专题12 代数综合问题-决胜2018中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

一、选择题

1．（2017四川省乐山市，第9题，3分）已知二次函数yx2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ） A．

2333 B．2 C． 或2 D．或2 222【答案】D．

【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．

点睛：本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 考点：二次函数的最值；最值问题；分类讨论；综合题． 2．（2017四川省宜宾市，第8题，3分）如图，抛物线y11(x1)21与y2a(x4)23交于点A（1，23），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B．C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论： ①a=

2；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1y2.其中正确结论的个数是（ ） 3

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B．

【分析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案． 【解析】∵抛物线y1故①正确；

∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误； 当y=3时，3=

122

（1，3），∴3=a（1﹣4）﹣3，解得：a=，(x1)21与y2a(x4)23交于点A

231，D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=22，(x1)21，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3）

2∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确； ∵

12(x1)21=(x4)23时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误． 23故选B．

点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值． 考点：二次函数的性质；二次函数的图象；等腰直角三角形；综合题．

3．（2017四川省泸州市，第10题，3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2txt2t40的

两实数根，则(m2)(n2)的最小值是（ ） A．7 B．11 C．12 D．16 【答案】D．

22n2)【分析】利用根与系数的关系可知：m+n=2t，mn=t2t4，则(m2)(=mn2(mn)4

=t2t422t4，此题还需考虑有实数根时t的取值范围，所以利用根的判别式求出t的取值范围，再利用二次函数的性质综合考虑求最小值则可．

【解析】∵△=（2t）2﹣4（t2t4）≥0，∴t≥2，又∵m+n=2t，mn=t2t4，∴

2222(m2)(n2)=mn2(mn)4 =t22t422t4=t22t8=(t1)27 ，根据二次函数的性

质，t≥-1时，函数值随t的增大而增大，∵t≥2，∴当t=2时，(m2)(n2)的值最小，此时

(m2)(n2)=(21)27=16，即最小值为16．故选D．

点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意还需考虑有实数根时t的取值范围，这是本题最易漏掉的条件．解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式．

考点：二次函数的性质；最值问题；二次函数的最值；根与系数的关系；综合题．

4．（2017四川省绵阳市，第12题，3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律

摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则

1111的值为（ ） a1a2a3a19

A．

202161 B． C． D． 2184076084【答案】C．

【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【解析】a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，…，an=n（n+2）； ∴

111111111= ...a1a2a3a191324361921=

111111111111115，故选C． (1...)=(1)=

2324361921222021840点睛：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 考点：规律型：图形的变化类；综合题．学.科.网

12x0x5．（2017四川省达州市，第10题，3分）已知函数y的图象如图所示，点P是y轴负半轴上

3x0x一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论： ①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP；

④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（26，6）． 其中正确的结论个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C．

【分析】①错误．因为x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，所以y1＞y2； ②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题； ③正确．设P（0，m），则B（

△OPB

121233，m），A（﹣，m），可得PB=﹣，PA=﹣，推出PA=4PB，SAOB=S

mmmm+S△OPA=

312=7.5； 22121233，m），A（﹣，m），推出PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，由△OPB

mmmm④正确．设P（0，m），则B（

∽△APO，可得OP2=PB•PA，列出方程即可解决问题；

【解析】①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，∴y1＞y2，故①错误．

②正确．∵P（0，﹣3），∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），∴AB=5，OA=3242=5，∴AB=AO，∴△AOB是等腰三角形，故②正确． ③正确．设P（0，m），则B（

△OPA

121233，m），A（﹣，m），∴PB=﹣，PA=﹣，∴PA=4PB，∵SAOB=S△OPB+S

mmmm312=7.5，故③正确． 22121233④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），∴PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，∵∠AOB=90°，

mmmm=

∠OPB=∠OPA=90°，∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，∴∠BOP=∠OAP，∴△OPB∽△APO，∴

OPPB123，∴OP2=PB•PA，∴m2=﹣•（﹣），∴m4=36，∵m＜0，∴m=﹣6，∴A（26，﹣6），APOPmm故④正确，∴②③④正确，故选C．

点睛：本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

考点：反比例函数综合题；综合题．

6．（2017临沂，第11题，3分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，

若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B．

【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n个图形中小圆的个数，进而得出答案． 【解析】第1个图形有1个小圆； 第 2个图形有1+2=3个小圆； 第 3个图形有1+2+3=6个小圆； 第 4个图形有1+2+3+4=10个小圆；

n(n1)个小圆； 2n(n1)∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78=，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），故选B．

2第n个图形有1+2+3+…+n=

点睛：此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键． 考点：规律型：图形的变化类；综合题．

7．（2017临沂，第11题，3分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B．

【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n个图形中小圆的个数，进而得出答案． 【解析】第1个图形有1个小圆； 第 2个图形有1+2=3个小圆； 第 3个图形有1+2+3=6个小圆； 第 4个图形有1+2+3+4=10个小圆； 第n个图形有1+2+3+…+n=

n(n1)个小圆； 2

∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78=

n(n1)，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），故选B． 2点睛：此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键． 考点：规律型：图形的变化类；综合题．

8．（2017南宁，第12题，3分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：yx（x≥0）和抛物线

2x2C2：y（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B

4作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则

SOFE的值为（ ） SEAD

A．

2211 B． C． D．

46【答案】D．

【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．

a2【解析】设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为

42a2122，∵点F是抛物线yx上的点，∴点F横坐标为x=y=a，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a，42x213212∵点D是抛物线y上的点，∴点D横坐标为x=4y=2a，∴AD=a，BF=a，CE=a，OE=a，

4244SOFESEAD∴则

1BFOE141=2 ==，故选D． 1ADCE8362点睛：本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点E、F、D的坐标是解题的关键．

考点：二次函数图象上点的坐标特征；综合题．

9．（2017浙江省嘉兴市，第10题，3分）下列关于函数yx6x10的四个命题： ①当x=0时，y有最小值10；

②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；

③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个； ④若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b． 其中真命题的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C．

【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．

【解析】∵yx6x10=(x3)1，∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；

当x=3+n时，y=（3+n）2﹣6（3+n）+10，当x=3﹣n时，y=（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10，∵（3+n）2﹣6（3+n）+10﹣[（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10]=0，∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3﹣n时的函数值，故②错误；

∵抛物线yx6x10的对称轴为x=3，a=1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，当x=n+1时，y=（n+1）2﹣6（n+1）+10，当x=n时，y=n2﹣6n+10，（n+1）2﹣6（n+1）+10﹣[n2﹣6n+10]=2n﹣5，∵n是整数，∴2n﹣5是整数，故③正确；

∵抛物线yx6x10的对称轴为x=3，1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，故④是假命题．故选C．

点睛：本题主要考查了二次函数的意义，性质，图象，能够根据二次函数的性质数形结合是解决问题的关键．

考点：命题与定理；二次函数的性质；综合题．

10．（2017湖北省咸宁市，第8题，3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）

22222

A．（

35，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0） 22

【答案】C．

【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．

【解析】过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∵∠OAC=∠BCD，∠AOC=∠BDC，AC=BC，∴△ACO≌△BCD（AAS），∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0），∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为yB（3，1）代入y

k，将 xk333，∴k=3，∴y，∴把y=2代入y，∴x=，当顶点A恰好落在该双曲线上xxx2335时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，

2220）．故选C．

点睛：本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；综合题．

11．（2017湖北省恩施州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：

①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确

的个数有（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C．

【分析】根据直线l1的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E（﹣1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，进而判断各选项即可．

①∵抛物线y=ax2+bx+c过E（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确； ②∵a=﹣1，b=2，c=3，∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②错误；

③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确； ④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，∴抛物线过点（b，c），故④正确；

⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S四边形ABCD=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．

综上可知，正确的结论有3个．

故选C．

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．

考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；综合题．学.科.网

12．（2017湖北省荆州市，第10题，3分）规定：如果关于x的一元二次方程axbxc0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2x80是倍根方程；

②若关于x的方程xax20是倍根方程，则a=±3；

2③若关于x的方程ax6axc0（a≠0）是倍根方程，则抛物线yax6axc与x轴的公共点的坐

2222标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数y上述结论中正确的有（ ）

A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C．

【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；

②设x2=2x1，得到x1x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论； ③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； ④若点（m，n）在反比例函数y结论；

【解析】①由x2x80，得（x+4）（x-2）=0，解得x1=-4，x2=2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程

242的图象上，则关于x的方程mx5xn0是倍根方程． x42的图象上，得到mn=4，然后解方程mx5xn0即可得到正确的xx22x80不是倍根方程．故①错误；

②关于x的方程xax20是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，∴x1+x2=﹣a=±3，∴a=±3，故②正确；

2③关于x的方程ax6axc0（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线yax6axc的对称轴是

22

直线x=3，∴抛物线yax6axc与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确； ④∵点（m，n）在反比例函数y

224282的图象上，∴mn=4，解mx5xn0得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，xmm∴关于x的方程mx5xn0不是倍根方程； 故选C．

点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式；根与系数的关系；抛物线与x轴的交点；综合题． 13．（2017湖北省荆门市，第12题，3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数yD，则k的值为（ ）

k

（k≠0）的图象恰好经过点C和点x

A．813813813813 B． C． D． 2516【答案】A．

【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．

【解析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示． 设BD=a，则OC=3a．

∵△AOB为边长为6的等边三角形，∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6． 在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，∴∠OCE=30°，∴OE=

333a，CE=OC2OE2 =

22a，∴点C（

333a， a）．

22

同理，可求出点D的坐标为（6﹣

31a，a）．

22∵反比例函数y

333k316（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，∴k=a×a=（6﹣a）×a，∴a=，

22x225k=813．故选A． 25

点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，找出点C、D的坐标是解题的关键． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；综合题．

14．（2017湖北省随州市，第8题，3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（ ）

A．84株 B．88株 C．92株 D．121株 【答案】B．

【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍药的数量．

【解析】由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，故选B．

点睛：本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律． 考点：规律型：图形的变化类；综合题．

215．（2017贵州省安顺市，第10题，3分）二次函数yaxbxc（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4acb0；②3b2c0；③4ac2b；④mambbam1，其中结论正确

2的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B．

【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=﹣1，可得x=﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据b1 =﹣1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得 b+b+c2a2＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．

【解析】∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确； ∴b1=﹣1，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴ b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确； 2a2∵当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；

∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1），∴m（am+b）＜a﹣b．故④错误

∴正确的有①②两个，故选B．

点睛：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答． 考点：二次函数图象与系数的关系；综合题．

16．（2017重庆，第12题，4分）若数a使关于x的分式方程

2a4的解为正数，且使关于y的x11xy2y1不等式组3的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ） 22(ya)0A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A．

【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．

2a6a2a4的解为x=4的解为正且x≠1，∵关于x的分式方程x11x4x11x6a6a数，∴＞0且≠1，∴a＜6且a≠2．

44【解析】分式方程

y2y1①，解不等式①得：y＜﹣2； 322(ya)0②解不等式②得：y≤a．

y2y1∵关于y的不等式组3的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2，∴﹣2≤a＜6且a≠2． 22(ya)0∵a为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10． 故选A．

点睛：本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2是解题的关键．

考点：分式方程的解；解一元一次不等式组；含待定字母的不等式（组）；综合题．

1x2x217．（2017重庆B，第12题，4分）若数a使关于x的不等式组2有且仅有四个整数解，27x4a且使关于y的分式方程

a22有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ） y22yA．3 B．1 C．0 D．﹣3 【答案】B．

【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出a≤3，再解分式方程根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2，进而得到满足条件的整数a的值之和．

a22，y22y1x2x3x2【解析】解不等式组2，可得2a4，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴-1≤

x7x4a7a2a412，可得y=（a+2）＜0，∴-4＜a≤3，解分式方程，又∵分式方程有非负数解，y22y72∴y≥0且y≠2，即

11（a+2）≥0，且（a+2）≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3且a≠2，∴满足22条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1，故选B．

点睛：本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

考点：分式方程的解；一元一次不等式组的整数解；含待定字母的不等式（组）；综合题． 18．（2017四川省德阳市，第12题，3分）当的图象下方，则b的取值范围为（ ） A．b≥22 B．b＜【答案】B．

【分析】先根据x的取值，求得直线与双曲线的交点坐标，再根据函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函

11

≤X≤2时，函数y=-2x+b的图象上到少有一个点在函数y2x

99 C．b＜3 D．22＜b＜ 221

的图象下方，即可得到b的取值范围． x

111【解析】在函数y中，令x=2，则y=；令x=，则y=2；

x22119若直线y=﹣2x+b经过（2，），则=﹣4+b，即b=；

22219若直线y=﹣2x+b经过（，2），则2=﹣1+b，即b=3，∵直线y=﹣2x+在直线y=﹣2x+3的上方，∴当函

2219数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函数y的图象下方时，直线y=﹣2x+b在直线y=﹣2x+的下方，∴

x29b的取值范围为b＜．故选B．

2数y

点睛：本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数与系数的关系，解题时注意：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；综合题．

2219．（2016内蒙古呼和浩特市）已知a≥2，m2am20，n2an20，则(m1)(n1)的

22最小值是（ ）

A．6 B．3 C．﹣3 D．0 【答案】A．

【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2ax20的两个根，根据根与系数的关系得到

2m+n=2a，mn=2，于是得到4(a)3，当a=2时，(m1)(n1)有最小值，代入即可得到结论．

21222【解析】∵m2am20，n2an20，∴m，n是关于x的方程x2ax20的两个根，∴m+n=2a，mn=2，

222∴(m1)(n1)=m2m1n2n1=(mn)2mn2(mn)2=4a44a2=

222222

14(a)23，∵a≥2，∴当a=2时，(m1)2(n1)2有最小值，∴(m1)2(n1)2的最小值

21212=4(a)3=4(2)3=6，故选A．

22考点：根与系数的关系；二次函数的最值；最值问题．

20．（2016四川省乐山市）若t为实数，关于x的方程x4xt20的两个非负实数根为a、b，则代数式(a1)(b1)的最小值是（ ）

A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16 【答案】A．

【分析】a，b是关于x的一元二次方程x4xt20的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简

2222(a21)(b21)即可求解．

【解析】∵a，b是关于x的一元二次方程x4xt20的两个非负实根，∴可得a+b=4，ab=t﹣2，

2(a21)(b21)=(ab)2(ab)22ab1=(t2)2162(t2)1=(t1)215，∵(t1)≥0，∴代数

2式(a1)(b1)的最小值是﹣15，故选A． 考点：根与系数的关系；配方法；最值问题．

21．（2016广西贵港市）若关于x的一元二次方程x3xp0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且aabb18，则

22222ab的值是（ ） baA．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【答案】D．

【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将aabb18变形成(ab)3ab18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成

2222﹣2，代入数据即可得出结论．

22【解析】∵a、b为方程x3xp0（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵aabb18，

2∴(ab)3ab18，∴p=﹣3．

当p=﹣3时，△=9﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．

aba2b2(ab)22ab322(3)===﹣5．故选D． =

ab3abba

考点：根与系数的关系．

22．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）

A． B．

C．

【答案】C．

D．

【分析】首先根据函数的图象的位置确定m的取值范围，然后在数轴上表示出来即可确定选项． 【解析】∵直线l经过第一、二、四象限，∴m30，解得：﹣2＜m＜3，故选C．

m20考点：一次函数图象与系数的关系；在数轴上表示不等式的解集．

23．（2016四川省眉山市）已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C．

【答案】B．

D．

【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．

【解析】由点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，得：1﹣2m＞0，m﹣1＜0．解得m＜考点：在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．

