Southwest university of science and technology
原子物理与量子力学课程
复习要点
汇 编：张金亮
2012年5月26日
西南科技大学原子物理与量子力学课程复习要点
汇 编 说 明
原子物理与量子力学因其内容繁多、知识抽象而使不少学生感到学习起来特别吃力，尤其是在期末进行突击复习时，面对几百页的PPT更使我们不知所措，不知从哪里入手。因此，为了大家便于复习、提高复习效率、加强复习的针对性，在期末考试中能够取得一个较好的成绩，特汇编本书（文）。
本书（文）以吴凤娟老师的PPT为蓝本，针对每章的复习要点进行了提炼总结。在排版上，按照“一点一答”、节约金钱、节约资源的原则进行排版；在内容上，主要参照了PPT上的内容，但对于某些难以在PPT上总结出来的要点查阅了一些相关文献。此外，对于某些难以理解的要点添加了一些必要的注释。本书（文）除了第八章之外均没有汇编例题、课后作业题。
本书（文）基本涵盖了期末考试试卷中的填空、名词解释、简答题，对于计算题请重点参考PPT。希望本书（文）能为大家在期末考试中取得较好成绩尽一份绵薄之力。
本书（文）汇编历时近两周，在汇编过程中，得到了辐射10级的姚付良、朱子龙等同学的大力支持，在此衷心向他们表示感谢。
由于本人学业不精、经验不足，在汇编过程中难免存在一些不妥和疏漏之处，恳请大家发现问题时能够及时提出，以免因此而贻误大家。
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西南科技大学原子物理与量子力学课程复习要点
目 录
第一章 经典物理面临的困难 .............................................................................................................................................. - 1 -
1、两朵乌云 .................................................................................................................................................................... - 1 - 2、黑体 ............................................................................................................................................................................ - 1 - 3、光电效应 .................................................................................................................................................................... - 1 - 4、康普顿散射 ................................................................................................................................................................ - 1 - 5、汤姆逊模型 ................................................................................................................................................................ - 2 - 6、卢瑟福核式结构模型 ................................................................................................................................................ - 2 - 7、卢瑟福模型的三个困难 ............................................................................................................................................ - 2 - 8、普朗克量子假说 ........................................................................................................................................................ - 2 - 第二章 玻尔的旧量子论 ...................................................................................................................................................... - 2 -
1、波数 ............................................................................................................................................................................ - 2 - 2、氢原子光谱包括的线系 ............................................................................................................................................ - 2 - 3、氢原子光谱项 ............................................................................................................................................................ - 2 - 4、能级和半径公式 ........................................................................................................................................................ - 2 - 5、广义巴耳末公式 ........................................................................................................................................................ - 3 - 6、电离能 ........................................................................................................................................................................ - 3 - 7、玻尔氢原子理论的三个假设 .................................................................................................................................... - 3 - 8、对应原理 .................................................................................................................................................................... - 3 - 9、类氢离子 .................................................................................................................................................................... - 3 - 10、碱金属原子的四个谱线系 ...................................................................................................................................... - 3 - 11、原子实 ...................................................................................................................................................................... - 3 - 12、原子实极化 .............................................................................................................................................................. - 3 - 13、轨道贯穿 .................................................................................................................................................................. - 3 - 14、玻尔理论的两类实验验证包括 .............................................................................................................................. - 3 - 15、夫兰克-赫兹实验证明了什么 ................................................................................................................................. - 4 - 16、索莫菲对玻尔氢原子理论做了哪两方面的推广 ................................................................................................... - 4 - 17、玻尔理论的局限性 .................................................................................................................................................. - 4 - 第三章 薛定谔方程的建立 .................................................................................................................................................. - 4 -
1、波粒二象性 ................................................................................................................................................................ - 4 - 2、爱因斯坦关系：E=mc2 .............................................................................................................................................. - 4 - 3、德布罗意关系 ............................................................................................................................................................ - 4 - 4、德布罗意波实验验证 ................................................................................................................................................ - 4 - 5、波函数 ........................................................................................................................................................................ - 4 - 6、波函数的统计解释 .................................................................................................................................................... - 5 - 7、波函数的三个标准条件 ............................................................................................................................................ - 5 - 8、自由粒子的波函数形式 ............................................................................................................................................ - 5 - 9、态的叠加原理 ............................................................................................................................................................ - 5 - 10、证明光具有波动性的实验 ...................................................................................................................................... - 5 - 11、证明光具有粒子性的实验 ...................................................................................................................................... - 5 - 12、自由粒子的薛定谔方程的形式 .............................................................................................................................. - 5 - 13、粒子数守恒定律的物理意义 .................................................................................................................................. - 5 - 14、定态 .......................................................................................................................................................................... - 5 -
