2021年两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

欧阳光明（2021.03.07）

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角

,

的三角函数值表示

的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换

或

言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 与 ,

的三角函数联系起来。

根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到 的三角函数。 因此 , 由和角公式容易得到对应的

, 即原角的余弦等于其

差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为

余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示

,

和

, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数

与

,

的三角函数值的等式。

值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系

1. 和角余弦公式

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 , 交 边交

于点 A, 终边交

,

由两点间距离公式得

中作单位圆 始边为

,

。

,

, 并作角 , 终边交

, 和

, 使角

的始边为 始边为

, 终

于点 B；角 于点 C；角

于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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；

。

注意到

, 因此

。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的

2. 差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

和

为任意角。

(方法2) 如图所示, 在坐标系 交

于点 C, 角

,

由两点间距离公式得

。

由余弦定理得

终边交

。

中作单位圆

终边交

, 并作角

和 , 使角

和

的始边均为

,

于点 A,角 于点。从而点 A, B的坐标为

。

从而有

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 和

的终边共线, 以及

大于

。

是三角形的内角。 因此, 还需要补充讨论角

的情形。容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。 在上边

的证明中 , 用余弦定理计算 的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。

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(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1. 和角正弦公式 (一)

(方法3) 如图所示,

,

,

为

的

边上的高 ,

为

边上的高。设

,

, 则。从而有

, , 。

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因此

, 。

注意到 从而有： 整理可得 ：

注记：在方法 3 中 , 用

和与底角

,

。

相关的三角函数, 从两个角度来表示

边上高

,

,

,

从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4) 如图所示,

, 则

为 。

的

边上的高 ,

为

边上的高。 设

,

注意到 , 则有,即。

从而有

。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

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(方法 5) 如图所示 ,

为

的

边上的高。 设

,

, 则有

,。 由正弦定理可得

,

其中 d为 由 从而有

。

2. 和角正弦公式 ( 二 )

方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角

,

放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为

的外接圆直径。

得

,

三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 6~11)。(方法 6) 如图所示 , 作

, 则

设

的, 外,

所以有注意到

, 从而接于D, 交 ,圆

直,

。

。

径

外接圆于 E, 连

。 为

d,

则

有。

,

和

。 设

,

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(方法 7) 如图所示 ,

, 则

,

为 。 设

,

。

又从而整理可得

。 。

的

边上的高 , , 则

,

,

为

边上的高。设

,

(方法 8) 如图所示 , 作

,,

所以

, 则 ,

于D, 过 D作

,设

,。 注意到

。

注记：我们用两种不同的方法计算

, 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方法来计算

, 则有

于 F, , 从而

。

于G。 设

, 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得

,

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,

从而有

。

方法 6,7 和 8 都是用角 希望的等式关系。

,

的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所

。注意到

, 从而可得

(方法 9 ) 如图所示 , 设 , 从而有

为

的

边上的高。 设

,

,

,

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

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(方法 10) 如图所示 , 设 则

, 从而

为

的外接圆直径d, 长度为d。 设

,

,

注记：这一证明用到了托勒密定理：若

和

是圆内接四边形的对角线 , 则有

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。

(方法 11) 如图所示 ,

。 设

为 , 则

的

边上的高。 设

,

, 则

方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角

,

相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联

系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。

3. 差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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(方法 12) 如图所示 ,则

,

。 设 , 从而有

, , 记 , 作 于 E,

(方法 13) 如图所示 ,

,

为 。 从而

的外接圆直径 , 长度为 d。设

,

, 则

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方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。 很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出现的角 任意角。 而其余方法中 , 角 和

,

是

则有一定的 , 它们都是三角形的内角 ( 甚至都是锐角 )。因此 ,

是任意角的情形。 具体而言 , 我们要证明：如

对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和 果公式对任意

容易验证 , 角 下面证明 , 角

和

和

成立 , 则对任意角也成立。

中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐标轴上的角 ), 我们的公式是成立的。

都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 , 我们的公式也成立。 不妨为第三象限角 , 从而有

设 为第二象限角 ,

从而

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同理可证, 公式对于象限角 公式推广到角 ,

和

的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 3~13 推导的

是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。 从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1) 明确推导证明的目标：构造联系 程 ；

(2) 简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ； (3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系 具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

和

三角函数与

或

的工

和

三角函数与

或

的等式或方

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