24．（2016山东省日照市）正比例函数y1k1x（k1＞0）与反比例函数y21，故选B． 2k2（k2＞0）图象如图所示，x

则不等式k1xk2的解集在数轴上表示正确的是（ ） x

A．C．

【答案】B．

B． D．

【分析】由图象可以知道，当x=﹣2或x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k1xk2的解集，即可得出结论． xk2x【解析】两个函数图象的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），当﹣2＜x＜0或x＞2时，直线y1k1x在y2（k2＞0）图象的上方，故不等式k1xk2的解集为x＜﹣1或x＞2．故选B． xa1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数2考点：在数轴上表示不等式的解集；反比例函数与一次函数的交点问题． 25．（2016山东省枣庄市）已知点P（a+1，轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C．

【答案】C．

D．

【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标，再利用第四象限点的坐标性质得出答案．

a10aa1）【解析】∵点P（a+1，关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1，1），该点在第四象限，∴a，22102解得：a＜﹣1，则a的取值范围在数轴上表示为：

．

故选C．

考点：关于原点对称的点的坐标；在数轴上表示不等式的解集．

2x4x4226．（2016山东省泰安市）当x满足1时，方程x2x50的根是（ ） 1(x6)(x6)23A．16 B．61 C．16 D．16 【答案】D．

【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．

2x4x42【解析】1，解得：2＜x＜6，∵方程x2x50，∴x=16，∵2＜x＜6， 1(x6)(x6)23∴x=16．故选D．

考点：解一元一次不等式；一元二次方程的解． 27．（2016重庆市）从﹣3，﹣1，

1，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等21xa2(2x7)3式组3无解，且使关于x的分式方程1有整数解，那么这5个数中所有满足

x33xxa0条件的a的值之和是（ ）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．【答案】B．

1 215a(2x7)3【分析】根据不等式组3无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得

2xa0到结论．

考点：解分式方程；解一元一次不等式组；含待定字母的不等式（组）． 28．（2016重庆市）如果关于x的分式方程

a1x有负分数解，且关于x的不等式组3x1x12(ax)x4的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（ ） 3x4x12A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【答案】D．

【分析】把a看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．

2(ax)x4①【解析】3x4，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到

x1②22a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即x7，符合题意； 25，符合题意； 2把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意； 把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即x把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意； 把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即x3，符合题意； 2把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意； 把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即x1，符合题意； 2把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，故选D．

考点：解一元一次不等式组；解分式方程．

k3≤029．（2016四川省内江市）任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为

2k5＞0非负数的概率为 ． 【答案】

1． 3

k3≤0【分析】首先求得不等式组的一个整数解，关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数时，k的整数

2k5＞0解，继而求得答案．

5k3≤0【解析】∵解不等式组的解集为：＜k≤3，∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，关于x的

22k5＞0方程：2x+k=﹣1的解为：x=k1，∵关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数，∴k+1≤0，解得：k≤﹣1，2211=．故答案为：． 633∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的为：﹣1，﹣2； ∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为：考点：概率公式；一元一次不等式组的整数解． 30．（2016浙江省杭州市）已知关于x的方程取值范围是 ． 【答案】

xy3n2（0＜n＜3），若y＞1，则m的m的解满足xx2y5n22m． 53【分析】先解方程组xy3n2，求得x和y，再根据y＞1和0＜n＜3，求得x的取值范围，最后根据m，

xx2y5n求得m的取值范围． 【解析】解方程组xy3nxn2，得：．∵y＞1，∴2n﹣1＞1，即n＞1．

x2y5ny2n11112222∴．又∵m，，

5x35x3x又∵0＜n＜3，∴1＜n＜3．∵n=x﹣2，∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5，∴∴

2222m．故答案为：m． 5353考点：分式方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式．学.科.网

2的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另xk

一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y的图象上运动．若

x

31．（2016四川省乐山市）如图，在反比例函数ytan∠CAB=2，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D．

【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出再由tan∠CAB=

AEOEAO，CFOFCOAO=2，可得出CFOF=8，由此即可得出结论． CO【解析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．

由直线AB与反比例函数y又∵AC=BC，∴CO⊥AB．

∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴∵tan∠CAB=

2的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO． xAEOEAO． CFOFCOAO=2，∴CF=2AE，OF=2OE． CO又∵AE•OE=|﹣2|=2，CF•OF=|k|，∴k=±8． ∵点C在第一象限，∴k=8．

故选D．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质．

k

（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于x

5k

C点，△BOC的面积是．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y（x＞0）的

2x

32．（2016山东省临沂市）如图，直线y=﹣x+5与双曲线y交点有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．0个，或1个，或2个 【答案】B．

【分析】令直线y=﹣x+5与y轴的交点为点D，过点O作OE⊥直线AC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过令直线y=﹣x+5中x、y分别等于0，得出线段OD、OC的长度，根据正切的值即可得出∠DCO=45°，再结合做的两个垂直，可得出△OEC与△BFC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合面积公式即可得出线段BC的长，从而可得出BF、CF的长，根据线段间的关系可得出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论．

【解析】令直线y=﹣x+5与y轴的交点为点D，过点O作OE⊥直线AC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．

令直线y=﹣x+5中x=0，则y=5，即OD=5；

令直线y=﹣x+5中y=0，则0=﹣x+5，解得：x=5，即OC=5． 在Rt△COD中，∠COD=90°，OD=OC=5，∴tan∠DCO=

OD=1，∠DCO=45°． OC∵OE⊥AC，BF⊥x轴，∠DCO=45°，∴△OEC与△BFC都是等腰直角三角形，又∵OC=5， ∴OE=52152215．∵S△BOC=BC•OE=BC=，∴BC=2，∴BF=FC=BC=1，∵OF=OC﹣FC=5222222﹣1=4，BF=1，∴点B的坐标为（4，1），∴k=4×1=4，即双曲线解析式为y

4

． x

4

中，x

将直线y=﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y=﹣x+5﹣1=﹣x+4，将y=﹣x+4代入到y得：x4442，整理得：x4x40，∵△=16﹣4×4=0，∴平移后的直线与双曲线y只有一个xx

交点．故选B．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的应用；反比例函数的应用．

33．（2016山东省济宁市）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=反比例函数y4，8在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ） x

A．60 B．80 C．30 D．40

【答案】D．

【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论． 【解析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．

44，∴AM=OA•sin∠AOB=a，5533448OM=OA2AM2=a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y的图象上，

555x34122∴a×a=，∴AM=8，OM=6．∵四边形OACB是菱形，a=48，解得：a=10，或a=﹣10（舍去）552∴OA=OB=10，BC∥OA，∴∠FBN=∠AOB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，

334∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN=BF2FN2=b，∴点F的坐标为（10+b，b）．

5555设OA=a，BF=b，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=∵点B在反比例函数y561255612834的图象上，∴（10+b）×b=48，解得：b=，或b=

33x55（舍去），∴FN=

4(615)，BN=615，MN=OB+BN﹣OM=611． 3AMNF﹣S△OFN=S

AMNF=

S△AOF=S△AOM+S选D．

梯形梯形

4(615)11（AM+FN）•MN=（8+）×（611）=40．故

322考点：反比例函数与一次函数的交点问题；综合题．

a2

（a＞0，a为常数）和y在第一象限内的图象如图所示，xx

a22

点M在y的图象上，MC⊥x轴于点C，交y的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y的图象于

xxx

a

点B，当点M在y的图象上运动时，以下结论：

x

34．（2016山东省淄博市）反比例函数y①S△ODB=S△OCA；

②四边形OAMB的面积不变；

③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点． 其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D．

【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案；

②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积﹣（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知； ③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得． 【解析】①由于A、B在同一反比例函数y确；

②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确； ③连接OM，点A是MC的中点，则△OAM和△OAC的面积相等，∵△ODM的面积=△OCM的面积=

21图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2=1，正x21a，2△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBM与△OAM的面积相等，∴△OBD和△OBM面积相等，∴点B一定是MD的中点．正确； 故选D．

考点：反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的应用．

35．（2016湖北省十堰市）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y则k的值为（ ）

k

上（k＞0，x＞0），x

A．253 B．183 C．93 D．9 【答案】C．

【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出

BDBCBDBC，令该比例=n，根据比例关系找出点BEBABEBAD、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

【解析】过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为（10，

53）0）、点B的坐标为（5，，点E的坐标为（

553BDBC，）．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴．设22BEBA105n10353n，），点C的坐标为（5+5n，

22BDBCBEBA=n（0＜n＜1），∴点D的坐标为（

105n10353nkk5353n）．∵点C、D均在反比例函数y图象上，∴，解得：22xk(55n)(5353n)4n5．故选C． k93

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；平行线的性质；等边三角形的性质．

36．（2015桂林）如图，直线ykxb与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足3a0时，k的取值范围是（ ）

A．1k0 B．1k3 C．k1 D．k3 【答案】C．

考点：1．一次函数与一元一次不等式；2．综合题．

37．（2015徐州）若函数ykxb的图象如图所示，则关于x的不等式k(x3)b0的解集为（ ）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5 【答案】C． 【解析】

试题分析：∵一次函数ykxb经过点（2，0），∴2k﹣b=0，b=2k．函数值y随x的增大而减小，则k＜0；解关于k(x3)b0，移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．故选C．

考点：1．一次函数与一元一次不等式；2．含字母系数的不等式；3．综合题．

38．（2015德阳）如图，在一次函数yx6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C．

考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论． 39．（2015德阳）已知mx1，nx2，若规定yA．0 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】B． 【解析】

试题分析：因为mx1，nx2，当x1x2时，可得：x0.5，则y1x1x22x，则y的最小值为1；

当x1x2时，可得：x0.5，则y1x1x22x2，则y＜1，故选B． 考点：1．一次函数的性质；2．分段函数；3．新定义；4．分类讨论；5．最值问题．学.科.网

40．（2015广元）如图，把RI△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°， BC=5．点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y2x6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D．82 1mn (mn)，则y的最小值为（ ）

1mn (mn)

【答案】C．

考点：1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质． 41．（2015泸州）若关于x的一元二次方程x2xkb10有两个不相等的实数根，则一次函数ykxb的大致图象可能是（ ）

2A．

【答案】B． 【解析】

B． C． D．

试题分析：∵x2xkb10有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；

2

故选B．

考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．

42．（2015甘南州）如图，直线ykxb经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式的解集为（ ）

1xkxb22

A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1或x＞2 D．﹣1＜x＜2 【答案】D． 【解析】

2kb1k1试题分析：把A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的坐标代入ykxb，得：，解得：．解

kb2b1不等式组：

1xx12，得：﹣1＜x＜2．故选D． 2考点：1．一次函数与一元一次不等式；2．数形结合．

43．（2015西宁）同一直角坐标系中，一次函数y1k1xb与正比例函数y2k2x的图象如图所示，则满足y1y2的x取值范围是（ ）

A．x2 【答案】A．

B．x2

C．x2

D．x2

考点：一次函数与一元一次不等式．

44．（2015济南）如图，一次函数y1xb与一次函数y2kx4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式xbkx4的解集是（ ）

A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1 【答案】C． 【解析】

试题分析：当x＞1时，xbkx4，即不等式xbkx4的解集为x＞1．故选C． 考点：一次函数与一元一次不等式．

45．（2015淄博）一次函数y3xb和yax3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式

3xbax3的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A．

【答案】C．

B． C． D．

考点：1．一次函数与一元一次不等式；2．在数轴上表示不等式的解集． 46．（2015苏州）若点A（a，b）在反比例函数yA．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6 【答案】B． 【解析】

2的图象上，则代数式ab﹣4的值为（ ） x

试题分析：∵点（a，b）反比例函数y22上，∴b，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B． xa考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 47．（2015河池）反比例函数y1m（x0）的图象与一次函数y2xb的图象交于A，B两点，其x中A（1，2），当y2y1时，x的取值范围是（ ）

A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B． 【解析】

试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2y1．故选B．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

48．（2015临沂）在平面直角坐标系中，直线yx2与反比例函数y1的图象有唯一公共点，若直线xyxb与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）

1x

A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2 【答案】C．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

49．（2015苏州）若二次函数yxbx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程xbx5的解为（ ）

A．x10，x24 B．x11，x25 C．x11，x25 D．x11，x25 【答案】D． 【解析】

22考点：抛物线与x轴的交点．

50．（2015乐山）已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，记mabc2abc，

2nabc2abc．则下列选项正确的是（ ）

A．mn B．mn C．mn D．m、n的大小关系不能确定 【答案】A． 【解析】

试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，∵抛物线经过原点，∴c=0，∴a﹣b+c＜0；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c=0，∴a+b＞0； （1）当对称轴xb1时，2ab0， 2a

mabc2abc=(ab)(2ab)=ab2ab=2ba， nabc2abc=ab(2ab)=ab2ab =2ba，

∵a＜0，∴2ba2ba，∴m＜n． （2）当对称轴xb1时，2ab0， 2amabc2abc=(ab)(2ab)=3a，

nabc2abc=ab(2ab)=ab2ab =2ba，

mn(3a)(2ba)2(ab)，

∵a+b＞0，∴﹣2（a+b）＜0，∴m＜n． 综上，可得m＜n． 故选A．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题；3．压轴题．

51．（2015孝感）如图，二次函数yaxbxc（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点

2b24acc0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=． C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②

4aa其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B． 【解析】

试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；

b24ac0，所以②错误； ∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b4ac＞0，而a＜0，∴

4a2

2∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入yaxbxc得acbcc0，∴ac﹣b+1=0，

2所以③正确；

设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数yaxbxc（a0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和

2x2是方程ax2bxc0（a0）的两根，∴x1x2=

故选B．

cc，∴OA•OB=，所以④正确． aa考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．数形结合；3．综合题．学.科.网

52．（2014年福建龙岩4分）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x+1，﹣x}的最大值是（ ）

A．

2

51 B． 251 C． 1 D． 0 2【答案】A．

【考点】1．新定义；2．二次函数的最值；3．正比例函数的性质；4．分类思想和数形结合思想的应用．． 【分析】由定义先求出其解析式，再利用单调性即可求出其最大值：

设y1x21, y2x，作二者的图象如答图，

1515或x. 221515由图象可知，当x<或x>时，y1x21的图象在y2x的图象下方；当

221515时，y1x21的图象在y2x的图象上方． 21515x1x<或x>222

∴函数min{﹣x+1，﹣x}=.

1515xx225115152

时，函数min{﹣x+1，﹣x}=﹣x，其最大值为； x22215155122

②当x<时，函数min{﹣x+1，﹣x}=﹣x+1，其最大值不超过． 或x>222512

综上可知：函数min{﹣x+1，﹣x}的最大值是．

2∴①故选A．

53．（2014年广东汕尾4分）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A．

【考点】1．不等式有性质；2．一次函数图象与系数的关系． 【分析】∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0识．

∴根据一次函数图象与系数的关系：

①当k>0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k>0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k<0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． ∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故选A．

．（2014年广西南宁3分） 已知点A在双曲线y于y轴对称，设点A的坐标为m, n，则

2上，点B在直线yx4上，且A，B两点关xmn的值是（ ） nmA．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A．

【考点】1． 关于y轴对称的点的坐标特征；2．曲线上点的坐标与方程的关系；3．求代数式的值；4．整体思想的应用．

【分析】∵A点的作标为m, n，A，B两点关于y轴对称，∴点B 的坐标为m, n.