II
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15、定态所具有的特征 .................................................................................................................................................. - 5 - 16、隧道效应 .................................................................................................................................................................. - 6 - 17、宇称 .......................................................................................................................................................................... - 6 - 18、一维无限深势阱求解能量本征值和波函数........................................................................................................... - 6 - 第四章 力学量用厄米算符表达 .......................................................................................................................................... - 7 -
1、不确定度关系 ............................................................................................................................................................ - 7 -
2、与的共同本征态和本征值 ................................................................................................................................ - 7 - 3、波函数的内积 ............................................................................................................................................................ - 7 - 4、简并态 ........................................................................................................................................................................ - 7 - 5、坐标和动量对易关系 ................................................................................................................................................ - 7 - 6、角动量与坐标对易关系 ............................................................................................................................................ - 7 - 7、角动量分量之间的对易关系 .................................................................................................................................... - 7 - 8、角动量平方算符与角动量分量的对易关系 ............................................................................................................. - 7 - 9、能量算符（哈密顿算符） ........................................................................................................................................ - 8 - 10、动量算符：；角动量算符 ............................................................................................................................ - 8 - 11、坐标算符 .................................................................................................................................................................. - 8 - 12、共同本征态 .............................................................................................................................................................. - 8 - 13、厄米算符 .................................................................................................................................................................. - 8 - 14、两个算符对易 .......................................................................................................................................................... - 8 - 15、算符反对易 .............................................................................................................................................................. - 8 - 16、力学量的平均值 ...................................................................................................................................................... - 8 - 第五章 力学量随时间的演化与对称性 .............................................................................................................................. - 9 -
