《数字信号处理》第三版课后答案

西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案

1.2 教材第一章习题解答

1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解：

x(n)(n4)2(n2)(n1)2(n)(n1)2(n2)4(n3) 0.5(n4)2(n6)

2n5,4n12. 给定信号：x(n)6,0n4

0,其它（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3）令x1(n)2x(n2)，试画出x1(n)波形； （4）令x2(n)2x(n2)，试画出x2(n)波形； （5）令x3(n)2x(2n)，试画出x3(n)波形。 解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）

x(n)3(n4)(n3)(n2)3(n1)6(n) 6(n1)6(n2)6(n3)6(n4)

（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

3（1）x(n)Acos(n)，A是常数；

78（2）x(n)e解：

1j(n)8。

1

3214（1）w7w31216，这是无理数，因此是非周期序列。 （2）w,8w,，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)； （3）y(n)x(nn0)，n0为整常数； （5）y(n)x(n)；

n2（7）y(n)解：

x(m)。

m0（1）令：输入为x(nn0)，输出为

y(n)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y(nn0)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y(n)''

故该系统是时不变系统。

y(n)T[ax1(n)bx2(n)] ax1(n)bx2(n)2(ax1(n1)bx2(n1))3(ax1(n2)bx2(n2))

T[ax1(n)]ax1(n)2ax1(n1)3ax1(n2) T[bx2(n)]bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2) T[ax1(n)bx2(n)]aT[x1(n)]bT[x2(n)]

故该系统是线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

'令输入为x(nn1)，输出为y(n)x(nn1n0)，因为

y(nn1)x(nn1n0)y(n)

'故延时器是一个时不变系统。又因为

T[ax1(n)bx2(n)]ax1(nn0)bx2(nn0)aT[x1(n)]bT[x2(n)]

故延时器是线性系统。 （5）y(n)x(n)

2 2

令：输入为x(nn0)，输出为y'(n)x2(nn0)，因为

y(nn0)x(nn0)y(n)

2'故系统是时不变系统。又因为

T[ax1(n)bx2(n)](ax1(n)bx2(n))222 aT[x1(n)]bT[x2(n)] ax1(n)bx2(n)因此系统是非线性系统。

n（7）y(n)x(m)

m0n'令：输入为x(nn0)，输出为y(n)x(mnm00)，因为

nn0y(nn0)m0x(m)y(n)

'故该系统是时变系统。又因为

nT[ax1(n)bx2(n)](ax(m)bx1m02(m))aT[x1(n)]bT[x2(n)]

故系统是线性系统。

6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 （1）y(n)1NN1x(nk)；

k0nn0（3）y(n)knn0x(n)x(k)；

（5）y(n)e。

解：

（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M，则y(n)M，因此系统是稳定系统。

nn0（3）如果x(n)M，y(n)knn0x(k)2n01M，因此系统是稳定的。系统是非因

果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)M，则

y(n)e

x(n)ex(n)eM，因此系统是稳定的。

3

7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解：

解法（1）:采用图解法

y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)

m0图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

x(n)(n2)(n1)2(n3)h(n)2(n)(n1)12(n2)

因为

x(n)*(n)x(n)x(n)*A(nk)Ax(nk)

y(n)x(n)*[2(n)(n1)12(n2)]所以

2x(n)x(n1)12

x(n2)将x(n)的表达式代入上式，得到

y(n)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2) 4.5(n3)2(n4)(n5)

8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出

y(n)。

（1）h(n)R4(n),x(n)R5(n)；

（2）h(n)2R4(n),x(n)(n)(n2)；

n（3）h(n)0.5u(n),xnR5(n)。

解：

（1）y(n)x(n)*h(n)mR4(m)R5(nm)

先确定求和域，由R4(m)和R5(nm)确定对于m的非零区间如下：

0m3,n4mn

4

根据非零区间，将n分成四种情况求解： ①n0,y(n)0

n②0n3,y(n)1n1

m03③4n7,y(n)mn418n

④7n,y(n)0 最后结果为

0, n0,n7y(n)n1, 0n3

8n, 4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）

y(n)2R4(n)*[(n)(n2)]2R4(n)2R4(n2) 2[(n)(n1)(n4)(n5)]

y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）

y(n)x(n)*h(n) mR5(m)0.5nmu(nm)0.5nmR5(m)0.5mu(nm)

y(n)对于m的非零区间为0m4,mn。 ①n0,y(n)0

n②0n4,y(n)0.5n0.5m0mm10.5n1110.5510.5(10.5nn1)0.520.5

nn4③5n,y(n)0.5nm00.510.510.50.5310.5

nn最后写成统一表达式：

y(n)(20.5)R5(n)310.5u(n5)

nn11. 设系统由下面差分方程描述：

y(n)12y(n1)x(n)12x(n1)；

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

5

解：

令：x(n)(n)

h(n)12h(n1)(n)12(n1) 12n0,h(0)n1,h(1)n2,h(2)n3,h(3)1212h(1)(0)12(1)1h(0)(1)h(1)12(0)1