∵点A在双曲线y22上，∴n，即mn2. xm∵点B在直线yx4上 ∴nm4，即mn4.

mnm2n2mn2mn42210. ∴nmmnmn2故选A．

55．（2014年内蒙古呼和浩特3分）已知函数y221的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点xB（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（ ）

A．x1 ＋ x2 ＞1，x1·x2 ＞ 0 B．x1 ＋ x2 ＜ 0，x1·x2 ＞ 0

C．0 ＜ x1 ＋ x2 ＜ 1，x1·x2 ＞ 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定 【答案】C．

【考点】1．反比例函数的性质；2．曲线上点的坐标与方程的关系；3． 一元二次方程根与系数的关系；4．分类思想的应用．

1x>01x【分析】∵y，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c＋1）在第二象限x1x<0x的一支曲线上，

∴a>0, b<0, c>0，且c, c11a111.∴a, b. bcc1又∵x1，x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根，

1bccc, x1x2c2.∴00. ∴x1x2c11ac1a1cc故选C．

56．（2014年山东济南3分）二次函数的图象如图，对称轴为x1．若关于x的一元二次方程x2bxt0（t为实数），在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

A． t1 B． 1t3 C． 1t8 D． 3t8 【答案】C．

【考点】二次函数的图象和性质．

【分析】∵二次函数yxbxt对称轴为x1， ∴2b1b2． 2

∵一元二次方程x22xt0在1x4的范围内有解，

∴二次函数yx2xt的图象向上的极限位置是图象的顶点在x轴上时；向下的极限位置是图象与x轴交于（4，2）时．

当图象的顶点在x轴上时，由24t0得t1；

当向下的极限位置是图象与x轴交于（4，2）时，由4224t0得t8． ∴t的取值范围是1t8．

故选C．

二、填空题

57．（2017四川省乐山市，第15题，3分）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：122111123n． 2222

图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ． 【答案】23333333[1()2()3...()n1()n...]． 2444443；进而得到2=

=【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，求得S△ACC1=33×，24

=

332×()，24 =

333×()，根据规律可知2433n11×()，再根据S△ABC= AC242×BC=

1×2×23=23，即可得到等式． 21AC=1，2【解析】如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=23，∴AC1=

CC1=3AC1=3，∴S△ACC1=

311•AC1CC1=×1×3=；

222313CC1=，C1C2=3CC2=，∴

222 =

∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，∴CC2=

=

331133•CC2C1C2=××=×，同理可得，

222224332×()，24 =

3×23()3，… 4∴

=333333n111×()，又∵S△ABC=AC×BC=×2×23=23，∴23=+×+22242242×（()+34233333n1×()+…+×()+… 2244

∴23333333[1()2()3...()n1()n...]． 244444333333[1()2()3...()n1()n...]． 244444故答案为：23

点睛：本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

考点：规律型：图形的变化类；综合题．

58．（2017四川省乐山市，第16题，3分）对于函数yxx，我们定义ynx常数）．

例如yxx，则y4x2x． 已知：y423nmn1mxm1（m、n为

13xm1x2m2x． 3（1）若方程y0有两个相等实数根，则m的值为 ；

1有两个正数根，则m的取值范围为 ． 4131【答案】（1）；（2）m≤且m≠．

242（2）若方程ym【分析】根据新定义得到y′=x2(m1)xm ． （1）由判别式等于0，解方程即可；

（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．

【解析】根据题意得y′=x2(m1)xm，（1）∵方程x2(m1)xm有两个相等实数根，∴△=[2

22222211，故答案为：； 221112222（2）ym，即x2(m1)xm=m，化简得：x2(m1)xmm0，∵方程有

444（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=

2(m1)01312两个正数根，∴mm0，解得：m≤且m≠．

442122[2(m1)]4(mm)04故答案为：m≤

31且m≠． 42点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键． 考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；新定义；综合题．学.科.网

59．（2017四川省凉山州，第26题，5分）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是 ． 【答案】5050．

【分析】设第n个三角形数为an，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律 “an=1+2+…+n=

n(n1)”，依此规律即可得出结论． 2

点睛：本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=1+2+…+n=考点：规律型：数字的变化类；综合题．

60．（2017四川省广安市，第16题，3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点

n(n1)”． 2

A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是

．

【答案】（2n11，2n1）．

【分析】先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出答案．

【解析】∵直线y=x+1和y轴交于A1，∴A1的坐标（0，1），即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，∴A2的坐标为（1，2），同理A3的坐标为（3，4），… An的坐标为（2n11，2n1），故答案为：（2n11，2n1）．

点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．

考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标；综合题．

61．（2017山东省东营市，第18题，4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y33x与x轴交33于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是 ．

220171【答案】．

2

【分析】先根据直线l：y33x与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过33A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°

211221231角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进

2222n1而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．

2【解析】由直线l：y333x与x轴交于点B1，可得B（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，1333111211如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠

2222OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则

113221A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，

2222117231115241A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由

22222222201712201712n1此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．

222

点睛：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依

2n1据等边三角形的性质找出规律，求得An的横坐标为．

2考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标；综合题．

62．（2017山东省日照市，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y

k

（x＞0）x

同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为2，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为 ．

【答案】15．

【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=2，OM=AN=kkk，求出B（+2，﹣2），得出方程222（kk+2）•（﹣2）=k，解方程即可． 22【解析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示： 则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵∠AOB=∠OBA=45°，∴OA=BA，∠OAB=90°，∴∠OAM+∠BAN=90°，∴∠AOM=∠BAN，在△AOM和△BAN中，∵∠AOM=∠BAN，∠AMO=∠BNA，OA=BA，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM=BN=2，OM=AN=kk，∴OD=+2，22OD=BD=kkkkk

﹣2，∴B（+2，﹣2），∴双曲线y（x＞0）同时经过点A和B，∴（

x2222k﹣2）=k，整理得：k2﹣2k﹣4=0，解得：k=15（负值舍去），∴k=15．故答案为：2+2）•（15．

点睛：本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；综合题．

63．（2017山东省淄博市，第17题，4分）设△ABC的面积为1．

如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=

1． 31； 61； 10如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=

如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=…

按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S= ．

【答案】

2．

(n1)(n2)DEDE1AB，可得△CD1E1∽△CBA，且1111

BF1AB2【分析】先连接D1E1，D2E2，D3E3，依据D1E1∥AB，D1E1=

111，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1=S△ABC=，依据E1是BC的中点，2441111111即可得出S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，据此可得S1=；运用相同的方法，依次可得S2=，S3=；根

334123610=

据所得规律，即可得出四边形CDnEnFn，其面积Sn=

111n，最后化简即可．

(n1)2(n1)21n1【解析】如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3，∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，∴D1E1∥AB，D1E1=AB，

∴△CD1E1∽△CBA，且

D1E1D1E1111 =，∴S△CD1E1=S△ABC=，∵E1是BC的中点，∴S△BD1E1=S△

BF1AB24411111111，∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=，同理可得： 4334124123111131图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2==，图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3==，以此类推，将AC，

9186168010CD1E1=

BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn，其面积Sn=

1112n=，故

(n1)2(n1)21n1(n1)(n2)答案为：

2．

(n1)(n2)

点睛：本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 考点：规律型：图形的变化类；三角形的面积；规律型；综合题．

．（2017乌鲁木齐市，第15题，4分）如图，抛物线yaxbxc过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：

①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（2c2，0）；⑤ambma0，其中所有正确的结论是 ． a

【答案】②④⑤．

【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=取得最小值及b=﹣2a可判断⑤．

【解析】由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＞0，故①错误；

∵抛物线yaxbxc过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，∴抛物线yaxbxc过点（3，0），∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a＞0，∴10a+3b+c＞0，故②正确；

∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1＜y2，故③错误；

22c时，代入抛物线解析式，结合a﹣b+c=0可判断④；由x=1时函数yac2bcacc(abc)cc2c当x=时，ya()b()c = =，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，∴当

aaaaax=cc2cc时，ya()b()c，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0），故④正aaaa确；

x=m对应的函数值为yambmc，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴

2am2bmc≥a+b+c，即am2bm≥a+b，∵b=﹣2a，∴am2bma0，故⑤正确；

故答案为：②④⑤．

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数yaxbxc（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 考点：二次函数图象与系数的关系；综合题．

65．（2017丽水，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．

2

（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；

（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 ．

【答案】（1）2 ；（2）12．

【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是2；

（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，二此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系． 【解析】（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，所以直线AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2），∴OB=OA=2，AB=22． 设点O到直线AB的距离为d，由S△OAB=

121OA=AB•d，得：4=22d，则d=2．故答案为：2． 22（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）． 所以OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°．

当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意． 所以m＞0．

因为∠CPA=∠ABO=45°，所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，

1m2PDCD222所以，即，解得m=12．故答案为：12． 1ABPB2mm2

点睛：本题考查了一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，另外，解题时，注意分类讨论数学思想的应用． 考点：一次函数综合题；分类讨论；综合题．

66．（2017衢州，第16题，4分）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是 ，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为 ．

【答案】B3（5，3）,（

13463+6）π． 3【分析】如图作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=3，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的

运动路径为

120312011201234 ++=（）π，由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后

18031801802323413463）π+π=（+6）π．

333AB中点M经过的路径长为672（

【解析】如图作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=3，∴B3（5，3），观察图象可知3三次一个循环，

一个循环点M的运动路径为

120312011201234 ++=（）π，∵2017÷3=672…1，∴翻

18031801802323413463）π+π=（+6）π．故答案为：

333滚2017次后AB中点M经过的路径长为672（B3（5，3）,（13463+6）π． 3

点睛：本题考查轨迹、规律题、扇形的面积公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型． 考点：轨迹；规律型：点的坐标；综合题．学.科.网

67．（2017金华，第15题，4分）如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y

k

的图x

象上，做射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ．

【答案】（﹣1，﹣6）．

【分析】先过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据直线AB的解

13x2，可得PF=，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，构造△ADP≌△ADH，再设223DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2﹣x=3﹣x，在Rt△PDF中，根据PF2+DF2=PD2，可得方程

233，即可得出直线AD的解析式为y=3x﹣3，最后解方程组即()2(3x)2(x)2，进而得到D（1，0）

22析式为y可得到D点坐标．

【解析】如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为yy=﹣

1，可得OF=1，当x=﹣1时，x2，由A（2，3）

21333+2=，即P（﹣1，），∴PF=，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，222233∴PD=HD，PG=EH=，设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2﹣x=3﹣x，Rt△PDF中，PF2+DF2=PD2，即

2233()2(3x)2(x)2，解得x=1，∴OD=2﹣1=1，即D（1，0），根据点A（2，3）和点D（1，0），可22y3x3x2x1得直线AD的解析式为y=3x﹣3，解方程组：，可得：或，∴C（﹣1，﹣6），6yy3y6x故答案为：（﹣1，﹣6）．

点睛：本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是作辅助线构造正方形以及全等三角形，依据勾股定理列方程进行求解．

考点：坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数与一次函数的交点问题；综合题．

68．（2016云南省昆明市）如图，反比例函数y

k

（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，x

垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为 ．

【答案】16． 3【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．

【解析】设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b．∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴BD∥AC．∵OC=CD，∴

1111111BD=b，CD=DO=a．∵四边形BDCE的面积为2，∴（BD+CE）×CD=2，即（b+b）22222221k161616×（a）=2，∴ab=．将B（a，b）代入反比例函数y（k≠0），得：k=ab=．故答案为：．

2x333CE=

考点：反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例．

69．（2016内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数yk（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO=3，则k的值为 ． x

【答案】33．

【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB=30°可得出

AD3，由此可是点A的坐标为（﹣3a，3 OD3a），根据S△ABO=3结合三角形的面积公式可用a表示出线段OB的长，再由勾股定理可用含a的代数式表示出线段BD的长，由此即可得出关于a的无理方程，解方程即可得出结论． 【解析】过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．

∵∠AOB=30°，AD⊥OD，∴

3AD=tan∠AOB=，∴设点A的坐标为（﹣3a，3a）．

3OD∵S△ABO=

12OB•AD=3，∴OB=． 2a

在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=3a，AB=OB=

424223a，∴BD2AB2AD2=23a，BD=． a2aa∵OD=OB+BD=3a，即3a2423a，解得：a=1或a=﹣1（舍去），∴点A的坐标为（﹣3，3），2aa∴k=﹣3×3=33．故答案为：33． 考点：反比例函数系数k的几何意义．

70．（2016四川省眉山市）如图，已知点A是双曲线y6在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延x长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线yk上运动，则k的值是 ． x

【答案】36．

【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=3OA，求出△OFC∽△AEO，相似比

SOC=3，求出面积比ΔOFC=3，求出△OFC的面积，即可得出答案．

SΔAEOOA【解析】∵双曲线y6的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，连接OC，如图x所示，∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC=

OC=3，∴OC=3OA，OA过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA， ∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相似比

SOC=3，∴面积比ΔOFC=3，

SΔAEOOA∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），∵点A在双曲线y661上，∴S△AEO=ab=， x22

∴S△OFC=

361kFC•OF=，∴设点C坐标为（x，y），∵点C在双曲线y上，∴k=xy，∵点C在第四象

22x限，∴FC=x，OF=﹣y，∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=36，故答案为：36．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定和性质；综合题．学.科.网

71．（2016四川省达州市）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y的坐标为 ．

k

（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点Ex

【答案】（2，7）．

【分析】首先过点D作DF⊥x轴于点F，易证得△AOB∽△DFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点C的坐标，继而求得直线BC的解析式，则可求得点E的坐标．

【解析】过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB=∠DFA=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC，∴∠OAB+∠DAF=90°，∴∠ABO=∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF=OB：AF=AB：AD，∵AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6），∴AB：AD=3：2，OA=3，OB=6，∴DF=2，AF=4，∴OF=OA+AF=7，∴点D的坐标为：（7，2），∴反比例函数的解析式为：y14①，点C的坐标为：x

1b6k（4，8），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：2，∴直线BC的解析式为：

4kb8b6yx2x141或（舍去），∴点E的坐标为：（2，7）．故答案为：（2，7）． x6②，联立①②得：2y7y1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．

72．（2016山东省滨州市）如图，已知点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是 ．

【答案】3．

【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，连接OA、OB，延长AB交y轴于点E，通过计算三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．

S△OAB=S△OAE﹣S△OBE=

11133（a﹣b）=AB•OE=4=，∴a﹣b=2S△OAB=3．故答案为：3． 222424（x＞0）的图象交于A，B两点，x考点：反比例函数的性质．

73．（2016浙江省丽水市）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．

（1）b= （用含m的代数式表示）； （2）若S△OAFS四边形EFBC4，则m的值是 ．

【答案】（1）m4；（2）2． m【分析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．

（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为

4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF，推出

112AM=NB，得B（2m，）代入直线解析式即可解决问题． 22m44【解析】（1）∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，

xm444即点A的坐标为（m，）．令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b，∴﹣m+b=，即b=m．故答

mmm4案为：m；

m4

（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．∵反比例函数y，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，

x

EF=

∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），∴S△ADM=2S△OEF，∴EF=∴点B坐标（2m，

11AM=NB，2242422）代入直线yxm，∴2mm，整理得到m2，∵m＞0，

mmmm∴m=2．故答案为：2．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 74．（2016浙江省宁波市）如图，点A为函数y