1、力学量完全集 ............................................................................................................................................................ - 9 - 2、守恒量 ........................................................................................................................................................................ - 9 - 3、守恒量的两个重要性质 ............................................................................................................................................ - 9 - 4、好量子数 .................................................................................................................................................................... - 9 - 5、全同粒子 .................................................................................................................................................................... - 9 - 6、全同性原理 ................................................................................................................................................................ - 9 - 7、全同粒子波函数满足的关系 .................................................................................................................................... - 9 - 8、全同粒子的分类 ........................................................................................................................................................ - 9 - 9、玻色子 ........................................................................................................................................................................ - 9 - 10、玻色-爱因斯坦统计 ................................................................................................................................................. - 9 - 11、费米子、费米-狄拉克统计 ................................................................................................................................... - 10 - 12、全同粒子的特点 .................................................................................................................................................... - 10 - 13、哈密顿的交换对称性 ............................................................................................................................................ - 10 - 14、交换算符的本征值 ................................................................................................................................................ - 10 - 15、对称性 .................................................................................................................................................................... - 10 - 16、守恒量和对称性关系 ............................................................................................................................................ - 10 - 17、泡利不相容原理 .................................................................................................................................................... - 10 - 18、多个玻色子或费米子构成体系的归一化波函数 ................................................................................................. - 10 - 第六章 中心力场 ................................................................................................................................................................ - 11 -
1、
共同本征函数 .......................................................................................................................................... - 11 -
2、主量子数n取值范围 .............................................................................................................................................. - 11 - 3、角量子数l取值范围 ............................................................................................................................................... - 11 -
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4、磁量子数m取值范围 ............................................................................................................................................. - 11 - 5、氢原子能级简并度 .................................................................................................................................................. - 12 - 第七章 电磁场中粒子的运动 ............................................................................................................................................ - 12 -
