二_次_函_数_错_解_例_析

江苏 朱元生

有关二次函数问题,历来就是中考的重要考点.有些问题看似不难,但若数学概念模糊,掌握知识不够全面,或粗心大意忽视隐含条件,或考虑问题不周密,加上思维定势的影响,就会形成错误的判断,产生错误的理解,导致错误的结论.现略举几例加以剖析:

例1 已知关于x的函数y(m3)x(m2)x21m的图象与x轴总有交点,试求4m的取值范围.

1mm4＞0, 解得m＞4 4又m+3≠0，即m3，故m的取值范围为：m＞4且 m3.

剖析 错解看似天衣无缝,思考严密.但函数图象与x轴有交点,并没有指明有几个交点,

错解 由题意得, △=[(m2)]4(m3)2有一个交点或有两个交点都符合题意;并且未指明是二次函数还是一次函数,错解正是由于忽视了这些问题导致错误.事实上①当m4，△=0，抛物线与x轴有一个交点;②当

m3时,函数为一次函数yx3与x轴也有一个交点，从而正确答案应为:m≥4. 4例2 试求函数y(k1)x22kxk的图象与坐标轴的交点坐标.

错解 令(k1)x22kxk0，解得xkk；令x=0，得到y=k k1所以函数图象与坐标轴的交点坐标为(kkkk,0),(,0)和（0，k） k1k1剖析 求函数图象与坐标轴的交点坐标，而函数自变量的系数又是含有字母的代数式

时，一要讨论系数，由于系数的不同可能得到不同类型的函数;二要对二次函数的判别式加以讨论，而错解由于受思维定势的影响，误以为该函数一定是二次函数，且与x轴有两不同交点，思考问题不周密，忽视了分类讨论，以偏概全，挂一漏万，导致错误.正确解答应为：

⑴当k=1时，函数为y2x1，这时直线与坐标轴的交点坐标为：（0，1）和(,0) ⑵当k≠1时，△=(2k)4(k1)k4k

若k＜0，则△＜0，此时抛物线与x轴无交点，但与y轴交点为（0，k）

若k= 0，函数为yx，此时抛物线与坐标轴的交点坐标为：（0，0）

若k＞0,且k≠1时,则△＞0,此时抛物线与坐标轴的交点坐标为：

2212(kkkk,0),(,0)和（0，k）. k1k1例3 x1，x2是关于x的方程

12x(m1)xm2m0的两实数根，设422Sx1x2，当m为何值时S有最小值，最小值是多少？

错解 由根与系数的关系可得x1x24(m1)，x1x24(m2m)，从而

Sx1x2(x1x2)22x1x24m18(m2m)8m224m16222338(m)22， 所以当m时，S有最小值，最小值为2.

22剖析 很明显，Sx1x2的值不能为负，这是由于忽视了参数m的取值范围致错.

2212x(m1)xm2m0有两个实数根，所以判别式 412322△=m14(mm)m1≥0 解得m≥1，二次函数S8(m)2423的图象开口向上，对称轴为x，在对称轴右侧,函数随自变量m的增大而增大，

2故正确答案应为当m=1时，S取得最小值，最小值为S=0.

因为方程

从以上几例可以看出，在解二次函数问题时一定要慎重，认真审题、仔细分析、周密思考，充分挖掘隐含条件，切忌因思维定势而导致错解.同时这样做，也有利于同学们思维品质的培养，提高同学们分析问题、解决问题的能力.

下面还有几道练习题,同学们不妨试一试:

1.已知关于x的函数y(m1)x22mxm2的图象与x轴总有交点,试求m的取值范围.

2.试求函数y(k1)x3kx2k1的图象与坐标轴的交点坐标.

3. 已知抛物线yx2(k1)x3k2与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x217，求k的值。 参考答案:

1.m2;

2.(1)当k1时,交点坐标为(0,-3)和(1,0);

2(2)当k1时,△=(k2)0

222当k2时,△=0,交点坐标为(1,0)和(0,3); 当k1且k2时,△＞0,交点坐标为(3.k2.

2k1,0),(1,0)和(0,2k1); k1