91（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y（x＞0）xx的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．

【答案】6．

【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．

91），点B的坐标为（b，），∵点C是x轴上一点，且AO=AC，∴点Cab999的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，∴ka，解得，k2，

aaa1919aa又∵点B（b，）在y2x上，∴2b，解得：3或3（舍去），∴S△ABC=S△AOC﹣

bababb【解析】设点A的坐标为（a，

2aS△OBC=

912aab=186=9-3=6，故答案为：6．

22221，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），x考点：反比例函数的图象；三角形的面积；等腰三角形的性质． 75．（2016浙江省绍兴市）如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为 ．

【答案】2或

2． 2【分析】根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标，由两点间的距离公式表示出线段OA、OC的长，再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解析】依照题意画出图形，如图所示．

∵点A的坐标为（a，﹣a）（a＞0），∴点B（a，

1111）、点C（﹣，）、点D（﹣，﹣a），aaaa22∴OA=(a0)(a0)=2a，OC=(1120)2(0)2=． aaa22或=22a，aa又∵原点O分对角线AC为1：2的两条线段，∴OA=2OC或OC=2OA，即2a=2×解得：a1=2，a2=﹣2（舍去），a3=

222，a4=﹣（舍去）．故答案为：2或． 222考点：反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．

76．（2016浙江省温州市）如图，点A，B在反比例函数yk（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，x垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是 ．

【答案】

37． 2【分析】根据三角形面积间的关系找出2S△ABD=S△BAC，设点A的坐标为（m，

kk），点B的坐标为（n，），

nm结合CD=k、面积公式以及AB=2AC即可得出关于m、n、k的三元二次方程组，解方程组即可得出结论． 【解析】∵E是AB的中点，∴S△ABD=2S△ADE，S△BAC=2S△BCE，又∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，∴2S△ABD=S△BAC．

37kmnk2k7kkk2m设点A的坐标为（m，），点B的坐标为（n，），则有：，解得：，n2nmmn7kk2k2(mn)()2mnm37k2377或m（舍去）．故答案为：．

22n7考点：反比例函数系数k的几何意义．

77．（2016浙江省湖州市）已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上． （1）k的值是 ；

（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y4图象交于C，Dx两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若

S17，则b的值是 ． S29

【答案】（1）﹣2；（2）32．

【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k、m、n、b的四元一次方程组，两式做差即可得出k值；

（2）根据BO⊥x轴，CE⊥x轴可以找出△AOB∽△AEC，再根据给定图形的面积比即可得出

AOBO3，AECE4根据一次函数的解析式可以用含b的代数式表示出来线段AO、BO，由此即可得出线段CE、AE的长度，利用OE=AE﹣AO求出OE的长度，再借助于反比例函数系数k的几何意义即可得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论．

nkmb【解析】（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，

n2k(m1)b解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．

（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵

SS1799，∴ΔAOB=． S29SΔAEC7916令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x=

b，2即AO=

Sb9AOBO34244．∵△AOB∽△AEC，且ΔAOB=，∴，∴AE=AO=b，CE=BO=b，

SΔAEC162AECE43333OE=AE﹣AO=

122b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即b4，解得：b=32，或b=﹣32（舍去）．故答案为：32． 69

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；综合题． 78．（2016浙江省衢州市）如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y

k

（x＞0）的图象上，点C，D分x

别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变． （1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于 ．

（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围 是 ．

【答案】（1）2；（2）

2≤x≤18． 9

【分析】（1）过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，设OD′=a，OC′=b，由此可表示出点A′的坐标，同理可表示出B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出结论； （2）由（1）可知点A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B′、C′D′的解析式，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k的取值范围． 【解析】（1）如图，过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°．

∵四边形A′B′C′D′为正方形，∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，

∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，∴∠ED′A′=∠OC′D′．

在△A′ED′和△D′OC′中，∵∠ED′A′=∠OC′D′，∠A′ED′=∠D′OC′，A′D′=D′C′， ∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS），∴OD′=EA′，OC′=ED′． 同理△B′FC′≌△C′OD′．

设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．∵点A′、B′在反比例函数ya(ab)2a1a12的图象上，∴，解得：或（舍去）． xb(ab)2b1b1在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，∴C′D′=OC'2OD'2=2． 故答案为：2．

（2）设直线A′B′解析式为yk1xb1，直线C′D′解析式为yk2xb2，∵点A′（1，2），点B′

2k1b10k2b2k11k21（2，1），点C′（1，0），点D′（0，1），∴有和，解得：和，

12kb1bb1b311221∴直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1．设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．

当A点在直线C′D′上时，有2m=﹣m+1，解得：m=

112122，此时点A的坐标为（，），∴k=×=； 333339当点D在直线A′B′上时，有n=3，此时点A的坐标为（3，6），∴k=3×6=18．

综上可知：当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为

22≤x≤18．故答案为：≤x≤18． 99考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；正方形的性质；综合题． 79．（2016湖北省荆门市）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y

k

图象上的一点，连接AO并延长交x

双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标 是 ．

【答案】（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．

【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标

为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标． 【解析】 ∵反比例函数y

k

图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），x

∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB=[1(1)]2[2(2)]2=25，PA=(x1)222，PB=(x1)222；

当PA=AB时，则有(x1)222=25，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当PB=AB时，则有(x1)222=25，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）； 综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质；分类讨论．学.科.网

80．（2016湖北省鄂州市）如图，已知直线yk1xb与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+④不等式k1xbk2的图象相x1n=0；③S△AOP=S△BOQ；2k2的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是 ． x

【答案】②③④．

k2x133中得到m+n=0，故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入yk1xb得到y=﹣mx+m，求得P（﹣，

222k30），Q（0，m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1xb22x【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确．

【解析】由图象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①错误； 把A（﹣2，m）、B（1，n）代入yk21中得﹣2m=n，∴m+n=0，故②正确； x2

nmkm2k1b313把A（﹣2，m）、B（1，n）代入yk1xb得：，∴，∵﹣2m=n，∴y=﹣mx+m，

2nk1bb2nm3∴P（﹣

33331313，0），Q（0，m），∴OP=，OQ=m，∴S△AOP=וm，S△BOQ=•m×1，∴S△AOP=S△BOQ；22222222k2的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确； x故③正确；

由图象知不等式k1xb故答案为：②③④．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

81．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=25，反比例函数y

k

的图象经过点B，则k的值为 ． x

【答案】﹣8．

【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；数形结合．

82．（2015南通）关于x的一元二次方程ax3x10的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ． 【答案】29a2． 4考点：1．抛物线与x轴的交点；2．综合题；3．压轴题．

283．（2015宿迁）当xm或xn（mn）时，代数式x2x3的值相等，则xmn时，代数式

x22x3的值为 ．

【答案】3． 【解析】

22试题分析：设yx2x3，∵当xm或xn（mn）时，代数式x2x3的值相等，∴

mn222，∴m+n=2，∴当xmn时，即x=2时，x2x3=22233，故答案为：3． 221考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．条件求值；3．综合题．

84．（2015东营）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是 ．

【答案】（

201720153，）．

22考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型；4．综合题．

85．（2015贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线yx1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a11，则a2015= ．

【答案】2．

考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题． 86．（2014年福建厦门4分）如图，正六边形ABCDEF的边长为23，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（ ▲ ， ▲ ）．

【答案】23，4．

【考点】1．正多边形和圆；2． 等边三角形的判定和性质；3． 锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函

数值；5．直角坐标系的建立；6．两条直线相交问题；7．待定系数法的应用；8．直线上点的坐标与方程的关系．

【分析】如答图，连接AE，DF，

∵正六边形ABCDEF的边长为23，延长BA，EF交于点O， ∴△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=23.

∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=43， ∴∠EAO=90°，∠OEA=30°．∴AE=43cos30°=6．∴F（3，3），D（43，6）． 设直线DF的解析式为：y=kx+b，

33kb3k则，解得：3. b243kb6∴直线DF的解析式为：y∵当x=23时，y3x2. 33（23，4）． 2324，∴直线DF与直线AE的交点坐标是：

32

2

2

87．（2014年广东广州3分）若关于x的方程x+2mx+m+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2的最小值为 ▲ ． 【答案】

5. 42

2

【考点】1．一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；2．二次函数的最值． 【分析】由题意知，方程x+2mx+m+3m﹣2=0有两个实数根，

则△=b﹣4ac=4m﹣4（m+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤

2

2

2

2

2

2. 32

∵关于x的方程x+2mx+m+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣2m，x1x2= m+3m﹣2．

22222

∴x1（x2+x1）+x2=（x2+x1）﹣x1x2=（﹣2m）﹣（m+3m﹣2）=3m﹣3m+23m15. 242152

时，x1（x2+x1）+x2有最小值. 24121∵＜，∴m=成立． 23252

∴x1（x2+x1）+x2最小值为.

4∴当m=

三、解答题

188．（2017江苏省盐城市，第27题，14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，

21与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

2（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求

S1的最大值； S2②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y123429（2）①；②﹣2或． xx2；

225111【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=x2+bx+c，于是得到结论；

2（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（得到PA=PC=PB=

3，0），25，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=2∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

1【解析】（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，∴

2130164bcb123，∴22，∴yxx2； 222cc2（2）①如图，令y=0，∴123xx20，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过22

B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴

DEDMS1 ==，设D（a， S2BEBN1a22a131514SDM2，∴M（a，a2），∵B（1.0），∴N（1，），∴1==2=(a2)；a2a2）

5S2BN2222552∴当a=-2时，

4S1的最大值是； S25②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=25，BC=5，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（tan∠CPO=tan（2∠BAC）=

35，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴224，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G．分两种情况： 31情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即

213a2aRC11312321，∴a1=0（舍，∴DR=﹣a，RC=aa，∴2，令D（a，a2a2）DR22222a2去），a2=﹣2，∴xD=﹣2．

情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=FG=6k，∴CG=2k，DG=35k，∴

43k1，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴3FG2115kDRa251155∴RC=k，RG=k，DR=35k﹣k=k，∴，∴a1=0（舍去），

1235555RC25kaa225a2=29． 1129． 11综上所述：点D的横坐标为﹣2或

点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；存在型；分类讨论；压轴题．学.科.网

．（2017江苏省苏州市，第28题，10分）如图，二次函数yxbxc的图象与x轴交于 A．B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标； （3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

2

【答案】（1）b=-2， c=﹣3；（2）F（0，﹣2）；（3）Q（

115315， ）或（，）． 2424【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；

（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；

（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．

【解析】（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴b=1，b=-2． 2∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；

（2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）． 由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6． ∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3． 作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN=S△APM，∴

11(n1)(3n) =(n22n3)•QR，∴QR=1． 2231时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，22①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=

15 ）； 4②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．

1315时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，）． 224115315综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（， ）或（，）．

2424同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大． 考点：二次函数综合题；存在型；最值问题；分类讨论；压轴题．

90．（2017河北，第26题，12分）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9

（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．

月份n（月） 成本y（万元/件） 1 11 2 12 100

需求量x（件/月） 120 （1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元； （2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差很大，求m． 【答案】（1）y6600，不可能；（2）不存在；（3）1或11． xb600600，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（6），则=0可作出xxx【分析】（1）设ya判断；

（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6可判断；

（3）第m个月的利润W=x（18﹣y）=18x﹣x（6600求得x=50，根据50=2n2﹣26n+144x600）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）个月的利润为xW′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得． b11aa6b600120【解析】（1）由题意，设ya，由表中数据可得：，解得：，∴y6，由

bb600xx12a100题意，若12=18﹣（6600600600），则=0，∵x＞0，∴＞0，∴不可能； xxx（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，解得：k=13，∴x=2n2﹣26n+144，将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，∴k=13； 由题意，得：18=6600，解得：x=50，∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，∵△=（﹣13）2﹣4×1×x47＜0，∴方程无实数根，∴不存在；

（3）第m个月的利润为W，W=x（18﹣y）=18x﹣x（6600）=12（x﹣50）=24（m2﹣13m+47），∴第（m+1）x个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；

若W＜W′，W﹣W′=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W﹣W′取得最大值240； ∴m=1或11．

点睛：本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．

考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；分类讨论；最值问题；压轴题． 91．（2017浙江省嘉兴市，第24题，12分）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s12tbtc（b，c是常数）刻画． 125（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度vv02． (t30)，v0是加速前的速度）

125【答案】（1）m=30，0.4千米/分钟；（2）小红5分钟与潮头相遇；（3）26．

【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；

（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=

11，从而可求出h的5

值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30=26分钟．

设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=得：h=﹣

11，代入可5127373，∴s1=t，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，∴

2555122241273，∴t=50，小红与潮头相遇后，ttt=1.8．解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去）

125255255按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，∴共需要时间为6+50﹣30=26分钟，∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟．

点睛：本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用，一元二次方程的解法，待定系数法求解析式等知识，综合程度较高，属于中等题型． 考点：二次函数的应用；压轴题．

92．（2017湖北省孝感市，第24题，13分）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线yaxhk的伴随直线为yaxhk.例如：抛物线y2x13的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线yx14的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线222yx14与其伴随直线的交点坐标为 和 ；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线ymx14m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值

2227时，4

求m的值．

【答案】（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）①m的值为﹣

2；②m=﹣2． 2【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．

【解析】（1）∵yx14，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）

2x0x1yx14﹣4，即y=x﹣3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得：，解得：或，

y3y4yx32∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）； （2）①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，联立抛

2x1x2ymx14m物线与伴随直线的解析式可得：，解得：或，∴A（1，﹣4m），

y4my3mymx5mB（2，﹣3m），在ymx14m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0），∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=

22（抛物线2开口向下，舍去）或m=﹣

22，∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣； 22

②设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），∴2kb3mkm，解得：，∴

kb0bm直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，∵点P的横坐标为x，∴P（x，m

22

（x﹣1）﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，∴PQ=m（x﹣1）﹣4m+mx+m=m

1312271×[（2﹣（﹣1）]PQ=(x)m，∴当x=时，△PBC2228227272727的面积有最大值m，∴S取得最大值时，即m=，解得m=﹣2．

8484（x2﹣x﹣2）=m[(x)]，∴S△PBC=

21294

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

考点：二次函数综合题；新定义；动点型；压轴题．

93．（2017黄冈，第23题，12分）月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．） （1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

（2）求出第一年这种电子产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润z（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）

的取值范围．

0160 (4x8) (4x8)【答案】（1）yx；（2）zx，当每件的销售价格定为

x232x272(8x28)x28(8x28)16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元；（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元． 【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，zmax=﹣80；当x=16时，zmax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．

（3）根据第二年的年利润z=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令z=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出z与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．

【解析】（1）当4≤x≤8时，设y

k

，将A（4，40）代入得k=4×40=160，∴y与x之间的函数关系式为x

y160； x当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得：与x之间的函数关系式为y=﹣x+28．

8k'b20k'1，解得：，∴y

28k'b0b28160 (4x8)综上所述，yx；

x28(8x28)（2）当4≤x≤8时，z=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）•增大，∴当x=8时，zmax=1600﹣160=，∵当4≤x≤8时，z随着x的增大而xx0=﹣80； 8当8＜x≤28时，z=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，∴当x=16时，zmax=﹣16；

∵﹣16＞﹣80，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．

0 (4x8)综上所述：zx．当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为

x232x272(8x28)﹣16万元

（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，∴16万元应作为第二年的成本，又∵x＞8，∴第二年的年利润z=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令z=103，则103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图可得：

