单因素方差分析的计算步骤

假定实验或观察中只有一个因素（因子）A,且A有m个水平，分别记为

A1,A2,Am,在每一种水平下，做n次实验，在每一次试验后可得一实验值，

记做xij表示在第j个水平下的第i个试验值i1,2,n;j1,2,m。结果如下表：

表 单因素方差分析数据结构表 观测值 1 2 水平 为了考察因素A对实验结果是否有显着性影响，我们把因素A的m个水平

A1,A2,Am看成是m个正态总体，而xiji1,2,n;j1,2,m看成是取自第j总

体的第i个样品，因此，可设xij~Naj,2,i1,2,n;j1,2,m。

可以认为ajj,j是因素A的第j个水平Aj所引起的差异。因此检验因素A的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：

H0:a1a2am或者

具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值

令xj表示第j种水平的样本均值，

式中，xij是第j种水平下的第i个观察值，nj表示第j种水平的观察值次数

（二）计算离差平方和

在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。

首先，总离差平方和，用SST代表，则，

x其中xnij,它反映了离差平方和的总体情况。

其次，组内离差平方和，用SSE表示，其计算公式为：

其中xj反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。

最后，组间平方和，用SSA表示，SSA的计算公式为：

用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。

根据证明，SST,SSE,SSA之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：

在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，

即 SSTSSESSA （三）计算平均平方

用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST来说，其自由度为n1，因为它只有一个约束条件，即(xijx)0。对SSA来说，

其自由度是m1，这里m表示水平的个数，SSA反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：

对SSE来说，其自由度为nm，因为对每一种水平而言，其观察值个数为nj，该水平下的自由度为nj1，总共有m个水平，因此拥有自由度的个数为m(nj1)nm。

与离差平方和一样，SST,SSA,SSE之间的自由度也存在着关系，即 这样对SSA，其平均平方MSA为： 对于SSE，平均平方MSE为： （四）方差分析表

由F分布知，F值的计算公式为：

为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表： 表 方差分析表 方差来源 （df） 平均平方F值 离差平方和自由度（SS） 组间 组内 总差异 （五）作出统计判断

对于给定的显着性水平，由F分布表查出自由度为(m1,nm)的临界值F，如果FF，则拒绝原假设，说明因素对指标起显着影响；如果

FF，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显着。

（MS）