12112h(2)()22归纳起来，结果为

1n1h(n)()u(n1)(n)

212. 有一连续信号xa(t)cos(2ft),式中，f20Hz,（1）求出xa(t)的周期。

2

a(t)的表达式。 （2）用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号xa(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形，并求出x(n)的周期。 （3）画出对应x

————第二章————

教材第二章习题解答

1. 设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(nn0)； （2）x(n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：

jwjw（1）FT[x(nn0)]nx(nn0)ejwn

6

令n'nn0,nn'n0，则

FT[x(nn0)]jwnnx(n)e'jw(nn0)'ejwn0X(ejw)

（2）FT[x(n)]*nx(n)e*[nx(n)ejwn*]X(e*jw)

（3）FT[x(n)]nx(n)ejwn

令n'n，则

jwn'FT[x(n)]n'x(n)e'X(ejw)

（4）FT[x(n)*y(n)]X(e)Y(e)

jwjw证明：x(n)*y(n)mx(m)y(nm)

FT[x(n)*y(n)][nmx(m)y(nm)]ejwn

令k=n-m，则

FT[x(n)*y(n)] [kmx(m)y(k)]ejwkjwkejwnky(k)ejwmx(m)ejwn

X(e)Y(ejw)2.已知X(ejw1,ww0)

0,ww0求X(e)的傅里叶反变换x(n)。 解：x(n)12jww0w0ejwndwsinw0nn

3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)H(ejw)ej(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)Acos(w0n)的稳态响应为

y(n)AH(ejw)cos[w0n(w0)]。

7

解：

假设输入信号x(n)ejw0n，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为

jw0njw0(nm)jw0njw0mjw0y(n)h(n)*x(n)mh(m)eemh(m)eH(e)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

x(n)Acos(w0n)y(n) 1212A[eeA[eejjjw0n12A[e)e)ejw0nejejw0nej]H(ejw0jejw0nH(ejjw0)]H(ejw0

)ej(w0)jw0nH(ejw0j(w0)eejw0n]上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，

H(ejw)H(e12jw),(w)(w))[eejjw0ny(n)AH(ejw0jw0ej(w0)ejejw0nej(w0)]

AH(e)cos(w0n(w0))1,n0,1(n)，画出x(n)和4.设x(n)将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x0,其它(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数xX(k)和傅里叶变换。

解：

(n)的波形如题4解图所示。 画出x(n)和x3j24kn1j2(k)DFS[x(n)]Xjn0j(n)exken0kn1ej2k4 ek(ej4k4e)2cos(4k)ej4,

k(k)以4为周期，或者 X1jk21jk41jk21jk41jk21jk4(k)X1en0j2kn1e1ejkj2kee(e(eee))ejk41sinsin1214k,

k(k)以4为周期 X 8

24X(ejw(n)])FT[xk(k)(w2k)X4 2k(k)(wk)X2

2k)jw kcos(jw4k)ej4k(w5.设如图所示的序列x(n)的FT用X(e)表示，不直接求出X(e)，完成下列运算： （1）X(e)；

j0（2）

X(ejw)dw；

（5）解：

X(ejw)dw

27（1）X(e)j0n3x(n)6

（2）

X(ejw)dwx(0)24

（5）

X(ejw)dw227n3x(n)228

6.试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)12(n1)(n)12(n1)；

n（3）x3(n)au(n),0a1

解： （2）

X2(ejw)nx2(n)e12(ejwjwn12ejw112ejw

1ejw)1cosw（3）X3(e)7.设:

jwnau(n)enjwnn0aenjwn11aejw

（1）x(n)是实偶函数，

9

（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解：

令X(e)jwnx(n)ejwn

（1）x(n)是实、偶函数，X(e)两边取共轭，得到

jwnx(n)ejwn

X(e*jw)nx(n)ejwnnx(n)ej(w)nX(ejw)

因此X(e)X(ejw*jw)

jw上式说明x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质。

jwX(e)nx(n)ejwnnx(n)[coswnjsinwn]

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

nx(n)sinwn0

因此X(e)jwnjwx(n)coswn

该式说明X(e)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质，即

X(ejwjwjw)X(e*jw)

X(ejw)nx(n)ejwnnx(n)[coswnjsinwn]

由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么

nx(n)coswn0

因此X(e)jjwnx(n)sinwn

10

这说明X(e)是纯虚数，且是w的奇函数。

10.若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)1cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解：

HR(ejwjwjw)1cosw112ejw12ejwFT[he(n)]nhe(n)ejwn12,n1he(n)1,n01,n120,n01,n0h(n)he(n),n01,n12h(n),n00,其它ne