观察示意图可知，当z≥103时，11≤x≤21，∴当11≤x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元． 点睛：本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．

考点：反比例函数的应用；二次函数的应用；分段函数；最值问题；数形结合；分类讨论；压轴题． 94．（2017湖南省张家界市，第23题，10分）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．

（1）求c1的解析式；

（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；

（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．

【答案】（1）yx2x3；（2）

221；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n＜3；（4）（﹣5，0）或（3﹣42，40）或（3+42，0）或（﹣1，0）．

【分析】（1）设抛物线c1的解析式为ya(x1)4，把D（0，3）代入ya(x1)4即可得到结论； （2）解方程组得到x3xm30，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；

（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：yx2x3，根据图象即可刚刚结论； （4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB的长，①当AP=AB，②当AB=BP=42时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．

【解析】（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为ya(x1)4，把D（0，3）代入ya(x1)4得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：y(x1)4，即yx2x3；

22222222yx22x32（2）解得x3xm30，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，

yxm∴m=

21； 4（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：yx2x3，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点； ②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点； ③当3＜n＜4或n＜3时，l2与c1和c2共有四个交点；

22（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB=4(13) =42：

2①当AP=AB=42时，PB=8，∴P1（﹣5，0）；

②当AB=BP=42时，P2（3﹣42，0）或P3（3+42，0）；

③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0）．

综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．

点睛：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，函数的交点问题，解决本题关键是进行分类讨论．

考点：二次函数综合题；分类讨论；轴对称的性质；压轴题．学.科.网

95．（2017湖南省永州市，第25题，12分）如图，已知抛物线yaxbx1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．

（1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y=k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1k2=﹣1． 解决问题：

①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；

②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．

2

【答案】（1）y51211（2）①m=；②P的坐标（6，﹣14）或（4，﹣5）；（3）． xx1；

5223【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；

（3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值．

1aab101212【解析】（1）将A，B点坐标代入，得：，解得：，抛物线的解析式为 yxx1；122ab10b2（2）①由直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，得 3m=﹣1，即m=； ②AB的解析式为y1311x，当PA⊥AB时，PA的解析式为y=﹣2x﹣2，联立PA与抛物线，得： 22121x1x6yxx1，解得：（舍），，即P（6，﹣14）； 22y0y14y2x2121x1yxx1当PB⊥AB时，PB的解析式为y=﹣2x+3，联立PB与抛物线，得：，解得：（舍），22y1y2x3x4，即P（4，﹣5）． y5综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）或（4，﹣5）； （3）如图，∵M（t，121111211tt1），Q（t，t），∴MQ=t，S△MAB=MQ|xB﹣xA 2222222

=

11211211（t）×2=t，当t=0时，S取最大值，即M（0，1）． 22222251=． 55由勾股定理，得：AB=(11)212=5，设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得：h=点M到直线AB的距离的最大值是

5． 5

点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用垂线间的关系得出直线PA，或PB的解析式，又利用解方程组；解（3）的关键是利用三角形的底一定时面积与高成正比得出最大面积时高最大．

考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；最值问题；二次函数的最值；压轴题． 96．（2017湖南省湘潭市，第25题，10分）已知抛物线的解析式为y12xbx5． 20（1）当自变量 x≥2时，函数值y 随 x的增大而减少，求b 的取值范围；

（2）如图，若抛物线的图象经过点A（2，5），与x 轴交于点C，抛物线的对称轴与x 轴交于B． ①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点P，使得∠PAB=∠ABC？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b≤

11212585xx5；②P（0，5）或P（，）；（2）①y．

52010336【分析】（1）由题意可知：对称轴只需要小于或等于2即可，从而可求出b的范围； （2）①将A代入抛物线解析式即可求出b的值．

②由于∠PAB=∠ABC，且P在抛物线上，故需要对P的位置进行分类讨论即可．

【解析】（1）抛物线的对称轴为：x=10b，由题意可知：x≥2时，函数值y 随 x的增大而减少，∴10b≤2，∴b≤

1； 511×4+2b+5，∴b=，∴抛物线的解析式为：2010（2）①将A（2，5）代入抛物线的解析式中，∴5=﹣

y121xx5； 2010②由于∠PAB=∠ABC，当P在对称轴的左侧时，此时∠PAB=∠ABC，∴PA∥BC，∴P的纵坐标与A的纵坐标相同，∴P（0，5），当P在对称轴的右侧时，连接AP并延长交x轴于E，此时∠PAB=∠ABC

∴AE=BE，过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，过点E作EF⊥AB于点F，∵B（1，0），A（2，5），∴AG=5，BG=1，∴由勾股定理可知：AB=26，∵AE=BE，EF⊥AB，∴BF=

261AB=，∵

22cos∠ABC=设P（x，2626BGBFAG5=，∴cos∠ABC==，∴BE=13，∴GE=BE﹣BG=12，∴tan∠PEG= =，AB26BE26GE12PH5121121，∵E（14，0），∴HE=14﹣x，PH=∴tan∠PEG==，xx5）xx5，

HE122010201011x2x5525258510即20=，解得：x=2（舍去）或x=，∴P（，）． 12333614x2585综上所述:P（0，5）或P（，）．

336

点睛：本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识． 考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；压轴题．

97．（2017湖南沙市，第24题，9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．

（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

【答案】（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）v=10m+17500（80≤m≤125）；（3）当a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元．

【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题； （2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；

（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题． 【解析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元． 由题意：

1600075002，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解． x10x答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元． （2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．

由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；

（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：

①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元． ②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．

③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，∴当a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元．

点睛：本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．

考点：一次函数的应用；分式方程的应用；最值问题；压轴题．

98．（2017湖南沙市，第25题，10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另

外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；

（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线yax3bx3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”； ②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（

2k

（k为常数，k≠0）的图象上，且这三x

cb，）与原点O的距离OP的取值范围． aa210≤OP≤且OP≠1． 22【答案】（1）不能；（2）t的值为﹣4、﹣2或2；（3）①证明见解析；②【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；

（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值； （3）①由直线解析式可求得x1=﹣可求得x1x2c，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系bbc，x1x2，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=aabb﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值范围，令m=，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次

aa函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．

（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数yy2、y3均不为0，且y1=

k

（k为常数，k≠0）的图象上，∴y1、x

1t1kkt11kt3，y2=，y3=，∴=， =， =，∵y1，y2，y3构成“和

yyytt1kkt3k123谐三组数”，∴有以下三种情况： 当

111tt1t3=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4； y1y2y3kkk

当

111t1tt3=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2； y2y1y3kkk111t3tt1=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2； y3y1y2kkk当

∴t的值为﹣4、﹣2或2；

（3）①∵a、b、c均不为0，∴x1，x2，x3都不为0，∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），

c，联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，bb∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴x1x2，

ab11xxcb1x1x2，∴=23 =a =﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

cx2x3x2x3acx1a∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣

②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得解得﹣

a2b，

5b3a5b1cbcbab2bbb＜＜，∵P（，），∴OP2=（）2+（）2=（）+（）2=2（）2+2+1=23a2aaaaaaaab11b51115（+）2+，令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜m＜﹣a22a322231511113时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大值，当m=﹣时，OP2有最小值，当﹣2322225111151＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小值，当m=时，OP2有最大值，∴

222222≤OP2≤

2105且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP≤且OP≠1．

222点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在（3）①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在（3）②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．

考点：二次函数综合题；新定义；最值问题；分类讨论；压轴题．

99．（2017白银，第28题，10分）如图，已知二次函数yaxbx4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

2

（1）求二次函数yaxbx4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

2

【答案】（1）y1231（2）N（3，0）；（3）OM=AC． xx4；

424AM，则可用n表示出△AMNAB1AB，在Rt△AOB和Rt△AOC2【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得

的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标； （3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=

中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系． 【解析】

（1）将点B，点C的坐标分别代入yaxbx4可得

2，解得，∴二次函数的表

达式为y123xx4； 42123xx4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，42（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n． ∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y∴S△ABN=

S11AMNC8nAM8nBN•OA=（n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴==，∴AMN ==，

SABN22ABBC10AB10∴SAMN=

8n111SABN=(8n)(n2) =(n3)25，∵＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△10555AMN的面积最大；

1AB，∵AB=OA2OB2 211=164=25，AC=OC2OA2=16=45，∴AB=AC，∴OM=AC．

24（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM=

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

考点：二次函数综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；探究型；和差倍分；压轴题．

100．（2017贵州省毕节市，第27题，16分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

【答案】（1）yx3x4；（2）P（面积为8．

【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；

（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．

2317，﹣2）；（3）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大2

abc02【解析】（1）设抛物线解析式为yaxbxc，把A、B、C三点坐标代入可得：16a4bc0，解

c4a12得：b3，∴抛物线解析式为yx3x4；

c4（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=2）；

（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=

317317317（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣22211111PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t22222﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；压轴题．学.科.网

101．（2017贵州省黔南州，第26题，12分）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC． （1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y127（2）S=﹣8t2+32t+32，当t=2时，S有最大值，且最大值为；（3）Hxx4；

22（

771279，11），（，）．

222【分析】（1）由于A（8，0），D（﹣1，0），故设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣8），将B（0，4）代入即可求得a，进而求得抛物线的解析式为；

（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值；

1PQ•OA）求得，21x+4，直线BH：y=2x+4，2779于是得到H（，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x

222（3）根据已知条件得到∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°时，求得直线AB：y=﹣轴于G，根据相似三角形的性质得到HN=47971279（负值舍去），于是得到H（，）．

222【解析】（1）∵A（8，0），D（﹣1，0），设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣8），将B（0，4）代入得﹣8a=4，∴a=﹣

11127，∴抛物线的解析式为y(x1)(x8)，即yxx4 ； 2222（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：

1x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）211﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+；∴当

22y=﹣

t=2时，S有最大值，且最大值为；

1877=，∵直线x=垂直x轴，∴∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°2221时，由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4，所以，直线BH可设为：y=2x+h，代入B（0，4），

277得：h=4，∴直线BH：y=2x+4，当x=时，y=11，∴H（，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称

2279轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x轴于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，

229AGHG63HG∴△AHG∽△BHN，∴，∴2，∴HN（HN+4）=，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解7HNBN4HN2（3）存在，∵抛物线的对称轴为：x=得：HN=

47971279771279（负值舍去），∴H（，），综上所述，H（，11），（，）．

222222

点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

考点：二次函数综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；存在型；分类讨论；压轴题． 102．（2016湖北省荆州市）已知在关于x的分式方程

k12①和一元二次方程 x1(2k)x23mx(3k)n0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1(x1k)x2(x2k)(x1k)(x2k)，且k为负整数时，试判断m2是否成立？请说明理由．

【答案】（1）k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）当m=1时，整数根为0，3；当m=﹣1时，整数根为1，2；（3）

m2不成立．

【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；

（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．

（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．

（3）m2不成立，理由是：

由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，∵k是负整数，∴k=﹣1，(2k)x3mx(3k)n0且方程有两

23m3k4m，x1x2，∵x1(x1k)x2(x2k)(x1k)(x2k)，k22k342222222∴x1x2x1x2k，(x1x2)3x1x2k0，(m)310，m5，m=5，∴m23个实数根x1、x2，∴x1x2不成立．

考点：根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解；综合题．

103．（2016四川省攀枝花市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，

垂足为点B，反比例函数y（1）求反比例函数y

k

（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3． x

k

的解析式； x

（2）求cos∠OAB的值；

（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．

【答案】（1）y

241；（2）；（3）yx3．

2x2【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；

（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论； （3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．

【解析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，∴点C的坐标为（2，

3m）． 2k4mm1k∵点C、点D均在反比例函数y的函数图象上，∴，解得：，∴反比例函数的3mxk2k42解析式为y

4

． x

（2）∵m=1，∴点A的坐标为（4，4），∴OB=4，AB=4．

在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，∴OA=OB2AB2=42，cos∠OAB=（3））∵m=1，∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．

2AB4=． OA422

122aba设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：2，∴经过C、D两点的

14abb3一次函数解析式为y1x3． 21k

x+b的图象与反比例函数y（x＜0）的图象交于点2x

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征． 104．（2016广西贵港市）如图，已知一次函数y=A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标； （2）当

1kxb时，请直接写出x的取值范围． 2x

【答案】（1）C（0，

17）；（2）x＜﹣4或﹣1＜x＜0． 10【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论； （2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

【解析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y＜0）；

k2（x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y（xxx

∵一次函数y=

11515x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣+b，解得：b=，∴一次函数解析式为yx．联2222215yxx4x122立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，∴点A1，或2yy2y2x的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，

1）． 2∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有

3m2mn31731710，解得：，∴直线A′B的解析式为．令yxyx1101010104mnn17210∴点C的坐标为（0，

中x=0，则y=

17，1017）． 10（2）观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当

152x时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0． 22x考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．

105．（2016江苏省南京市）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的的图象．

类似地，我们可以认识其他函数．

1倍，纵坐标不变，得到函数y=2x216的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数y的图象；也xx16

可以把函数y的图象上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y的图象．

xx

1（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④

21纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，

2（1）把函数y纵坐标不变．

（Ⅰ）函数yx的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象；

2（Ⅱ）为了得到函数y1(x1)22的图象，可以把函数yx2的图象上所有的点 ． 4

A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ （3）函数y

12x1的图象可以经过怎样的变化得到函数y的图象？（写出一种即可） x2x413的图象先将纵坐标变为原来的x232x1倍，横坐标不变，得到y；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y的图

2x2x4【答案】（1）6，6；（2）（Ⅰ）y4(x1)2；（Ⅱ）D；（3）函数y

2

象．

【分析】（1）根据阅读材料中的规律即可求解；

（2）根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解； （3）首先把函数解析式变为y32x12x431，然后根据（2）的规律即可求解． ==

2(x2)2x42x41y'的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，设y′=6y，x′=x，将y=，x666

x=x′带入xy=1可得y′=，得到函数y的图象；

x'x1

也可以把函数y的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，设y′=y，x′=6x，将y=y′，

x

x'66x=带入xy=1可得y′=，得到函数y的图象； 6x'x6

得到函数y的图象．

x

【解析】（1）把函数y（2）（Ⅰ）函数yx的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到

2y4x2的图象；y4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y4(x1)2的图象；y4(x1)2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y4(x1)22的图象．

（Ⅱ）为了得到函数y4(x1)2的图象，可以把函数yx的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到yx2的图象，再把yx2的图象向右平移

2222112个单位长度，得到y(x)2的22

图象；最后把y(x)2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y(x)2的图象，即

122121221y(x1)22的图象．

4（3）∵y32x12x43131，∴函数y的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐==

2(x2)2x42x4x2标不变，得到y32x1；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y的图象． 2x2x4k

（k＞0）的图象上，经x

考点：二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质；阅读型；综合题． 106．（2016江苏省泰州市）如图，点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D． （1）若m=2，求n的值； （2）求m+n的值；

