弹性碰撞习题归类教案

碰撞问题常涉及动量和能量守恒,因此是常选的运动模型。在碰撞中最常涉及的是弹性碰撞, 本节课就从“一动一静”、“两动”弹性正碰两模型来研究。

课前预习：

1. “两动”弹性碰撞（即碰撞前后两物体都具有速度） 设质量为m1的弹性球，速度为v10与质量为m2的弹性球，速度为v20发生碰撞，碰撞后两求的 速度分别为v1、v2，取向右为矢量的正方向。 由系统的动量守恒定律得 ……① 由系统的能量守恒定律得 ……② （以下计算结果要求记忆） 联立解得：v2 v2 ++ m1m2 m1m2 m1m2 m1m2 2. “一动一静”弹性碰撞（即运动物体去碰静止的物体） 设质量为m1的弹性球，速度为v10与质量为m2的弹性球，速度为0发生碰撞，碰撞后两求的 速度分别为v1、v2，取向右为矢量的正方向。 由系统的动量守恒定律得 ……① 由系统的能量守恒定律得 ……② （以下计算结果要求记忆） 联立解得：v2 v2 m1m2 m1m2 特例讨论：

1．两球质量m1=m2 v1= v20 v2= v10 两球速度交换（动量）动能也交换）

2．两球质量m1>>m2 v1= v10 v2= 2v10-v20(如果v20=0，则v2= 2v10，如果列车以30m/s的速度撞上静止的汽车，发生交通事故，假定为弹性碰撞，则汽车将以60m/s的速度飞出，而列车速度不变)

3．两球质量m1<二．例题精讲

1弹性碰撞与匀速运动相结合

两球发生弹性碰撞后，两球所受合外力为零而做匀速直线运动，根据题意，求出相关的物理量。 【例1 】（2007宁夏第30题选考D题）在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动。在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图所示。小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动。小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO。假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m1/m2。 【解析】从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小A B 保持不变。忽略B与墙壁的碰撞时间，

O Q P 设碰撞后小球A和B的速度大小分别为1和2，则它们通过的路程分别为

sAPO1t，sB(PO2PQ)2t，又PQ1.5PO，

解得

2

4 ①A、B在碰转过程中动量守恒、动能守恒 1

m10m11m2 ② 由以上三式得

111m102m112m222 ③ 222m12 . m2【跟踪练习1】（2007山东理综38题⑵问）在可控核反应堆中需要给快中子减速，轻水、重水和石墨等常用作减速剂。中子在重水中可与 21H核碰撞减速，在石墨中与 126C核碰撞减速。上述碰撞可简化为弹性碰撞模型。某反应堆中快中子与静止的靶核发生对心正碰，通过计算说明，仅从一次碰撞考虑，用重水和石墨作减速剂，哪种减速效果更好？

（2）设中子质量为mn，靶核质量为M，由动量守恒定律及动能守恒得

mn0mn1M2 ①

11122mn0mn12M2 ② 222解①、②式得11mnM0 在重水中靶核质量： M2u，10

3mnM110。 13在石墨中靶核质量：M12u ，1可见快中子与重水靶核碰后速度较小，故用重水减速效果较好。

2弹性碰撞与平抛运动相结合

小球碰撞后，其中有球做平抛运动，由平抛运动的知识，可求出初速度，然后列出弹性碰撞方向组，求得有关物理量。

【例2】（2007广东第17题）如图所示，在同一竖直平面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H=2L。小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动。离开斜面有，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O＇与P的距离为L/2。已

O 知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，L 不计空气阻力，求： B （1）球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；

P O´ （2）球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小； C

（3）弹簧的弹性力对球A所做的功。 L/2 【解析】（1）设碰撞后瞬间球B的速度为摆到与悬点O同一高度,根据动能定理: mgL0'B,由于

H A 碰后球B恰好

1'2mB ① 2'所以B2gL ②

（2）球A达到最高点时,只有水平方向速度,与球B发生弹性碰撞.设碰撞前瞬间球A水平方向速度为A，

'碰撞后瞬间球A速度为A,取水平向右为正方向，球A、B系统碰撞过程中动量守恒和动能守恒: '' 2mA2mA ③ mB1112'2'22mA2mA2mB ④ 2221'2gL ⑤ 由②③④解得A432gL ⑥ A4（3）碰后球A作平抛运动,设从抛出到落地时间为t,平抛高度为h,则