1、正常塞曼效应 .......................................................................................................................................................... - 12 - 2、反常塞曼效应 .......................................................................................................................................................... - 12 - 第八章 矩阵力学简介 ........................................................................................................................................................ - 12 -
1、表象 .......................................................................................................................................................................... - 12 - 2、任意量子态在某一力学量本征态下的展开和展开系数 ....................................................................................... - 12 - 3、力学量在自身表象中的矩阵表示 .......................................................................................................................... - 12 - 4、本章课堂例题 .......................................................................................................................................................... - 12 - 5、课后习题 .................................................................................................................................................................. - 16 - 第九章 常用的近似方法 .................................................................................................................................................... - 20 -
1、微扰理论方法的基本思想 ...................................................................................................................................... - 20 - 2、使用定态微扰论时对哈密顿量的要求................................................................................................................... - 20 - 第十章电子自旋 .................................................................................................................................................................... - 20 -
1、斯特恩-盖拉赫实验证明了什么 ............................................................................................................................. - 20 - 2、电子自旋的两个假设 .............................................................................................................................................. - 21 - 3、电子自旋和轨道角动量不同点 .............................................................................................................................. - 21 - 4、自旋算符的本征值和自旋量子数 .......................................................................................................................... - 21 - 5、电子自旋态波函数 .................................................................................................................................................. - 21 - 6、泡利算符的对易和反对易关系 .............................................................................................................................. - 21 - 7、在表象中，矩阵表示和的本征函数。 ....................................................................................... - 21 - 第十一章 多电子原子 ........................................................................................................................................................ - 21 -