（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．

【答案】（1）n=﹣2；（2）0；（3）y=x+2． 【分析】（1）先把A点坐标代入y入y

k8求出k的值得到反比例函数解析式为y，然后把B（﹣4，n）代xx8

可求出n的值； x

AEmBFn，tan∠BOF=，OE4OF4（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k，﹣4n=k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值； （3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE=则

mn()1，加上m+n=0，于是可解得m=2，n=﹣2，从而得到A（2，4），B（﹣4，﹣2），然后利用44k8

得k=2×4=8，所以反比例函数解析式为y，xx

待定系数法求直线AB的解析式．

【解析】（1）当m=2，则A（2，4），把A（2，4）代入y把B（﹣4，n）代入y

8

得﹣4n=8，解得n=﹣2； x

（2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y4m+4n=0，即m+n=0；

（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，在Rt△AOE中，tan∠AOE=tan∠BOF=

k（k＞0）的图象上，所以4m=k，﹣4n=k，所以xAEm，在Rt△BOF中，OE4BFnmn，而tan∠AOD+tan∠BOC=1，所以()1，而m+n=0，解得m=2，n=﹣2，则OF444A（2，4），B（﹣4，﹣2），设直线AB的解析式为y=px+q，把A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入得：2pq4，

4pq2解得：p1，所以直线AB的解析式为y=x+2．

q2

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．学.科.网

107．（2016四川省泸州市）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元；（2）有两种方案：方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．

【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．

60x30y108050x20y880，解得：

【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：x16y4．

答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．

m2m43216m4(2m4)296，

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：解得：12≤m≤13，∵m是整数，∴m=12或13，故有如下两种方案：

方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件； 方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件． 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

108．（2016四川省达州市）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

餐桌 餐椅 原进价（元/张） a a﹣110 零售价（元/张） 270 70 成套售价（元/套） 500元

已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同． （1）求表中a的值；

（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？

【答案】（1）a=150；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元；（3）20．

【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；

（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；

（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解析】（1）由题意得

600160，解得a=150，经检验，a=150是原分式方程的解； aa110（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元． 由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．

∵a=150，∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张． 依题意可知： W=

111x•（500﹣150﹣4×40）+x•（270﹣150）+（5x+20﹣x•4）•（70﹣40）=245x+600，∵k=245＞0，222∴W关于x的函数单调递增，∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950． 故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．

（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，设本次成套销售量为m套．

依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m）×（270﹣160）+（170﹣4m）×（70﹣50）=7950﹣2250，即6700﹣50m=5700，解得：m=20． 答：本次成套的销售量为20套．

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；最值问题．

109．（2016广东省茂名市）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

“读书节”活动计划书 书本类别 进价（单位：元） A类 18 B类 12 1、用不超过16800元购进A、B两类图书共备注 1000本； 2．A类图书不少于600本； …

（1）陈经理查看计划数时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用0元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，

A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．

【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x，然后根据题意列出方程，求解即可．

（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5），由题意得：

18t12(1000t)16800，解得：600≤t≤800，则总利润w=（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）=t600（9﹣a）t+6（1000﹣t）=6000+（3﹣a）t；

故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t=800时，总利润最大； 当3≤a＜5时，3﹣a＜0，t=600时，总利润最大；

答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大． 考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．

110．（2016江苏省盐城市）某地拟召开一场安全级别较高的会议，预估将有4000至7000名人员参加会议，为了确保会议的安全，会议组委会决定对每位入场人员进行安全检查，现了解到安检设各有门式安检仪和手持安检仪两种：门式安检仪每台3000元，需安检员2名，每分钟可通过10人；手持安检仪每只500元，需安检员1名，每分钟可通过2人，该会议中心共有6个不同的入口，每个入口都有5条通道可供使用，每条通道只可安放一台门式安检仪或一只手持安检仪，每位安检员的劳务费用均为200元．（安检总费用包括安检设备费用和安检员的劳务费用）

现知道会议当日人员从上午9：00开始入场，到上午9：30结束入场，6个入口都采用相同的安检方案，所有人员须提前到达并根据会议通知从相应入口进入．

（1）如果每个入口处，只有2个通道安放门式安检仪，而其余3个通道均为手持安检仪，在这个安检方案下，请问：在规定时间内可通过多少名人员？安检所需要的总费用为多少元？

（2）请你设计一个安检方案，确保安检工作的正常进行，同时使得安检所需要的总费用尽可能少． 【答案】（1）在规定时间内可通过4680名人员，安检所需要的总费用为53400元；（2）每个入口处，有4个通道安放门式安检仪，而其余1个通道均为手持安检仪，安检所需要的总费用最少．． 【分析】（1）依题意直接列式计算即可；

（2）设设每个入口处，有n个通道安放门式安检仪，而其余（5﹣n）个通道均为手持安检仪（0≤n≤5的整数），根据题意列出不等式求出安检方案，用总费用函数关系式确定出 安检所需要的总费用最少的方案．

【解析】（1）根据题意，得（10×2+2×3）×6×30=4680（名）

安检所需要的总费用为：（2×3000+2×2×200+3×500+3×1×200）×6=53400（元）． 答：在规定时间内可通过4680名人员，安检所需要的总费用为53400元．

（2）设每个入口处，有n个通道安放门式安检仪，而其余（5﹣n）个通道均为手持安检仪（0≤n≤5的整数），根据题意得，[10n+2（5﹣n）]×6×30≥7000，解不等式得，n≥3.5，∵0≤n≤5的整数，∴n=4或n=5；

安检所需要的总费用：w=[3000n+2n×200+500（5﹣n）+（5﹣n）×1×200]×6=16200n+21000 当n越小，安检所需要的总费用越少，∴n=4时，安检所需要的总费用最少，为85800．

即：每个入口处，有4个通道安放门式安检仪，而其余1个通道均为手持安检仪，安检所需要的总费用最少．

考点：一元一次不等式组的应用；最值问题；方案型．

111．（2016湖北省荆门市）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于160元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

【答案】（1）W=140x+120（0＜x≤30）；（2）有3种不同的调运方案，具体见解析；（3）从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．

【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x吨，B城运往D乡的化肥为40﹣（34﹣x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．

（2）根据题意得140x+120≥160求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可； （3）根据题意得到W=（140﹣a）x+120，所以当a=200时，y最小=﹣60x+120，此时x=30时y最小=10740元．于是得到结论．

【解析】（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+120（0＜x≤30）；

（2）根据题意得140x+120≥160，∴x≥28，∵x≤30，∴28≤x≤30，∴有3种不同的调运方案． 第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从B城调往C城6台，调往D城34台； 第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从B城调往C城5台，调往D城35台； 第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城36台，（3）W=（250﹣a）x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=（140﹣a）x+120，所以当a=200时，y最小=﹣60x+120，此时x=30时y最小=10740元．

此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台． 考点：一次函数的应用；一元一次不等式的应用．

112．（2016湖北省随州市）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．

时间x（天） 每天销售量p（件） 1 198 30 140 60 80 90 20

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

22x180x2000 (0x50，且x为整数)【答案】（1）w；（2）销售第45天时，当天获得的销

120x12000 (50x90，且x为整数)

售利润最大，最大利润是6050元；（3）24天．

【分析】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

【解析】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b

b40k1经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；

50kb90b40当50＜x≤90时，y=90，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x40 (0x50，且x为整数)90 (50x90，且x为整数)．

由可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴60mn80m2，解得：，

30mn140n200∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=2x180x2000；

当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000． 综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是

22x2180x2000 (0x50，且x为整数)w．

120x12000 (50x90，且x为整数)2（2）当0≤x≤50时，w=2x180x2000=2(x45)6050，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45

2时，w取最大值，最大值为6050元．

当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．

∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3）当0≤x≤50时，令w=2x180x2000≥5600，即2x180x3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；

当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+00≥0，解得：50＜x≤53＜x≤53，53﹣50=3（天）．

综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元． 考点：二次函数的应用；一元一次不等式的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；综合题． 113．（2016辽宁省抚顺市）有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1（万

2元）与投资成本x（万元）满足如图①所示的二次函数y1ax；种植柏树的利润y2（万元）与投资成本x

221，∵x为整数，∴503（万元）满足如图②所示的正比例函数y2=kx．

（1）分别求出利润y1（万元）和利润y2（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；

（2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？ 【答案】（1）y1121（2）苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润． x，y2x；

162【分析】（1）利用待定系数法求两个函数的解析式；

（2）根据总投资成本为10万元，设种植桃树的投资成本x万元，总利润为W万元，则种植柏树的投资成本（10﹣x）万元，列函数关系式，发现是二次函数，画出函数图象，找出当2≤x≤8时的最小利润和最大利润．

2【解析】（1）把（4，1）代入y1ax中得：

16a=1，a=

112x． ，∴y11616把（2，1）代入y2=kx中得：

2k=1，k=

11，∴y2x； 22（2）设种植桃树的投资成本x万元，总利润为W万元，则种植柏树的投资成本（10﹣x）万元，则

1211x(10x)=(x4)24，由图象得：当2≤x≤8时，当x=4时，W有最小值，W小162161=4，当x=8时，W有最大值，W大=（8﹣4）2+4=5．

16W=y1y2=

答：苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润．

考点：二次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题． 114．（2016辽宁省沈阳市）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？

（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？

【答案】（1）购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套；（2）34套．

【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A，B两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；

（2）设购买A型号健身器材m套，根据：A型器材总费用+B型器材总费用≤18000，列不等式求解可得．

xy50【解析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据题意，得：，310x460y20000解得：x20．

y30答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．

（3）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33为整数，∴m的最小值为34．

答：A种型号健身器材至少要购买34套．

考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；方案型；最值问题．学.科.网

115．（2016重庆市）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元．5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的的总金额比5月20日提高了【答案】（1）25；（2）20．

【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可． 【解析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元； 根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25． 答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元； （2）设5月20日两种猪肉总销量为1；

1，∵m33，两种猪肉销售41a%，求a的值． 10311（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣44103112y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5yy0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则

4410根据题意得：40（1﹣a%）×a%=0.2，∴a=20； 答：a的值为20．

考点：一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用；销售问题．

116．（2016黑龙江省牡丹江市）某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：

（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；

（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．

【答案】（1）每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；（2）W=三种购买方案．

【分析】（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，根据用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，可列分式方程求解；

（2）根据所获利润W=A种蔬菜出售所获利润+B种蔬菜出售所获利润，列出函数解析式并化简即可； （3）先根据A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，求得a的取值范围，再根据一次函数W=性质，求得最大利润，最后根据电脑的价格判断购买电脑的方案数量．

【解析】（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，依题意得：

1（3）有a7；

61a7的.56，解得x=1.5，经检验：x=1.5是原方程的解，∴x+0.5=2． xx0.5答：每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；

a14a1+（3﹣2）×=a7，∴所获利润W（万元）与购买A1.5261种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式为：W=a7；

6a14a1（3）当≥时，a≥6，∵在一次函数W=a7中，W随着a的增大而减小，∴当a=6时，W

1.526（2）根据题意得，W=（2﹣1.5）×

有最大值，W的最大值为﹣1+7=6（万元），设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则2100a+2700b=60000，∵a和b均为整数，∴有三种购买方案．

考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；方案型；最值问题． 117．（2016黑龙江省龙东地区）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元．

（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．

（2）学校为了响应习总“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9

折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

【答案】（1）购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元；（2）有三种方案，具体见解析；（3）3150元．

【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；

（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．

【解析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，依题意得：50x25y4500，

yx30x50解得：．

y80答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，依题意得：

(504)m800.9(50m)450070%，解得：25≤m≤27． 50m3故这次学校购买足球有三种方案：

方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．

（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4=（元），B种足球单价为80×0.9=72（元），∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多，∴25×+25×72=3150（元）． 答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用；方案型；最值问题．

118．（2016四川省雅安市）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y点C（1，a）．

（1）试确定双曲线的函数表达式；

（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．

k

交于x

【答案】（1）y

47；（2）y=﹣x+3；（3）≤S△AMN＜4． x8【分析】（1）令x=1代入一次函数y=x+3后求出C的坐标，然后把C代入反比例函数解析式中即可求出k的值；

（2）设直线l2与x轴交于D，由题意知，A与D关于y轴对称，所以可以求出D的坐标，再把B点坐标代入y=ax+b即可求出直线l2的解析式；

（3）设M的纵坐标为t，由题意可得M的坐标为（3﹣t，t），N的坐标为（

44，t），进而得MN=+t﹣3，tt又可知在△ABM中，MN边上的高为t，所以可以求出S△AMN与t的关系式．

（3）设M（3﹣t，t），∵点P在线段AC上移动（不包括端点），∴0＜t＜4，∴PN∥x轴，∴N的纵坐标为

44444，∴x=，∴N的坐标为（，t），∴MN=﹣（3﹣t）=+t﹣3，过点A作AE⊥PNxtttt1141231327于点E，∴AE=t，∴S△AMN=AE•MN=t（+t﹣3）=tt2=(t)．

22t2222833由二次函数性质可知，当0≤t≤时，S△AMN随t的增大而减小，当＜t≤4时，S△AMN随t的增大而增大，

22377∴当t=时，S△AMN可取得最小值为，当t=4时，S△AMN可取得最大值为4，∵0＜t＜4，∴≤S△AMN＜4．

288t，把y=t代入y

考点：反比例函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；综合题．

119．（2016山东省济南市）如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y的图象经过点A（1，4）．

（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；

（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP． ①求△AOP的面积；

②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条

m（x＞0）x

件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y

41040（x＞0），B（6，4）；（2）①3；②M（2，0）或（，）． x1717【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；

（2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y=2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论； ②假设存在，以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，通过解直角三角形和勾股定理求出点M1、M2的坐标，此题得解． 【解析】（1）∵反比例函数y为y

m（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴m=1×4=4，∴反比例函数的关系式x4

（x＞0）． x

∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC=5，点A（1，4），∴点C（5，0），点B（6，4）． （2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．

∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（令y

11，2）． 2411731中y=2，则x=2，∴点P（2，2），∴PD=﹣2=，EP=ED﹣PD=，∴S△AOP=EP•（yA﹣yO）x222213=××（4﹣0）=3． 22②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示． ∵点P（2，2），O（0，0），∴点M1（2，0）；

∵点A（1，4），点O（0，0），∴直线OA的关系式为y=4x．

222设点M（4n），OM2=17n，OP=22，PM2=17n220n8，∵∠OM2P=90°，∴OM2PM2OP，2n，

即17n17n20n88，解得：n=

22101040，或n=0（舍去），∴点M2（，）． 171717

故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（

10，1740）． 17

考点：反比例函数综合题；分类讨论；综合题． 120．（2016内蒙古呼和浩特市）已知反比例函数y

k

的图象在二四象限，一次函数为y=kx+b（b＞0），直x

线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，与直线y=kx+b交于点D． （1）若点A，D都在第一象限，求证：b＞﹣3k；

（2）在（1）的条件下，设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F，当时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式

ED327且△OFE的面积等于EA42kkxb的解集． x【答案】（1）证明见解析；（2）y【分析】（1）由反比例函数y

9859851＜x＜0或x＞． x3，223k

的图象在二四象限，得到k＜0，于是得到一次函数为y=kx+b随x的增大x

而减小，根据A，D都在第一象限，得到不等式即可得到结论； （2）根据题意得到

3kb31b27由三角形的面积公式得到S△OEF=()b联立方程组解得k=﹣，，

kb42k2k

的图象在二四象限，∴k＜0，∴一次函数为y=kx+b随x的增大而x

b=3，即可得到结论．

【解析】（1）证明：∵反比例函数y

减小，∵A，D都在第一象限，∴3k+b＞0，∴b＞﹣3k；

EDCD3kb3b1b27 ①，∵E（，0），∴，F（0，b），∴S△OEF=()b EAABkb4k2k21111x3，②，由①②联立方程组解得：k=，b=3，∴这个一次函数的解析式为yx3，解333x3（2）由题意知：得x1=

