与温度分布是相 对应的。由于泵浦面上的温度分布是对称的，所以位移分布是对称的。图４（ａ）和（ｂ）中，中间点的位移量均为 ０，是由于泵浦面与Ｘ，Ｙ轴垂直，且该点在介质的中心处，不论压应变还是张应变都应平衡，所以在中心处热位 移为零，而边缘处由于累计效应导致位移越来越大。图４（ｃ）呈环状分布，中心位移大，边缘位移小，且均为负， 维普资讯 http://www.cqvip.com
５６Ｏ 强 激 光 与 粒 子 柬 第２Ｏ卷 表现为泵浦面上均往外凸，在中心处由于温度最高，凸得越严重。这就是所谓的透镜效应。 量 Ｏ ０．８ ７ ９ １ 兰。 专 ｌ一０ 罟一０ 善 一 ０曷兰 ５一３５１６４ ４３１９７５３ ●霸—■■［ｏ 二 ＝二＝二＝＝二＝＝二二 。 ０仆 ｆａ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｉｎ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ （ｂ）ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｉｎｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ （。）ｄｉｓｐＩ 。。ｍ。”ｔＩ王Ｉ暑、 ｉｎ ｄｉ∞ ｒｅｃｔｉｏｎ Ｆｉｇ．４ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｐａｌｃｅｍｅｎｔ ｏｎ ｐｕｍｐ－ｓｕｒｆａｃｅ 图４泵浦面上的位移分布 ２．３ 应力分布 表２列出了泵浦面上和整个介质内的 ，Ｏ＇ｙ和 ：的最大值。由表２可知道， ，Ｏ＇ｙ的最大值正好出现在泵 浦面上，这是因为最高温度出现在泵浦面上。根据热应力自由边界条件，与表面垂直方向的正应力为０。介质 内的最大应力为１１０．６６３ ２ ＭＰａ，Ｎｄ：ＹＡＧ的破碎应力值范围在１３０￣２６０ ＭＰａ之间［１ 。从表２中还可以看 出，介质内Ｏ＇ｚ， 的最大值是 的２．５倍。图５是垂直于 轴的切片上 ，Ｏ＇ｙ和 的分布图。 表２最大应力值 Ｔａｂｌｅ ２ Ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｔｅｓｓ ５ ●圈■■黑门二Ｏ 一 一一 ＝二二＝二一 ＝二 一 ／ 加 ∞ ∞ ｍ Ｏ Ｍ Ｐ ０ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ Ｅ ０ Ｏ Ｅ ０ 三一ｏ —Ｏ ｇ一０ ——Ｏ Ｏ ０ —－０ －０ －０ ａ （ｂ）ｓｔｒｅｓｓ ｉｎＹ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ■圜—■嬲二ｍ ｏ 二二二二二二＝ Ｏ Ｏ ＯＦｉｇ．５ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｌｉｃｅ 珈 枷 Ｏ 图５薄片内的应力分布 ２．４对流换热系数的影响 设对流换热系数 分别为１Ｏ，１１，１２，１３ ｋＷ／ｍ ［１３］，计算了介质温度、热应力的变化情况。图６是不同ｈ 下介质中心 轴上的温度分布。随着ｈ的增大，冷却水对介质的冷却效果增强，介质的温度降低，但温度梯度 不变。表３是不同ｈ下介质内ｚ，Ｙ，ｚ方向上的最大应 ——’—＼： ￣＝ｔＯ ｋｗ／ｍ：ｌ 力值。由表３可知，随着 的增加，各方向的应力值均在 ｅ ～ ＼ … 降低，有利于保护激光介质不被破坏和减小激光器热效 ：｝ 。 口 ｚ 表３不同对流换热系数下。介质里最大应力值 Ｃ ， ４＼ Ｔａｂｌｅ ３ Ｍａｘｉｍｕｍ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎ ｍｅｄｉｕｍ ｆｏｒ 口 Ａ＼ 、 ： ０ △＼ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｈｅａｔ ｔｒａｎｓｆｅｒ 一０．５ －０ ３ —０ １ ０ １ Ｏ ３ Ｏ ５ ｚ｜ｍｍ Ｆｉｇ．６ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｄｉｚｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｎ：ａｘｉｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｈｅａｔ ｔｒａｎｓｆｅｒ 图６ 不同对流换热系数下 轴上的温度分布 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 李刚等：Ｎｄ：ＹＡＧ方形薄片激光器３维温度及热应力的数值模拟 ５６１ 应。