L'At ⑦ 212 hgt ⑧

2

设弹簧弹力所做的功为W, 球A从静止位置运动到最高点过程，依据动能定理有

12W2mg(hH)2mA ⑨

2又H2h ⑩

57mgL. 由 ⑤~⑩式解得W82弹性碰撞与圆周运动相结合

小球碰撞后，其中有球做圆周运动或通过圆周运动的最高点，根据初始条件可求出初速度，然后列出弹性碰撞方向组，求得有关物理量。 【例3】（2008赤峰市高中10.30联考试题第15题）如图，内壁光滑的半径为R的圆形轨道，固定在竖

直平面内，质量为ml的小球静止在轨道最低点，另一质量为m2的小球(两小球均可视为质点)从内壁上与圆心0等高处由静止释放，到最低点时与ml发生弹性正磁。求 （1)小球m2运动到最低点时的速度大小。

(2)碰撞后，欲使ml能沿内壁遥动到最高点，则m2／ml应满足什么条件?

R m2

O ml

三．精练四道题

201.【2007海南第19题的（2）问）】一速度为v的高速α粒子（42He）与同方向运动的氖核（10Ne）发

生弹性正碰，碰后α粒子恰好静止。 求碰撞前后氖核的速度

2.【2007全国Ⅱ·理综24（19分）】用放射源钋的α射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态），测得照射后铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为7.0。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假定铍“辐射”中的中性粒子与氢或氮发生弹性正碰，试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量用原子质量单位u表示，1u等于一个12C原子量的十二分之一。取氢核和氮核的质量分别为1.0u和14u。）（直接运用碰撞知识解题）

【解析】设构成铍“副射”的中性粒子的质量和速度分别为m和，氢核的质量为mH。构成铍“辐射”

'的中性粒子与氢核发生弹性正碰，碰后两粒子的速度分别为和H。由动量守恒与动能守恒得 ' ① mm'mHH111'2m2m'2mHH ② 2222m'解得 H ③

mmH'同理，对于质量为mN的氮核，其碰后速度为

'N2m ④

mmN''mNNmHH由③④式可得 m ⑤ ''HN''又 H ⑥ 7.0N将上式与题给数据代入⑤式得 m1.2u

3. 【2006重庆·理综25.(20分)】 (与圆周运动相结合)

如题25图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为

1R,碰撞中无机械能4损失。重力加速度为g。试求： (1)待定系数β;

( 2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。（这一问适合AB班学生，C班优秀学生）

答案（1）由mgR＝

mgRmgR+得 β＝3

44 （2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则

1mgR12mgR2mv1= mv1=

2424 设向右为正、向左为负，解得 v1＝

11gR，方向向左 v2＝gR，方向向右 22 设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为负。则 N

2v2－βmg＝βm N /＝－N＝－4.5mg，方向竖直向下

R（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，则

mv1mv2mV1mV2 1122mgRmVmV1122解得：V1＝－2gR，V2＝0

（另一组：V1＝－v1，V2＝－v2，不合题意，舍去） 由此可得：

当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同 当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同

4（弹性碰撞与匀变速直线运动结合）有一内表面光滑的金属盒，底面长为L=1.2m,质量为m1=1kg,放在水平桌面上，在与水平面间的动摩擦因数为 μ=0.2，在盒内最右端放一个半径为r=0.1m的光滑金属球，质量为m2=1kg,现在盒的左端给盒施加一个水平量I=3N.s，（盒壁厚度 球与盒发生碰撞的时间和能量损失均可忽略不计），g取10m/s2,求：

（1） 金属盒能在地面上运动多远？

（2） 金属盒从开始运动到最后静止所经历时间多长？（质量相等交换速度）

（3） 4. (1)由于冲量作用，m1获得的速度为v=I/m1=3m/s，金属盒所受摩擦力为F=μ（m1+m2）g=4N，

由于金属盒与金属球之间的碰撞没有能量损失，且金属盒和金属球的最终速度都为0，以金属盒和金属球为研究对象，由动能定理得：

1m1v2 解得：s=1.125m 2(2)当盒前进s1=1m时与球发生碰撞，设碰前盒的速度为v1,碰后速度为v1/，球碰后速度为v2， Fs0则对盒应用动能定理：Fs111m1v12m1v2， 解得v1=1m/s 由于碰撞过程动量守恒、机22械能守恒，有： 联立以上方程得：v1/=0,v2=1m/s.………………………………………（2分）