985985985k

，x2=，∴直线y=kx+b与反比例函数y的交点坐标的横坐标是或222x

985985985，∴不等式＞kx+b的解集为＜x＜0或x＞． 222

考点：反比例函数综合题．学.科.网

121．（2016江苏省南通市）如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D． （1）求m的值；

（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；

k

（k＞0，x＞0）的图x

k

（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上x

PN1方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当时，求t的值．

PM4（3）若P为函数y

【答案】（1）m=2；（2）8；（3）t=

5． 2【分析】（1）根据平行四边形的性质确定出B的坐标从而确定出D的坐标，而点A，D在反比例函数图象上，建立方程求出m，（2）根据三角形OAD的面积是平行四边形OABC面积的一半，确定出n即可； （3）根据平行四边形的性质和双曲线的性质，确定出PM，ON即可． 【解析】（1）∵点C（3，0），▱OABC的顶点A（m，n），∴B（m+3，n），∴D（

mk

3，n），∵函数y2x

（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D，∴mn=k，(nm 3)k，∴m=2；

22（2）∵点D是平行四边形BC中点，∴S平行四边形OABC=2S△OAD=12，∵S平行四边形OABC=3×n=12，∴n=4，由（1）知，m=2，∴k=mn=8；

8888PN1t1，∴t=5．（3）如图，由（2）知，k=8，设P（t，），∴PM=，PN=n=4﹣，∵ ，∴

8tttPM424t4

考点：反比例函数综合题；综合题．

122．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x3x20的两个根（OA＞OC）．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2k（k≠0）的图象的一个分x

【答案】（1）A（﹣2，0），C（1，0）；（2）k=﹣2；（3）N的坐标为（或（

5555， 4）、（，4）

222253，）． 222【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x3x20即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；

（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；

（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标． 【解析】（1）∵x3x20，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x1=1，x2=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，∴直线CD的解析式为y=﹣x+1． ∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，∴点E的横坐标为﹣1． ∵点E为直线CD上一点，∴E（﹣1，2）． 将点E（﹣1，2）代入y

2kk（k≠0）中，得：2=，解得：k=﹣2． x1（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：

①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，∴B（0，4），∴ BE=

1122AB=24=5． 222525，m2=，2222∵四边形BEMN为菱形，∴EM=(m1)(m12)=BE=5，解得：m1=∴M（55525255，2）或（，2），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（， 4）

222222或（

55，4）；

222222②以线段BE为对角线时，MB=ME，∴(m1)(m12)=m(m14)，解得：m3=7，2

∴M（797953，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）． 2222225， 2综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（455553）、（，4）或（，）． 22222

考点：反比例函数综合题；分类讨论；存在型；压轴题．

123．（2016江苏省镇江市）如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D． （1）写出点D的坐标 ．

2（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2axbxc（a≠0）

的图象过点A．

2①试说明二次函数y2axbxc（a≠0）的图象过点B；

②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为

2时，二次函数y2axbxc（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；

y2ax③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2（）x﹣4）、

2bxc（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．

【答案】（1）（3，﹣1）；（2）①证明见解析；②（32，1）、（32，1）或（3，﹣1）；③1． 【分析】（1）利用配方法将二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）变形为顶点式，由此即可得出结论；

2（2）①由点P在对称轴l上，可得出二次函数y2axbxc的图象的对称轴为直线l，再结合点A、B22关于对称轴l对称，二次函数y2axbxc（a≠0）的图象过点A，即可得出二次函数y2axbxc（a≠0）的图象过点B；

2②由二次函数y2axbxc（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，即可得出d=1，再

令二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）中y1=±1求出x值，即可得出结论；

③设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），由此即可得出

HN22，HQ213根据相似三角形的性质即可得出

HNHG2KG1，再根据对称性可得出，则G，设KG=t（t＞0）HQHE3KE2的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由此即可得出关于m、t的二元一次方程组，解方程组即可求出m值．

2【解析】（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x6x8=(x3)1，∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．

2故答案为：（3，﹣1）．

（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，∴点P的坐标为（3，2），∴二次函数y1=（x

2﹣2）（x﹣4）与y2axbxc的图象的对称轴均为x=3，∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数

y2ax2bxc（a≠0）的图象过点B．

2②∵二次函数y2axbxc的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，∴

2d=2，解得：d=1．

22令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x6x8中y1=±1，即x6x8=±1，解得：x1=32，x2=32，x3=3，

∴点R的坐标为（32，1）、（32，1）或（3，﹣1）． 故答案为：（32，1）、（32，1）或（3，﹣1）．

2③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数y2axbxc（a≠0）的图象的对

称轴．

2∵二次函数y2axbxc过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），∴二次函数y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴

HNHN22． =2，即

HQ213QNHNHG2． HQHE3∵△GHN∽△EHQ，∴

∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=

1KG1HG，∴． 2KE22(3t2)(3t4)m设KG=（tt＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由题意得：，

(32t2)(32t4)m22tt解得：． 2（舍去）2或m1m1故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．

考点：二次函数综合题；综合题．

124．（2016山东省淄博市）已知，点M是二次函数yax（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为（1）求a的值；

（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；

（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．

21），4a1． 8

【答案】（1）a=1；（2）M1（析．

11111111，），Q1（，）或M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）证明见解2448244811），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题． 84a12（2）设M（t，t），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问

8【分析】（1）设Q（m，题．

（3）设M（n，n）（n＞0），则N（n，0），F（0，

21），利用勾股定理求出MF即可解决问题． 4

考点：二次函数的应用．

125．（2016山东省潍坊市）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

【答案】（1）25；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．

【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；

（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．

【解析】（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；

（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，∵y1随x的增大而增大，∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900； 当x＞100时，y2=（50﹣

x1001212）x﹣1100=x70x1100=(x175)5025 555

当x=175时，y2的最大值为5025，5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．

考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．

126．（2016江苏省南京市）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=（1）求点P的坐标；

（2）水面上升1m，水面宽多少（2取1.41，结果精确到0.1m）？

13，tanβ=，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系． 22

【答案】（1）P（3，

3）；（2）2.8米． 2【分析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；

（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．

【解析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图． 设PH=3x，在Rt△OHP中，∵tanα=在Rt△AHP中，∵tanβ=的坐标为（3，

PH1，∴OH=6x． OH2PH313=，∴AH=2x，∴OA=OH+AH=8x=4，∴x=，∴OH=3，PH=，∴点PAH2223）； 2331）在抛物线y=ax（x﹣4）上，∴3a（3﹣4）=，解得a=，∴抛物线的解析式为222（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4），∵P（3，

1yx(x4)．

21当y=1时，x(x4)1，解得x122，x222，∴BC=（22）﹣（22）=22=2

2×1.41=2.82≈2.8．

答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．

考点：二次函数的应用；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

127．（2016浙江省丽水市）如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线

y124xx3的绳子． 105

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；

（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围． 【答案】（1）

1，47m；（2）2.1m；（3）4≤m≤822． 5【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；

（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长； （3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．

112417＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵yxx3=(x4)2，∴绳子最低101051057点离地面的距离为：m；

5【解析】（1）∵a=

（2）由（1）可知，BD=8，令x=0得y=3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：ya(x2)1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8=3，解得：a=0.3，∴抛物线F1为：y0.3(x2)1.8，当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，∴MN的长度为：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，∴抛物线F2的顶

22

1112，∴抛物线F2的解析式为：y(xm4)k，把C（8，3）代入得： m4，k）

24211111(8m4)2k3，解得：k(4m)23，∴k=(m8)23，∴k是关于m的二次函42421612数，又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，∴k随m的增大而增大，∴当k=2时，(m8)32，解

1612得：m14，m212（不符合题意，舍去），当k=2.5时，(m8)32.5，解得：m1822，

16点坐标为：（

，∴m的取值范围是：4≤m≤822． m2822（不符合题意，舍去）考点：二次函数的应用．学.科.网

128．（2016湖北省黄冈市）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：

1t30(1t24，t为整数)4p，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：

1t48(25t48，t为整数)2时间t（天） 日销售量y（kg） 1 118 3 114 6 108 10 100 20 80 30 40 … …

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】（1）y=120-2t，60；（2）在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元；（3）7≤n＜9． 【分析】（1）根据日销售量y（kg）与时间t（天）的关系表，设y=kt+b，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将t=30代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量． （2）日销售利润=日销售量×（销售单价－成本）；分1≤t≤24和25≤t≤48两种情况，按照题目中所给出的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式分别得出销售利润的关系式，再运用二次函数的图像及性质即可得出结果．

（3）根据题意列出日销售利润W=（

11t+30-20-n）（120-2t）= －t2+2（n+5）t+1200-n，此二次函数的对42称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大，2n+10≥24，即可得出n的取值范围．

【解析】（1）依题意，设y=kt+b，将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，得：100=10kbk2，解得： ，

8020kbb120∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系 y=120-2t．当t=30时，y=120-60=60． 答：在第30天的日销售量为60千克． （2）设日销售利润为W元，则W=（p-20）y． 当1≤t≤24时，W=（

112t+30-20）（120-2t）=(t10)1250 42122t+48-20）（120-2t）=t116t5760 =(t58)4 2当t=10时，W最大=1250． 当25≤t≤48时，W=（－

由二次函数的图像及性质知：当t=25时，W最大=1085．

∵1250＞1085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元． （3）依题意，得：W=（

112t+30-20-n）（120-2t）= t2(n5)t1200n ，其对称轴为y=2n+10，42要使W随t的增大而增大，由二次函数的图像及性质知：2n+10≥24，解得n≥7． 又∵n＜0，∴7≤n＜9．

考点：一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；二次函数的应用．

129．（2015来宾）过点（0，﹣2）的直线l1：y1kxb（k0）与直线l2：y2x1交于点P（2，m）． （1）写出使得y1y2的x的取值范围； （2）求点P的坐标和直线l1的解析式．

【答案】（1）x＜2；（2）P（2，3），． 【解析】

试题分析：（1）观察函数图象可得到当x＜2时，直线l1在直线l2的下方，则y1y2；

（2）先P（2，m）代入y2x1可求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式．

试题解析：（1）当x＜2时，y1y2；

（2）把P（2，m）代入y2x1得m=2+1=3，则P（2，3），

5k2kb3把P（2，3）和（0，﹣2）分别代入y1kxb得：，解得：2，所以直线l1的解析式为：

b2b2y15x2． 2考点：两条直线相交或平行问题．

130．（2015梧州）梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发，其中A品牌的批发价是每包20元，B品牌的批发价是每包25元，小王需购买A、B两种品牌的龟苓膏共1000包．

（1）若小王按需购买A、B两种品牌龟苓膏粉共用22000元，则各购买多少包？

（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000包龟苓膏粉，共用了y元，设A品牌买了x包，请求出y与x之间的函数关系式． （3）在（2）中，小王共用了20000元，他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉，每包龟苓膏粉小王需支付邮费8元，若每包销售价格A品牌比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？

【答案】（1）A 600包、B 400包；（2）y=﹣4x+20500；（3）24．

考点：1．一次函数的应用；2．综合题．

131．（2015河池）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．

（1）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；

（2）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）太阳花：y6x，绣球花：y=用最少，最少费用是700元．

10x (x20)；（2）太阳花30盆，绣球花60盆时，总费

8x40 (x20)

考点：1．一次函数的应用；2．最值问题；3．综合题；4．分段函数；5．分类讨论．

132．（2015常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．

（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；

（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？ 【答案】（1）m=9，n=1.8，y=1.8x+3.6（x＞3）；（2）不够．

考点：1．一次函数的应用；2．综合题；3．分段函数．

133．（2015徐州）为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量xm3之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系． （1）写出点B的实际意义； （2）求线段AB所在直线的表达式；

（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？

【答案】（1）图中B点的实际意义表示当用水25m3时，所交水费为90元；（2）y945x；（3）27． 22

考点：1．一次函数的应用；2．分段函数；3．综合题．

134．（2015泰州）已知一次函数y2x4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2． （1）当P为线段AB的中点时，求d1d2的值；

（2）直接写出d1d2的范围，并求当d1d23时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1ad24（a为常数），求a的值．

【答案】（1）3；（2）d1d22， P的坐标为（1，2）或（

72，）；（3）2． 33

（3）设P（m，2m﹣4），∴d1=2m4，d2=m，∵P在线段AB上，∴0≤m≤2，∴d1=4﹣2m，d2=m，∵d1ad24，∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0，∵有无数个点，∴a=2． 考点：1．一次函数综合题；2．分类讨论；3．综合题；4．压轴题．

135．（2014年贵州黔东南12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．

【答案】解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，

x305x3y231由题意得，解得.

y272x3y141答：件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元． （2）当0＜x≤20时，y=30x；

当x＞20时，y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180．

y30x0＜x20∴y与x的函数关系式.

y21x180x＞20（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具消费27x元，

当27x=21x+180，则x=30． ∴当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可． 当27x＞21x+180，则x＞30． ∴当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱． 当27x＜21x+180，则x＜30． ∴当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．

【考点】1．一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用；2．分类思想的应用．

【分析】（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；

（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；

（3）设购进玩具x件（x＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．

136．（2014年贵州黔南10分）已知某厂现有A种金属70吨，B种金属52吨，现计划用这两种金属生产M、N两种型号的合金产品共80000套，已知做一套M型号的合金产品需要A种金属0.6kg，B种金属0.9kg，可获利润45元；做一套N型号的合金产品需要A种金属1.1kg，B种金属0.4kg，可获利润50元．若设生产N种型号的合金产品大数为x，用这批金属生产这两种型号的合金产品所获总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）在生产这批合金产品时，N型号的合金产品应生产多少套，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：（1）y=50x+45（8000﹣x）=5x+360000，

由题意得，1.1x0.680000x70000，

0.4x0.980000x52000解不等式①得，x≤44000，解不等式②得，x≥40000， ∴不等式组的解集是40000≤x≤44000，

∴y与x的函数关系式是y=5x+360000（40000≤x≤44000）． （2）∵y=5x+360000中k=5＞0，∴y随x的增大而增大，

又∵40000≤x≤44000，∴当x=44000时，y最大=580000．

∴生产N型号的时装44000套时，该厂所获利润最大，最大利润是580000元．

【考点】1．一次函数和一元一次不等式组的应用；2．由实际问题列函数关系式；3．一次函数的性质． 【分析】（1）根据总利润等于M、N两种型号时装的利润之和列式整理即可，再根据M、N两种合金所用A、B两种金属不超过现有金属列出不等式组求解即可．

（2）根据一次函数的增减性求出所获利润最大值即可．学.科.网

137．（2014年黑龙江牡丹江10分）某工厂有甲种原料69千克，乙种原料52千克，现计划用这两种原料生产A，B两种型号的产品共80件，已知每件A型号产品需要甲种原料0.6千克，乙种原料0.9千克；每件B型号产品需要甲种原料1.1千克，乙种原料0.4千克．请解答下列问题： （1）该工厂有哪几种生产方案？

（2）在这批产品全部售出的条件下，若1件A型号产品获利35元，1件B型号产品获利25元，（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？

（3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进4千克，且购进每种原料的数量均为整数．若甲种原料每千克40元，乙种原料每千克60元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案．