程序还计算了随泵浦功率的变化，随着泵浦功率的增加，其介质温度、热应力等变化情况与随ｈ增大的变 化趋势刚好相反。 ２．５泵浦光填充比的影晌 泵浦光填充比Ｇ定义为介质片的端面面积与泵浦光光斑面积之比［伽。我们对比计算了当Ｇ＝２，４，６时介 质的３维稳态温度及热应力，如图７所示。随着Ｇ的增大，介质可吸收的光能减小、温度降低，但温度梯度增 大，导致泵浦面上最大应力更大，最小应力更小，即应力差增大，泵浦面凹凸更明显，透镜效应加剧。因此在泵 浦时尽量做到全口径均匀泵浦。 ３ｌ０ ３Ｏ２ ２９４ ５ ｘ｜ｍｍ ｘ｜ｍｍ Ｆｉｇ－７ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｎ ｐｕｍｐ－ｓｕｒｆａｃｅ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｌｌｅｄ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｐｕｍｐ ｌｉｇｈｔ 图７不同泵浦光填充比下的泵浦面上的温度分布和 方向的应力分布 ３ 结 论 本文中对Ｎｄ：ＹＡＧ方形薄片介质内的温度、位移和热应力等建立了３维模拟计算程序，程序中充分考虑 了在不同的对流换热系数、不同的泵浦功率以及不同的泵浦填充比下介质内的温度分布以及热应力变化情况， 计算结果与物理事实相符合，同时验证了薄片激光器在减弱热效应方面的优点。在同样的泵浦功率下，采用薄 片结构，激光介质的整体温升较小；沿厚度方向的正应力比横截面上的正应力小，由于厚度方向与激光器出光 方向相同，可以有效地降低激光介质热透镜效应。本文中的程序采用有限差分迭代的方法，避免了常规的有限 元法需要求解超大稀疏矩阵而导致的占用系统的内存数增加和计算速度慢等问题，提高了计算精度并加快了 计算速度，程序可以为薄片激光器的设计和开发提供模拟仿真。 参考文献： ［１］克希耐尔ｗ．固体激光工程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００２：８２．（Ｋｏｅｅｈｎｅｒ Ｗ．Ｓｏｌｉｄ—ｓｔａｔｅ ｌａｓｅｒ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，２００２：８２） ［２３欧群飞，冯国英，刘丹平，等．Ｎｄ：ＹＡＧ激光器热效应的计算模拟及实验研究［Ｊ］．激光技术，２００２，２（１）：１５—１７．（Ｏｕ Ｑ Ｆ，Ｆｅｎｇ Ｇ Ｙ，Ｌｉｕ Ｄ Ｐ，ｅｔ ａ１．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅｒｍａｌ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ Ｎｄ：ＹＡＧ ｌａｓｅｒｓ．Ｌａｓｅｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２，２（１）：１５—１７） ［３］Ｇｉｅｓｅｎ Ａ，Ｈｕｇｅｌ Ｈ，Ｖｏｓｓ Ａ，ｅｔ ａ１．Ｓｃａｌａｂｌｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｆｏｒ ｄｉｏｄｅ－ｐｕｍｐｅｄ ｈｉｇｈ ｐｏｗｅｒ ｓｏｌｉｄ－ｓｔａｔｅ ｌａｓｅｒｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｐｈｙｓ Ｂ，１９９４，５８：３６５—３７２． ［４］Ｓｔｅｗｅｎ Ｃ，Ｃｏｎｔａｇ Ｋ，Ｌａｒｉｏｎｏｖ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ａ １ ｋＷ ＣＷ ｔｈｉｎ ｄｉｓｋ ｌａｓｅｒ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｅｌｅｃｔｅｄ Ｔｏｐｉｃｓ ｉｎ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０００， ６（４）：６５０－６５７． ［５］Ｆａｒｒｕｋｈ Ｕ ０，Ｂｕｏｎｃｈｒｉｓｔｉａｎｉ Ａ Ｍ，Ｂｙｖｉｋ Ｃ Ｅ．Ａｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｓｏｌｉｄ—ｓｔａｔｅ ｌａｓｅｒ ｒｏｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｊ Ｑｕａｎｔ Ｅｌｅｃｔｒｏｎ，１９８８，２４（１１）；２２５３－２２６３． ［６］Ｐｆｉｓｔｎｅｒ Ｃ，Ｗｅｂｅｒ Ｒ，Ｗｅｂｅｒ Ｈ Ｐ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅｒｍａｌ ｂｅａｍ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ ｉｎ ｅｎｄ—ｐｕｍｐｅｄ Ｎｄ；ＹＡＧ，Ｎｄ：ＧＳＧＧ，ａｎｄ Ｎｄ：ＹＬＦ ｒｏｄｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｊ Ｑｕａｒｌｔ Ｅｌｅｃｔｒｏｎ，１９９４，３０（７）：１６０５—１６１５． ［７］裴正平，唐淳，涂波，等．Ｎｄ：ＹＡＧ薄片激光器热致波前畸变［ｊ］．强激光与粒子束，２００６，ｌＳ（１０）：１６１５—１６１８．（Ｐｅｉ ＺＰ，ＴａｎｇＣ，ＴｕＢ，ｅｔ ａ１． Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｒｍａｌ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｂｅａｍ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｉｎ Ｎｄ：ＹＡＧ ｔｈｉｎ ｄｉｓｋ ｌａｓｅｒ．Ｈｉｇｈ Ｐｏｗｅｒ Ｌａｓｅｒ ａｎｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｂｅａｍｓ，２００６，１８（１０）；１６１５— １６】８） 维普资讯 http://www.cqvip.com ５６２ 强 激 光 与 粒 子 束 第２Ｏ卷 ［８３ Ｆａｎ Ｔ Ｙ．Ｈｅａｔ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｉｎ Ｎｄ：ＹＡＧ ａｎｄ Ｙｂ：ＹＡＧ．［Ｊ］．ＩＥＥＥＪ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｅｌｅｃｔｒｏｎ，１９９３，２６：１４５７—１４５９． ［９３姚震宇，蒋建锋，涂波，等．二极管泵浦Ｎｄ：ＹＡＧ薄片激光器技术研究［Ｊ］．强激光与粒子束，２００５，１７（Ｓ０）：１５—１８．（Ｙａｏ Ｚ Ｙ，Ｊｉａｎｇ Ｊ Ｆ，Ｔｕ Ｂ，ｅｔ ａ１．Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｄｉｏｄｅ—ｐｕｍｐｅｄ Ｎｄ：ＹＡＧ ｄｉｓｋ ｌａｓｅｒ．Ｈｉｇｈ Ｐｏｗｅｒ Ｌａｓｅｒ ａｎｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｂｅａｍｓ，２００５，１７（ＳＯ）：１５－１８） ［１ｏ３李维特，黄保海，毕仲波．热应力理论分析及应用［Ｍ］．北京：中国电力出版社，２００４．（Ｌｉ Ｗ Ｔ，Ｈｕａｎｇ Ｂ Ｈ，Ｂｉ Ｚ Ｂ Ｔｈｅｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｗｅｒ Ｐｒｅｓｓ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，２００４） ［Ｉ１３曹丁象，郑万国，贺少勃，等．片状热容激光器热效应有限元分析［Ｊ］．强激光与粒子束，２００６，１８（９）：１４１７—１４２２．（ＣａｏＤＸ，ＺｈｅｎｇＷＧ，Ｈｅ Ｓ Ｂ。ｅｔ ａ１．Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎｔｈｅｒｍａｌ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｈｅａｔ ｃａｐａｃｉｔｙｌａｓｅｒ ｄｉｓｋ．ＨｉｇｈＰｏ￣ｅｒＬａｓｅｒａｎｄＰａｒｔｉｃｌｅＢｅａｍｓ＇２００６，１８（９）：１４１７— １４２２） ［１２］李明海，柳爱国，宋耀祖．激光放大介质温度场和热应力场的数值模拟［Ｊ］．激光技术，２００２，２６（２）：８６—８９．（Ｌｉ Ｍ Ｈ，Ｌｉｕ Ａ Ｇ，Ｓｏｎｇ Ｙ Ｚ・Ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｅｍｐｅｒａｌｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｎｄ：ＹＡＧ ａｍｐｌｉｆｉｅｒｓ．Ｌａｓｅｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２，２６（２）：８６—８９） ｒ１３］Ｗｅｂｅｒ Ｒ，Ｎｅｕｅｎｓｃｈｗａｎｄｅｒ Ｂ，Ｍａｃ Ｄｏｎａｌｄ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ｃｏｏｌｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅｓ ｆｏｒ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｌｙ ｄｉｏｄｅ ｌａｓｅｒ－ｐｕｍｐｅｄ Ｎｄ：ＹＡＧ ｒｏｄｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｊ Ｑｕａｎｔ Ｅｌｅｃｔｒｏｎ，１９９８，３４（６）：１０４６－１０５３． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ３Ｄ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｆｏｒ Ｎｄ：ＹＡＧ ｓｑｕａｒｅ ｓｌｉｃｅ ｌａｓｅｒ Ｌ】Ｇａｎｇ ，ＦＥＮＧ Ｇｕｏ－ｙｉｎ￣ ，Ｌ】Ｗｅｉ ，ＹＡＮＧ Ｈｕｏ—ｍｕ ，ＨＵＡＮＧ Ｙｕ ，ＺＨＯＵ Ｓｈｏｕ—ｈｕａｎ ’ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００６４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏ—Ｏｐｔｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ，３－Ｄ ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｏｓ ａｎｄ ｓｔａｂｌｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉ— ｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓｑｕａｒｅ ｓｌｉｃｅ ｉｎ ｔｈｅ Ｎｄ：ＹＡＧ ｄｉｓｋ ｌａｓｅｒ ｕｎｄｅｒ ｓｕｐｅｒ－Ｇａｕｓｓｉａｎ ｐｕｍｐ ｌｉｇｈｔ ａｒｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｒｍａｌ ｂａｌａｎｃｅ ｄｉｆｆｅｒ— ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｒｍａｌ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｂｏｄｙ，３－Ｄ ｔｈｅｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ３－Ｄ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉ— ｂｕｔｉｏｎ ｗａｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ａｖｏｉｄｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒ－ｌａｒｇｅ ｓｐａｒｓｅｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ， ｔｈｕｓ ｏｃｃｕｐｉｅｓ ｌｅｓｓ ｒａｎｄｏｍ ｍｅｍｏｒｙ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｅｓ ｆａｓｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｆｉｎｉｔｅ－ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａ— ｌｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｎｄ：ＹＡＧ ｓｌｉｃｅ ａｒｅ ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｎｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： Ｓｌｉｃｅ ｌａｓｅｒ；Ｔｈｅｒｍａｌ ｃｏｎｄｕｃｔｉｖｉｔｙ Ｈｅａｔ－ｓｔｒｅｓｓ；Ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ
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