1、电子组态： .............................................................................................................................................................. - 21 - 2、泡利不相容原理 ...................................................................................................................................................... - 22 - 3、同科电子 .................................................................................................................................................................. - 22 - 4、洪特定则 .................................................................................................................................................................. - 22 - 5、朗德间隔定则 .......................................................................................................................................................... - 22 - 6、原子态的表示方式（貌似就是原子基态确定的基本方法） ............................................................................... - 22 - 7、体系宇称两种判断方法 .......................................................................................................................................... - 22 - 附1 量子力学基本原理 附2 组合常数 ................................................................................. - 22 -
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第一章 经典物理面临的困难
1、两朵乌云
以太漂移、紫外灾难 2、黑体
在任何温度下都能全部吸收落在它上面的一切辐射的理想吸收体。对于黑体(υ)=1。黑体光谱辐射出射度是各种材料中最大的，只与频率和温度有关。 3、光电效应
（1）实验现象 19世纪末，发现只要照射到金属球上的光束的频率足够高，金属中的一些电子吸收了光的能量就能逸出金属表面。 光电效应：由于光照射，使电子从金属表面逸出的现象。 阴极一般为活跃金属，阳极和阴极之间加有一定电压。光入射时，阴极发出光电子，在电场作用下向阳极运动，阳极收集光电子后形成光电流，电流大小反映了光电子数目，进一步反映入射光强度。 （2）实验规律
1）每种金属材料电极具有确定的临界频率。 当照射光的频率时，无论光强度多大，不会观察到光电子从电极逸出。 2）从金属表面逸出的电子动能（能量）只与光的频率有关，并成线性关系，与光强无关。电子跑出金属表面获得的能量称为逸出功。
电子跑出金属表面获得的能量称为逸出功。
3）饱和光电流（光电子数目）与入射光强度成正比。
4）光电效应是瞬时效应。当时，不管光多微弱，只要照射金属表面，立刻就能观测到光电子。 （3）经典电磁波理论的缺陷
①不应出现临界频率。②无法解释光电效应的产生是瞬时的。 （4）爱因斯坦的光量子理论
光量子（光子）的基本概念：光不仅是电磁波，而且还是粒子。电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量hυ微粒形式进行，且以微粒形式在空间以光速c传播，这种粒子叫光量子(光子)。
光子能量为
。由相对论公式，光子动量为
（5）光电效应解释：当光照射到金属表面时，能量为hυ的光子被电子所吸收，电子将一部分能量用来克服金属表面对它的吸引，另一部分能量就是电子离开金属表面时的动能。能量关系为 1）光强大，光子数多，释放光电子多，光电流也大。
2）一个电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，瞬时发生。 3）光电子的最大动能与频率成线性关系。
4）光电子的产生决定于临界频率υ0。当υ<υ0，没光电子产生。 （6）光的本质——波粒二象性 4、康普顿散射
（1）实验现象：1923年，X光散射散射光中除了和入射光波长λ0相同的射线之外，还出现了波长大于λ0的新的射线。大于λ0新射线称为康普顿散射。
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（2）定性分析：康普顿认为：散射现象看成光子与自由电子弹性碰撞。 5、汤姆逊模型
正电荷均匀分布在整个原子球体内，而电子均匀地嵌入其中。
α粒子散射实验：利用放射性元素发出的高速α粒子轰击原子，观察散射后α粒子的空间分布，通过原子对α粒子的作用情况，可得出原子的结构特点。 6、卢瑟福核式结构模型
原子中的正电荷集中在原子的“中心”，称为原子核，而带负电的电子在库仑力的作用下绕原子核运动。
①绝大部分α粒子并不能瞄准原子核入射，从原子核周围穿过，受作用力不大，偏转很小；②少数α粒子有可能从原子核附近通过，r较小，受作用力较大，会有较大偏转；③极少数α粒子正对原子核入射，r很小，受作用力很大，就有可能反弹回来。 7、卢瑟福模型的三个困难
原子的稳定性、原子的同一性、原子的再生性 8、普朗克量子假说
假定电磁波的发射和吸收不是连续的，而是一份一份的进行的，这样的一份能量叫做能量子。等于hυ,υ为辐射电磁波的频率。
第二章 玻尔的旧量子论
1、波数
单位长度内所包含的完整波形数目。2、氢原子光谱包括的线系
紫外——莱曼系，可见光——巴耳末系，红外区——帕邢系、布喇开系、普丰特系 3、氢原子光谱项
（m=1,2,3……）
4、能级和半径公式
n=1： 基态
n>1： 激发态 n ： 电离态
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第n级轨道半径：5、广义巴耳末公式
每一谱线的波数都可以表达为二光谱项之差（里兹合并原理）
6、电离能
把氢原子基态的电子移到无穷远时所需要能量
7、玻尔氢原子理论的三个假设
定态假设、能级跃迁假设、角动量量子化假设 8、对应原理
在微观范围内的现象与宏观范围的现象可以各自遵从本范围的规律，但当把微观范围内的规律拓展到宏观范围内
的经典规律时，则它们得到的数值结果应当一致。 9、类氢离子：原子核外只有一个电子的离子。
（1）类氢离子光谱：毕克林系谱线比氢多，每隔一条谱线和巴耳末系谱线差不多重合，巴耳末系两邻近线之间也有谱线。玻尔郑重指出：毕克林系不是氢发出的，而是属于He+。 （2）波尔理论解释类氢离子光谱
m、n和Z分别都是整数，但比值m/Z和n/Z
不一定是整数。这正是类氢离子光谱与氢光谱的一个主要差别。里德伯常量10、碱金属原子的四个谱线系
主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系）。 11、原子实：原子核和核外满壳层的电子组成一个稳固的结构 12、原子实极化
原子实是一个球形对称的结构，价电子接近原子实时，原子实的正电荷吸引负电荷，致使原子实的正负电荷中心发生微小的相对位移而不再重合，形成一个电偶极子。电偶极子的电场反过来作用价电子，使其感受到原子实电场和原子实极化产生的偶极矩的共同作用，价电子的能量降低了。 13、轨道贯穿
价电子在偏心率较大的轨道上运动，其部分轨道可能会穿入原子实。对价电子起作用的Z*大于1。 14、玻尔理论的两类实验验证包括
波尔理论的光谱实验验证、夫兰克-赫兹实验
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15、夫兰克-赫兹实验证明了什么
原子内部能级的量子化，原子能量不是连续变化，是由分立的能级组成。 16、索莫菲对玻尔氢原子理论做了哪两方面的推广 圆形轨道推广到椭圆轨道、引入了相对论修正 17、玻尔理论的局限性
玻尔理论是半经典半量子化理论，适用于氢原子和类氢原子以及可以推广到碱金属元素，但不能计算氢原子谱线的强度
第三章 薛定谔方程的建立
1、波粒二象性
光的能量与频率以及动量与波长的关系表示为：2、爱因斯坦关系：E=mc2 3、德布罗意关系
一切实物粒子都具有波动性，与粒子相联系的物质波的波长表示为： 4、德布罗意波实验验证
实验原理和装置：电子被多晶的金属表面散射电子束受晶格原子散射后，各原子散射的电子波相互干涉，合成电子散射波的强度角分布受到调制，形成衍射。（θ表示在晶体上方电子入射方向和散射方向之间的夹角）
实验结果：电子在镍晶体上的衍射实验测量的波长结果和德布罗意关系计算的波长数值符合得非常好。证明电子的波动性假设正确。 5、波函数
（1）如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，粒子动量和能量不是常量，粒子的状态不能用平面波描写，须用较复杂的波描写。根据玻恩波函数概率解释，粒子状态由波函数幅，而|