【答案】解：（1）设生产A型号产品x件，则生产B型号产品（80﹣x）件，由题意，得

0.6x1.180x69，解得：38≤x≤40． 0.9x0.480x52∵x为整数，∴x=38，39，40． ∴有3种购买方案：

方案1，生产A型号产品38件，生产B型号产品42件； 方案2，生产A型号产品39件，生产B型号产品41件； 方案3，生产A型号产品40件，生产B型号产品40件． （2）设所获利润为W元，由题意，得W=35x+25（80﹣x）=10x+2000，

∵k=10＞0，∴W随x的增大而增大． ∴当x=40时．W最大=2400元．

∴生产A型号产品40件，B型号产品40件时获利最大，最大利润为2400元． （3）购买甲种原料9千克，乙种原料4千克．

【考点】1． 一元一次不等式组的应用；2．一次函数的应用；3．二元一次方程的应用．

【分析】（1）设生产A型号产品x件，则生产B型号产品（80﹣x）件，根据原材料的数量与每件产品的用

量建立不等式组，求出其解即可．

（2）设所获利润为W元，根据总利润=A型号产品的利润+B型号产品的利润建立W与x之间的函数关系式，求出其解即可．

（3）设购买甲种原料m千克，购买乙种原料n千克，由题意，得

40m+60n=2400×25%，即2m+3n=30． ∵m+n要最大，即

303n30n要最大，∴n要最小． n22∵m≥4，n≥4，且均为整数，∴n=4，m=9．

∴购买甲、乙两种原料之和最多的方案为：购买甲种原料9千克，乙种原料4千克．

138．（2014年黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑河10分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 【答案】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，

x25xy60则，解得．

y352x3y155答：甲材料每千克25元，乙材料每千克35元．

（2）设生产A产品m件，生产B产品（60﹣m）件，则生产这60件产品的材料费为

25×4m+35×1m+25×3（60﹣m）+35×3（60﹣m）=﹣45m+10800，

45m108009900由题意：，解得20≤m≤22．

60m38∵m为整数．∴m的值为20，21，22． ∴共有三种方案：

①生产A产品20件，生产B产品40件； ②生产A产品21件，生产B产品39件；

③生产A产品22件，生产B产品38件．

（3）设总生产成本为W元，加工费为：40m+50（60﹣m），

则W=﹣45m+10800+40m+50（60﹣m）=﹣55m+13800， ∵﹣55＜0，∴W随m的增大而减小，

而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低．

答：选择生产A产品22件，生产B产品38件，总成本最低．

【考点】1．二元一次方程组的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．一次函数的应用．

【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元，可列出方程组，解方程组即可解

（2）设生产A产品m件，生产B产品（60﹣m）件，先表示出生产这60件产品的材料费为﹣

45m+10800，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元得到﹣45m+10800≤9900，根据生产B产品不少于38件得到60﹣m≥38，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案．

（3）设总生产成本为W元，加工费为：40m+50（60﹣m），根据成本=材料费+加工费得到W=﹣

45m+10800+40m+50（60﹣m）=﹣55m+13800，根据一次函数的性质得到W随m的增大而减小，然后把m=22代入，即可得到最低成本的生产方案．

139．（2014年黑龙江龙东地区10分）我市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划为万宝村400户居民修建A、B两种型号的沼气池共24个．出资36万元，其余资金从各户筹集．两种沼气池的型号、修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：

沼气池 A型 B型 修建费用（万元/个） 3 2 可供使用户数（户/个） 20 15 占地面积（平方米/个） 10 8

土地部门只批给该村沼气池用地212平方米，设修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需费用y万元．

（1）求y与x之间函数关系式．

（2）试问有哪几种满足上述要求的修建方案．

（3）要想完成这项工程，每户居民平均至少应筹集多少钱？ 【答案】解：（1）y3x224xx48.

20x1524x400（2）根据题意得， 解得： 8≤x≤10 ．

10x824x212

∵x取非负整数，∴x等于8或9或10 ． 答：有三种满足上述要求的方案： 修建A型沼气池8个，B型沼气池16个； 修建A沼气池型9个，B型沼气池15个； 修建A型沼气池10个，B型沼气池14个． （3）∵y=x+48中k=1＞0，∴ y随x的减小而减小，

∴当x=8时，y最小=8+48=56（万元），

56－36＝20（万元），200000÷400＝500（元）．

∴每户至少筹集500元才能完成这项工程中费用最少的方案．

【考点】1．一次函数的应用；2．一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）由A型沼气池x个，则B型沼气池就是（24﹣x）个，根据总费用=两种不同型号的沼气池的费用之后就可以得出结论．

（2）由A型沼气池x个，则B型沼气池就是（24﹣x）个，就有10x+8（24﹣x）≤212和20x+15（24﹣x）≥400建立不等式组求出其解即可．

（3）根据（1）一次函数的性质可以得出最小的修建方案，求出总费用就可以求出需要增加的费用，从而可以求出每户应自筹资金．

140．（2014年湖北黄冈9分）某地实行医保制度，并规定： 一、每位居民年初缴纳医保基金70元；

二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗为准，年底按表一的方式结算）报销看病的医疗费用．表一：

居民个人当年看病的医疗费用 不超过n元的部分 超过n元但不超过6000元的部分 超过6000元的部分 医疗费用报销办法 全部由医保基金承担（即全额报销） 个人承担k%，其余由医保基金承担 个人承担20%，其余由医保基金承担

设一位居民当年看病的医疗费用为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．

（1）当0≤x≤n时，y=70；当n＜x≤6000时，y= ▲ （用含n、k、x的代数式表示）

（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年看病的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．表二：

居民 个人看病所花费的医费用x（元） 个人实际承担的医疗费用y（元） 70 190 470 A 400 B 800 C 1500

（3）该地居民周大爷2013年看病的医疗费用共32000元，那么他这一年个人实际承担的医疗费用是多少元？

【答案】解：（1）由题意得y0.01kxn70 n＜x6000.

（2）由B、C两人的花销得0.01k800n70190 ，

0.01k1500n70470k40解得 .

n500（3）由题意得：70+（6000-500）×40%+（32000-6000）×20%=70+2200+5200=7470（元）．

答：这一年他个人实际承担的医疗费用是7470元．

【考点】1．阅读理解型问题；2．一次函数的应用；3．二元一次方程组的应用；4．列代数式． 【分析】（1）根据医疗报销的比例，可得答案．

（2）根据B、C两人医疗费用的报销费用，可得方程组，再解方程组，可得答案． （3）根据个人承担部分的费用，可得代数式，可得答案．

141．（2014年湖南怀化10分）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x+2（m﹣2）x+m﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2． （1）若

2

2

1111，求的值； x1x232mmx1mx2m2的最大值． 1x11x2（2）求

【考点】1．一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；2．解分式方程；3．二次根式化简；4．二次函数的最值．

【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．

（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式

的最大值．

142．（2014年湖南湘西12分）湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于3辆．

（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；

椪柑品种 每辆汽车运载量 每吨椪柑获利（元） A 10 800 B 8 1200 C 6 1000

（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；

（3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠，在外地运销客户原有获利不变的情况下，对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？

【答案】解：（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，则装C种椪柑的车辆是15﹣x﹣y辆．

则10x+8y+6（15﹣x﹣y）=120，即10x+8y+90﹣6x﹣6y=120， ∴y与x之间的函数关系式为y=15﹣2x．

x3（2）根据题意得：152x3，解得：3≤x≤6．

15x152x3∴有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆，9辆，3辆或4辆，7辆，4辆或5

辆5辆、2辆、8辆或6辆、3辆、6辆．

（3）W=10×800x+8×1200（15﹣x）+6×1000[15﹣x﹣（15﹣2x）] +120×50=4400x+150000，

根据一次函数的性质，当x=6时，W有最大值，是4400×6+150000=1700（元）． ∴采用A、B、C三种的车辆数分别是：6辆、3辆、6辆．

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）等量关系为：车辆数之和=15，由此可得出x与y的关系式．

（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解． 本题不等量关系为：装运每

种脐橙的车辆数≥3．

（3）总利润为：装运A种椪柑的车辆数×10×800+装运B种椪柑的车辆数×8×1200+装运C种椪柑

的车辆数×6×1000+运费补贴，然后按x的取值来判定．

143．（2014年江苏无锡10分）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．

（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量； （2）求y关于x的函数关系式；

（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？

【答案】解：（1）由题意，得

第2个月的发电量为：300×4+300（1+20%）=1560千瓦， 今年下半年的总发电量为：

300×5+1560+300×3+300×2×（1+20%）+300×2+300×3×（1+20%）+300×1+300×4×

（1+20%）+300×5×（1+20%）

=1500+1560+1620+1680+1740+1800=9900．

答：该厂第2个月的发电量为1560千瓦；今年下半年的总发电量为9900千瓦． （2）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得

kb1500k60 ，解得：.

2kb1560b1440∴y关于x的函数关系式为y=60x+1440（1≤x≤6）． （3）设到第n个月时ω1＞ω2，

当n=6时，ω1=9900×0.04﹣20×6=276，ω2=300×6×6×0.04=432，ω1＞ω2不符合． ∴n＞6．

∴ω1=[9900+360×6（n﹣6）]×0.04﹣20×6=86.4n﹣240，ω2=300×6n×0.04=72n． 当ω1＞ω2时，86.4n﹣240＞72n，解之得n＞16.7，∴n=17． 答：至少要到第17个月ω1超过ω2．

【考点】1．一次函数和不等式的应用；2．由实际问题列函数关系式．

【分析】（1）由题意可以知道第1个月的发电量是300×5千瓦，第2个月的发电量为300×4+300（1+20%），第3个月的发电量为300×3+300×2×（1+20%），第4个月的发电量为300×2+300×3×（1+20%），第5个月的发电量为300×1+300×4×（1+20%），第6个月的发电量为300×5×（1+20%），将6个月的总电量加起来就可以求出总电量．

（2）由总发电量=各台机器的发电量之和根据（1）的结论设y与x之间的关系式为y=kx+b建立方

程组求出其解即可．

（3）由总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用，分别表示出ω1，ω2，再根据条件建立不等式求出

其解即可．学.科.网

144．（2014年江苏扬州12分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖

店又缺少资金． “想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示． 该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应该支付其它费用为106元（不包含债务）．

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元

【答案】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为yk1xb1，由图象可得

40k1b160 k12  ，解得． 58kb24b140111∴y2x140．

当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为yk2xb2，由图象得

58k2b224  ，解得 71kb1122∴yx82，

k21 . b822综上所述：日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为

2x1400＜x58 4. yx82 58x71（2）设人数为a，当x=48时，y=-2×48+140=44，

∴（48-40）×44=106+82a，解得a=3． ∴该店员工的人数为3人．

（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：bx40y82210668400，

∴b68400，

x40y822106当40≤x≤58时， b68400684006840068400380 ； 22x40y8221062x220x58702x55180180当58＜x≤71时，

b684006840068400684002400.

x40y822106x122x3550x612171171综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应

定为55元．

【考点】：1．一次、二次函数和方程、不等式的应用；2．分类思想的应用． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式．

（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．

（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不

等式，可得答案．

145．（2014年山东潍坊12分）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米／小时）是车流密度x（辆／千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O千米/小时；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．

【答案】解：（1）由题意得：当20≤x≤220时，v是x的一次函数，

则可设v=kx+b（k≠0），

由题意得：当x=20时，v=80，当x=220时，v=0

220kb80k∴，解得：5.

220kb0b88

∴当20≤x≤220时，vx88 ． ∴当x=100时，v1008848.

∴当大桥上车流密度为100辆／千米时，车流速度为48千米／小时． （2）当20≤v≤220时，vx88 （0≤v≤80），

2x88>405由题意得：，解得70＜x＜120， 2x88<605252525∴应控制车流密度的范围是大于70辆／千米且小于120辆／千米． （3）①当0≤x≤20时，车流量y1=vx=80x，

∵k=80＞0，∴y1随x的增大面增大．

∴当x=20时，车流量y1的最大值为1600．

22②当20≤x≤220时，车流量y2vxx88xx1104840.

5∴当x=110时，车流量y2取得最大值4840．

∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆／千米，车流量y取得最大值4840辆／小时．

【考点】1．一次函数的的运用；2．一元一次不等式组的运用；3．二次函数的性质的运用；4．待定系数法和分类思想的应用．

【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可．

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可．

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的

性质就可以求出结论．

146．（2014年四川内江12分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 【答案】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：

90100，解得：m=9． mm1经检验，m=9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元． （2）设购进A款汽车x量．则：

99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：≤x≤10．

∴x的正整数解为3，4，5，6，7，8，9，10．∴共有8种进货方案． （3）设总获利为W元．则：

W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a． 当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．

此时，购买A款汽车3辆，B款汽车12辆时对公司更有利．

【考点】1．分式方程的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．一次函数的应用．

【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．

（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．

（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因

为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．

147．（2014年河北省13分）某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分． 探究：设行驶时间为t分

（1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；

（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？，并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数． 发现：如图，游客甲在BC上一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米． 情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车； 情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；

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比较哪种情况用时较多？（含候车时间）

决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA上一点P（不与D，A重合）时，刚好与2号车相遇．

（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；

（2）设PA=s（0＜s＜800）米，若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？

【答案】解：探究：（1）由题意，得y1=200t，y2=-200t+1600．

当相遇前相距400米时， -200t+1600-200t=400，解得t=3； 当相遇后相距400米时， 200t-（-200t+1600）=400，是t=5． 答：当两车相距的路程是400米时t的值为3分钟或5分钟．

（2）由题意，得

1号车第三次恰好经过景点C行驶的路程为：800×2+800×4×2=8000， ∴1号车第三次经过景点C需要的时间为：8000÷200=40分钟． 两车第一次相遇的时间为：1600÷400=4．

第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400=8， ∴两车相遇的次数为：（40-4）÷8+1=5次． ∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为5次．

发现：由题意，得

8004xx16， 2002008004xx16情况二需要的时间为：， 200200xx∵16，∴情况二用时较多． <16200200情况一需要时间为：决策：（1）∵游客乙在AD边上与2号车相遇，∴此时1号车在CD边上．

∴乘1号车到达A的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，

∴乘1号车的用时比2号车少．

（2）若步行比乘1号车的用时少，s8002s，∴s＜320． ＜50200∴当0＜s＜320时，选择步行． 同理可得，

当320＜s＜800时，选择乘1号车， 当s=320时，选择步行或乘1号车一样．

【考点】1．阅读理解型问题；2．一次函数、一元一次方程、一元一次不等式组的应用；3．分类思想的应用．

【分析】探究：（1）由路程=速度×时间就可以得出y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，再由关系式就可以求出两车相距的路程是400米时t的值．

（2）求出1号车3次经过A的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相

遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数．

发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，再进行大小比较就可以求出结论． 决策：（1）根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车的距离小于边长，而成2

号车到A出口的距离大于3个边长，进而得出结论．

（2）分类讨论，若步行比乘1号车的用时少，就有可以分情况得出结论．

148．（2014年区、兵团11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

s8002s，得出s＜320．就＜50200

（1）填空：A，B两地相距 ▲ 千米；

（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？

【考点】1．一次函数和二元一次方程组的应用；2．待定系数法；3．直上点的坐标与方程的关系． 【分析】（1）由题意可知：B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，所以A，B两地相距360+60=420千米．

（2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，进一步设y2与行

驶时间x之间的函数关系式可以设x小时到达C站，列出关系式，代入点求得函数解析式即可．

（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得y1的函数解析式，与（2）中的函数解析式联立方

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