立体几何向量法解题的应用研究

空间中平行关系包括空间两直线的平行、直线与平面的平行、平面与平面的平行；空间中的垂直关系包括空间两直线的垂直、直线与平面的垂直、平面与平面的垂直。这些位置关系涉及的判定定理与性质定理是高考中常考的考点，证明空间平行与垂直一般有三种途径：一是定义法；二是判定定理发；三是综合利用各种性质进行转化。在这些方法中如果利用了向量法问题就得到了有效的解决。

在立体几何中，我们还要求空间角（两条直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角）和空间距离（两点间的距离、异面直线之间的距离、点到面的距离、直线和平面的距离以及两平行平面间的距离）。传统的做法是通过性质找到要求的角或距离，加以求解，找到角或距离是重点也是难点。新课程引入了向量，我们可以利用向量法计算空间角、空间距离，开辟了解决这方面问题的新途径，这样往往效果更佳。

现就我用向量法解题的一些体会在这里写出，和广大数学教师和数学爱好者作一探究。用向量法解决立体几何问题，我们常用到直线的方向向量、平面的法向量，直线的方向向量就是在直线上任取两点A、B，向量就是上的一个方向向量；平面的法向量就是所在直线与平面垂直的向量。显然一条直线的方向向量（或一个平面的法向量）有无数多个，它们是共线向量。

1 用向量法判断空间的位置关系（见表1） 2 利用向量求空间角 2.1 求两条异面直线所成的角

设、分别是两条异面直线、的方向向量，与所成角为，则 2.2 求直线与平面所成的角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为 2.3 求二面角的大小

（1）若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角，如图1所示。

（2）设、分别是二面角的两个面、的法向量，则向量与的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小，如图2、3所示。

3 利用空间向量求空间距离

（1）利用，可以求空间中有向线段的长度，即点A、B之间的距离。 （2）异面直线间的距离。

设、分别是两条异面直线、的方向向量，A，B分别是、上的两点，分别与、垂直的非零向量，则与的距离，其中是与异面直线公垂线段CD所在直线方向向量共线的向量，如图4所示。

（3）点面间的距离。

如图5，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离

注：直线到平面的距离和两个平行平面间的距离可以转化为点到面距离。 用空间向量解决立体几何问题的思路。 （1）要解决的问题可用什么向量知识来解决：

（2）所需要的向量是否已知，若未知是否可用已知条件转化成的向量直接表示。

（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最容易用哪些向量表示？这些未知向量与已知条件转化向量有何关系？

（4）怎样对已经表示出来的所需向量进行运算才能得到需要的结论？ 下面我们来看一些相关的问题：

例1：如图6已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且AB=AA1，D、E、F分别为、、的中点，求证：

（1）。 （2）。

证明：建立如图7所示的空间直角坐标写A-xyz， 不妨设AB=AA1=4，则：

，， ，，

（1），平面ABC的一个法向量为 （2）

注：坐标平面xoy面、yoz面、zox面的一个法向量分别为、和。 例2：如图78，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，。 （1）证明：平面SAB。

（2）求AB与平面SBC所成的角的大小。

解：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图9所示 的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。 设。 （1），， 由得 故x=1。 由 又由 即 于是， 故

所以平面SAB。

（2）设平面SBC的法向量， 则 又

故

取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角为。 例3：如图10，已知长方体

直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点。 （1）求异面直线与所成的角。 （2）求平面与平面所成的二面角。 （3）求点到平面的距离。

解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图11示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

（1）因为 所以=

易知异面直线所成的角为

（2）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量， 由

即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（3）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值， 所以距离=所以点到平面的距离为。

例4：如图12，，，，求点到平面ABC的距离。 解：

，即是平面ABC的法向量。

，点H到平面ABC的距离，即在平面ABC的法向量上的投影的绝对值，所以距离

注：若，，，abc0，

则平面ABC的方程为： 则平面ABC的一个法向量为

向量既是代数的，又是几何的，向量在数学中有着广泛的应用，向量与代数，向量与几何，向量与三角等，以上仅对用向量法解析立体几何有关问题进行初步探讨，共同仁教学参考，若有错误敬请斧正。