描写，它表示在t时刻出现在r处粒子的概率波
θ
|2表示在t时刻、位置r处粒子出现的概率密度。
（2）性质
1）归一化条件：粒子在空间各点出现的总概率应该等于1，
2）归一化函数：利用归一化条件，任意波函数模方在全空间积分为一个实常数
，和
- 4 -
相差一个常数因子，代表同一个概率波。
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对波函数进行归一化的方法：未归一化波函数的模平方在全空间积分，得到一个实常数，将原波函数写成
，就得到归一化波函数。
3）波函数假设——量子力学中第一个基本原理
微观体系的状态可由波函数完全描述，由波函数出发可以得出体系所有性质。 6、波函数的统计解释
衍射实验结果：电子波动性是许多电子在同一个实验中运动的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中运动的统计结果，衍射花样由电子出现的概率分布决定。波函数是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，玻恩提出了波函数的统计解释——概率波。 7、波函数的三个标准条件 有界性、连续性、单值性 8、自由粒子的波函数形式
改
9、态的叠加原理
若ψ1、ψ2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态态又可能处于ψ2态，处于这两个态的概率分别为等于|C1|2|C2|2 10、证明光具有波动性的实验 光的干涉、衍射和偏振 11、证明光具有粒子性的实验 光电效应、康普顿效应和黑体辐射 12、自由粒子的薛定谔方程的形式
表示粒子既可能处于ψ1
分析：（能量算符） （动量算符）
13、粒子数守恒定律的物理意义
在一个封闭的闭区域中找到粒子的总概率在单位时间内的增量等于从该封闭面积表面流入该区域内的粒子概率。 14、定态
对不显含时间的势函数情况下，求解能量的本征方程，得到体系的波函数为态。
15、定态所具有的特征
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所描述的状
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（1）粒子的概率密度和粒子的概率流密度不随时间变化； （2）任何不显含时间的力学量的平均值不随时间变化；
（3）任何不显含时间的力学量测量值概率分布不随时间变化。 16、隧道效应
粒子穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。隧道效应是量子力学中特有物理现象，是微观粒子波动性的表现，在经典物理不可能发生。 17、宇称
描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数。
波函数具有确定奇偶性称为体系具有确定宇称。奇函数对应的是奇宇称，偶函数对应的是偶宇称。 18、一维无限深势阱求解能量本征值和波函数
（1）能量本征值：（n=1,2,3…）粒子束缚在势阱中，能量是量子化的，为离散值，称能量本征值，
，基态能量；n=2,3,4,…,相应的状态分别叫第一激发态、第
每一个值对应一个能级，n称为量子数。n=1，二激发态、第三激发态。 （2）波函数
1）在阱内：（0≤x≤a）；在阱外：
（x<0，x>a）
2）波函数连续性决定的边界条件为
3）波函数有界性要求，粒子无法穿过无限深的势阱，阱外的解
4）
5）把k=nπ/a代入得 ，n=1,2,3，…
6）波函数
7）一维无限深方势阱中运动粒子的波函数：
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归一化条件：
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第四章 力学量用厄米算符表达
1、不确定度关系
任意力学量A、B在任意
态下的涨落，称为不确定度关系。
2、与的共同本征态和本征值
若，可找出与任一角动量分量共同本征函数。 ，因
不含极角坐标θ。本征值：
，
本征函数可以同时取本征态 3、波函数的内积
量子体系任意两个波函数ψ与ϕ内积定义为4、简并态
，其中
指对全空间积分，是积分体积微元。
求解量子力学体系本征值问题时，力学量同一个本征值有多个不同本征态（波函数），体系处于这样状态称为简并态。
5、坐标和动量对易关系
动量和坐标算符各分量之间彼此对易 6、角动量与坐标对易关系
7、角动量分量之间的对易关系
8、角动量平方算符与角动量分量的对易关系
角动量平方算符与角动量任何一个分量算符都是对易的。
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9、能量算符（哈密顿算符）
10、动量算符：
；角动量算符
11、坐标算符（课件上没有直接显示，cnki学术百科上的解释，貌似不完整）
描述量子力学中力学量的运算符号.在量子力学中,当微观粒子处于某一状态时,如坐标算符r^、在直角坐标系中动量算符为P^.当粒子的状态用波函数Ψ（r，t）描写时，坐标算符r^对波函数的作用就是r乘Ψ（r，t） 12、共同本征态
若量子体系中的两个力学量A、B对应的算符彼此对易，即具有共同本征态。结论：当在数。
13、厄米算符
（1）厄米算符也称为自共轭算符，满足以下关系：（2）推论1：
推论2：
即
，则它们同时具有确定值（或涨落等于0），
态中测量力学量A 和B 时，如果同时具有确定值，那么必是二力学量共同本征函
（3）性质定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。 逆定理：在任何状态下，平均值为实数的算符必为厄米算符。
（4）本征态（貌似这个没有要求）：体系只有处于某些特殊状态，测量力学量A 所得结果才是完全确定的，即涨落
是分立值，记为，相应本征函数本征函数正交。 14、两个算符对易
15、算符反对易
右面是几个常见的对易式满足的恒等式 16、力学量的平均值
- 8 -
，这种状态称为力学量A 本征态。算符本征方程为 ，本征值一般
。定理：体系本征态下厄米算符本征值必为实数；本征态下厄米算符不同本征值
，
，
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量子力学中，任意状态
下，力学量
平均值定义为
，若
是本征态，则力学量
平均值是在
态下本征值。量子力学中算符是厄米算符，因此，其本征值必为实数。
第五章 力学量随时间的演化与对称性
1、力学量完全集
设有一组彼此独立而又相互对易厄米算符 就能够确定体系的一个可能状态，则称2、守恒量
，共同本征函数记为
。n代表一组量子数。给定n之后
构成体系的一组力学量完全集。
力学量既不显含时间，即3、守恒量的两个重要性质
(1)在任何态
(2)在任何态4、好量子数
，而且。
下，平均值不随时间变化。
下，测量值的概率分布不随时间变化。
本征态对应的量子数称为好量子数 5、全同粒子
在量子力学中，固有性质如电荷、质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相同的粒子。 6、全同性原理
由于微观粒子的不可区分性，交换全同粒子体系中任意两个粒子，应当对应相同的物理状态。
解释说明：①相同物理状态，指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，但全同性原理强调的是微观态；②交换任意两个粒子：指在描述全同粒子体系状态的波函数中，交换任意两个粒子的全部坐标（包括自旋……）。 7、全同粒子波函数满足的关系
全同粒子体系的波函数必须满足下列关系之一：
—交换对称，对称化波函数—交换反对称，反对称波函数
8、全同粒子的分类
玻色子、费米子 9、玻色子
自旋为整数倍的粒子。由这些粒子组成的全同粒子体系，其波函数是交换对称的。 10、玻色-爱因斯坦统计
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由玻色子组成的体系服从玻色-爱因斯坦统计 11、费米子、费米-狄拉克统计
费米子：自旋为奇数倍的粒子。由这些粒子组成的全同粒子体系，其波函数是交换反对称的。 费米-狄拉克统计：由费米子组成的体系服从费米-狄拉克统计 费米子、玻色子性质（貌似没有要求）：奇数个费米子组成的粒子仍为费米子，由偶数个费米子或玻色子组成的粒子均为玻色子 12、全同粒子的特点
在同样的物理条件下，行为完全相同。
用一个全同粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化，故全同粒子在本质上是不可分辨的。 不能编号，交换任意两粒子不影响体系的性质。 13、哈密顿的交换对称性
是指交换任意两个粒子（i、j）的全部坐标，体系的哈密顿算符保持不变。 14、交换算符的本征值：C=
交换算符