（4） 当球前进1m时与盒发生第二次碰撞，碰撞前球的速度为1m/s，盒子的速度为0，碰撞后球的

速度为0，盒子的速度变为v2=1m/s，以金属盒为研究对象，利用动能定理得：

Fs2012 ，解得：s2=0.125m. m1v221.2m I 所以不会再与球碰，则盒子运动时间可由动量定理给出：

设盒子前进s1=1m所用时间为t1,前进s2=0.125m所用时间为t2,则

-Ft1=m1v1-m1v，-Ft2=0-m1v2，且v1=v2=1m/s… 代入数据得：t1=0.5s , t2=0.25s 在盒两次运动之间还有一段时间t3为小球在运动，t3=s1/v2=1s

（5） 则金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间t=t1+t2+t3=1.75s ……

5.【2007全国Ⅰ·理综24（18分）】自己查阅当年试卷 （适合AB，C班成绩优秀同学） 【2007全国Ⅰ·理综24（18分）】如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。 【解析】设绝缘球m的摆线长度为l，它在下摆过程中 （与金属球M相碰之前）机械能守恒 mgl(1cos60)1m02 ① 2m和M碰撞过程动量及动能同时守恒 m0MV1m1 ② 111m02m12MV12 ③ 222mM900 mM10 解②③得：1“-”说明小球被反弹，而后小球m又以速度1'1和小球M发生碰撞，满足： ' m1MV2m2 ④ 111m1'2m22MV22 ⑤ 222mM'91()20 ⑥ mM10939)0 ，……，归纳得n()n0 ⑦ 10101912m[()n0]2m00.81n ⑧ 2102解之得：2同理有3( 所以第n次碰后小球m的动能Ekn依据题意知：Eknmgl(1cos450) ⑨ 由①⑧⑨式得，0.810.586 ⑩ 当n=1、2时，⑩式不成立； 当n=3时，⑩式成立。 所以，经过3次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。 注：两个球碰后因电磁阻尼作用使系统的机械能不断损耗，而每次碰撞后损耗的机械能等于金属球碰后获得的动能，所以可以分析、讨论金属球累计获得的动能EkM，只要满足下式即可：nEkMmgl(cos45cos60)……（1）。具体解法如下：由②③式可得V1992V220,同理可得V330,……，金属球累计获得的动能1010EkM1992m00.19[1()2()421010n10,由④⑤式等得10]，整理并虑及①式得EkM1mgl(10.81n)……（2），2由（1）、（2）式亦可得0.810.586。

6.【2007重庆·理综25（20分）】自己查阅当年试卷 （适合A班，B班成绩优秀同学）

【例3】（重庆第25题）某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1).将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……

所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s2)

(1)设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为vn,求n+1号球碰撞后的速度.

(2)若N＝5,在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16h(16 h小于绳长)，问k值为多少？

(3)在第（2）问的条件下，悬挂哪个球的绳最容易断。为什么？

、vn1,取水平向右为正方向，据题意有n号球 解：(1)设n号球质量为m,n+1，碰撞后的速度分别为vn与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1kmn

1 ① 根据动量守恒，有mvvnmvEkmnvn根据机械能守恒，有

112122mnvn=mnvnkmnvn1 ② 2221由①、②得vn2En10舍去) (vnk1设n+1号球与n+2号球碰前的速度为En+1

1 据题意有vn-1=vn1=得vn-1=vn2En ③ 1k（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1,由机械能守恒定律有

m1gh1m1v12 ④ 2v1=2gh ⑤ 同理可求，5号球碰后瞬间的速度

v52g16k ⑥ 2k2由③式得vn1v1 ⑦

1k1kN=n=5时，v5=vn1n2v1 ⑧ 1kn由⑤、⑥、⑧三式得

k=210.414(k21舍去) ⑨

（3）设绳长为l,每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有

2vnFmngmn ⑩

l22vnmnvn/22mng2mngEkn ⑾ 则Fmngmnlll⑾式中Ekn为n号球在最低点的动能

由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据⑾式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断.