（貌似没有要求）：表示
15、对称性
是指体系的哈密顿量在某种变换下保持不变。 16、守恒量和对称性关系
在连续变换下，每一种变换不变性，都对应一种守恒律，意味着存在某种不可观测量。
时间的均匀性 能量守恒
空间的均匀性 动量守恒
空间的各向同性角 动量守恒
17、泡利不相容原理
在全同费米子体系中，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一个单粒子态中。 18、多个玻色子或费米子构成体系的归一化波函数 （1）N个全同玻色子体系
如体系哈密顿量不显含时间，具有时间平移不变性，对应体系的能量守恒，意味着时间原点不可观测。 自由粒子，哈密顿沿空间任意方向作平移均保持不变性，所以空间平移不变性，对应动量守恒，意味着空间的绝对位置不可观测。
自由粒子及在中心立场中哈密顿在空间旋转变换下保持不变，对应角动量守恒，意味着空间的绝对方向不可观测。
i、j
粒子的交换运算，即
代表全同粒子体系的任意态函数。
一共有N个粒子，其中，设有个玻色子处于态上（i=1,2, …N），。对称多体波函数可以表示
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代表只对处于不同单粒子态上粒子进行对换而构成的置换。N个粒子分别排列在N个单粒子态上的排列数：N！。
其中， 种置换不产生新的状态，产生新状态的置换一共有。（本段内容貌似不要求，只是
助于理解）
归一化（对称）波函数为：
（2）N个全同费米子体系
对于N个无相互作用的全同费米子体系，波函数是反对称，处于不同的单粒子态
，反对称波函数为：
任意两粒子的交换等价于行列式中任意两列的交换，使行列式符号改变，故波函数反对称。
第六章 中心力场
1、共同本征函数
共同本征态
。相对运动的波函数
表示成径向部分与角度部分的乘
中心力场中，取力学量完全集积
2、主量子数n取值范围
n=1，2，3，… 3、角量子数l取值范围
4、磁量子数m取值范围
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5、氢原子能级简并度：
第七章 电磁场中粒子的运动
1、正常塞曼效应
在强磁场中，原子光谱发生分裂（一般为三条）的现象。 2、反常塞曼效应
在弱磁场中，轨道和自旋的相互耦合作用不能忽略时，原子光谱发生分裂的现象。
第八章 矩阵力学简介
1、表象
波函数（或态函数，简称态）和力学量算符的不同表示形式。 常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。 2、任意量子态在某一力学量本征态下的展开和展开系数 （1）量子态按力学量本征函数展开
依态叠加原理，任意态可看成希尔伯特空间一个“矢量”。体系力学量F对应算符，其正交归一本征函数系
这组基矢量构成的“坐标系”称为F表象。
将任意波函数
按力学量F本征函数完全系，
展开系数： 掌握了数集
，就可以完全确定。数集
是
与各基矢
内积
）由任意态
决定。因
是完备的。
展开
，简记：
，
， 系数（
称做波函数在表象F中的表示。
所描述的状态时，力学量F具有确定值的概率为
，具有与波函
物理意义：当体系处在以
数
统计解释相同的概率解释。
3、力学量在自身表象中的矩阵表示
任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵。其中对角元为该力学量的本征值。如力学量矩阵是非对角矩阵，则不是在自身表象中表示。 4、本章课堂例题
例1：一维无限深势阱中粒子基态波函数在动量表象中表示。 解：一维无限深势阱中粒子基态波函数
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依据公式
例2：求一维谐振子坐标x、动量p 以及哈密顿量H 在能量表象中的表示。
解：利用一维谐振子能量本征函数的递推关系
在能量表象中，x矩阵元表示，m、n由0开始取值，
在能量表象中，动量矩阵元表示，m、n由0开始取值，
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在能量表象中，能量矩阵元表示，m、n由0开始取值，
任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵。其中对角元为该力学量的本征值。 例3：求在动量表象中角动量的矩阵元。
解：（1）由于
，所以算符本征值是
。在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，对角元为本征值
设在A表象中算符的矩阵是 ，
利用，得， 即 得 。
由于， 得 。
由于是厄米算符，故，
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得到，进一步得。所以算符在A表象中矩阵是，
θ为任意实数，最简单的情况可以选θ﹦0。
（2）在A表象中，算符的本征值和本征函数，可以由本征值方程得出，即 得到
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5、课后习题
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第九章 常用的近似方法
1、微扰理论方法的基本思想
从通常难以精确求解的哈密顿量中，划分出其中数值较小的部分本征值问题应能精确求解；然后，以
，即有
，划出
后剩下
的的影
相应算符的本征态和本征值为基础和出发点，以逐级近似的方法考虑
响，给出的本征态和本征值的逐级近似解（或叫微扰修正），直至达到需要的精度为止。 2、使用定态微扰论时对哈密顿量的要求 一方面要求哈密顿算符可以分为两部分，即另一方面要求
，同时
的本征值和本征函数已知或者容易精确求解；很小，
，以保证微扰计算收敛很快。
把的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰项
第十章电子自旋
1、斯特恩-盖拉赫实验证明了什么
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电子自旋的存在和角动量的空间量子化 2、电子自旋的两个假设
（1）每个电子除了绕核旋转以外(轨道运动)，还存在绕其自身轴线旋转的自旋运动，并且有角动量，在空间任何方向的投影只能取两个值，即 （2）每个电子都具有自旋磁矩3、电子自旋和轨道角动量不同点
电子自旋值为，而不是的整数倍；电子“轨道”角动量的z 分量 二者回转磁比率不同
自旋运动：
4、自旋算符的本征值和自旋量子数
“轨道”运动：
。
，它在空间任何方向（比如z 方向）的投影为：
自旋算符的本征值为5、电子自旋态波函数
，自旋量子数
自旋波函数一般形式：
归一化条件： 6、泡利算符的对易和反对易关系
泡利算符对易关系： 反对易关系： 7、在
表象中，
矩阵表示和
的本征函数。
矩阵表示：
属于本征值、的本征函数。且二者彼此正交
第十一章 多电子原子
1、电子组态：
原子中价电子所处的各种状态统称为电子组态。
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2、泡利不相容原理
在一个原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数（状态只能容纳一个电子。 3、同科电子
在同一原子中，n和两个量子数都相同的电子。显然对于同科电子，其因此具有相同值的同科电子形成的原子态比非同科电子形成的原子态少。 4、洪特定则
对于一个给定的电子组态形成的一组原子态，当某原子态具有的S最大时，它处的能级位置最低；对同一个S，又以L值大的能级位置最低。 5、朗德间隔定则
在三重态中，一对相邻能级之间的间隔与两个J值中较大的那个值成正比。 6、原子态的表示方式（貌似就是原子基态确定的基本方法）
定义（貌似没有要求，帮助大家理解）：原子态atomic states指电子在核外运动的波函数满足定态薛定谔方程，即呈不随时间变化的稳定的状态。 （1）写出原子的核外电子排布式；
（2）把所有同科电子按照泡利原理和能量最低原理的要求填入各个子轨道中。 （3）具有不同的其总角动量量子数
和
数值的同科电子，分别求出其代数和，得到
，确定原子态项表达式。
和
，再用L—S耦合得到
和
中至少有一个量子数不能相同，
）。即，原子中的每一个
（4）最后根据洪特定则、洪特定则附则、朗德间隔定则判断出原子的基态谱项。 7、体系宇称两种判断方法
（1）根据波函数的奇偶性进行判断，奇（偶）性波函数描述的体系其空间为奇（偶）宇称；
（2）由原子中各电子的轨道角量子数值之和的奇偶特性判断。
附1 量子力学基本原理 附2 组合常数
1、波函数假设； 2、波动方程假设； 3、力学量算符； 4、力学量取值； 5、全同性原理
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