H(ejw)nh(n)ejwn1ejw2ejw/2cosw212.设系统的单位取样响应h(n)au(n),0a1，输入序列为x(n)(n)2(n2)，完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解：

（1）

y(n)h(n)*x(n)au(n)*[(n)2(n2)] au(n)2ann2nnu(n2)

（2）

X(eH(eY(ejw))n[(n)2(n2)]ejwn12ej2wjwnau(n)ejwnjwnn0aenjwn11aejw

jw)H(e)X(ejw)12ej2wjw1ae13.已知xa(t)2cos(2f0t)，式中f0100Hz，以采样频率fs400Hz对xa(t)进行采

a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： 样，得到采样信号x

11

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j)；

a(t)和x(n)的表达式； （2）写出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 （3）分别求出x解：

（1）

Xa(j) xa(t)e(ej0tjtdt)e2cos(0t)edtjtdt

ej0tjt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以 表示成：

Xa(j)2[(0)(0)])

ˆa(t)（2）xnxa(t)(tnT)n2cos(0nT)(tnT)

x(n)2cos(0nT), n 02f0200rad,T1fs2.5ms

（3）

ˆ(j)Xa 1T2TkXa(jjks)

[(0ks)(0ks)]k式中s2fs800rad/s

X(ejw)nx(n)e[ejw0njwnn2cos(0nT)ejwnjwnn2cos(w0n)ejwn

nejw0n]e2k[(ww02k)(ww02k)]式中w00T0.5rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

14.求以下序列的Z变换及收敛域： （2）2u(n1)；

n 12

（3）2u(n)； （6）2[u(n)u(n10)] 解：

nn（2）（3）

ZT[2nu(n)]n2nu(n)znn02nzn1121z1,z12

ZT[2nu(n1)]n2nu(n1)z112z11nn12nzn2n1nzn 2z12z,z12

（6）

9ZT[2nu(n)u(n10)]2n0nzn 12101z101

,0z12z216.已知:

X(z)1312z112z1

求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。

解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z0.5时，

12x(n)jzcX(Z)zn1dz

令F(z)X(z)zn157z11n11(10.5z)(12z)5z7(z0.5)(z2)z

nn0，因为c内无极点，x(n)=0；

n1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z10.5,z22，那么

13

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2] (5z7)zn(z0.5)(z2)(z0.5)z0.5(5z7)zn(z0.5)(z2)(z2)z2

1nn [3()22]u(n1)2（2）当收敛域0.5z2时，

(5z7)znF(z)n0，C内有极点0.5；

(z0.5)(z2)

1nx(n)Res[F(z),0.5]3()

2n0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一

个，即2，

x(n)Res[F(z),2]22u(n1)

nn最后得到x(n)3()u(n)22u(n1)

n12（3）当收敛域2z时，

(5z7)znF(z)n0，C内有极点0.5，2；

(z0.5)(z2)

1nnx(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]3()22

2n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到

1nnx(n)[3()22]u(n)

217.已知x(n)au(n),0a1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(n)的z变换。 解：

nn 14

（1）X(z)ZT[au(n)]nnau(n)znn11az1,za

（2）ZT[nx(n)]zddzX(z)az112(1az),za

（3）ZT[au(n)]nn0anznn0aznn11az,za1

18.已知X(z)3z25z112z2，分别求：

（1）收敛域0.5z2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z2对应的原序列x(n)。 解：

x(n)12j11cX(z)zn1dz

F(z)X(z)zn13z25z2z2zn13zn2(z0.5)(z2)

（1）当收敛域0.5z2时，n0，c内有极点0.5，

x(n)Res[F(z),0.5]0.52nn,n0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

x(n)Res[F(z),2]2,

n最后得到

x(n)2nu(n)2u(n1)2nn

（2（当收敛域z2时，

n0,c内有极点0.5,2,

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]

0.5nn3znn2(z0.5)(z2)(z2)z20.52

n0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,

15

因此x(n)0, 最后得到

x(n)(0.52)u(n)

nn25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)au(n),h(n)bu(n),0a1,0b1，

nn试：

（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：

（1）用卷积法求y(n)

y(n)h(n)x(n)mbu(m)amnmu(nm)，n0,

nnnmy(n)am0bmanam0mbman1an1bn11ab1an1bn1ab，n0，y(n)0

最后得到

y(n)an1bn1abu(n)

（2）用ZT法求y(n)

X(z)11az1,H(z)11bz1

Y(z)X(z)H(z)11az1bz11y(n)12jcY(z)zn1dz

令F(z)Y(z)zn1zn111az11bzzn1(za)(zb)

n0,c内有极点a,b

y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),b]an1abbn1baan1bn1ab

因为系统是因果系统，n0,y(n)0，最后得到

16

y(n)an1bn1abu(n)

28.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

HR(ejw)1acosw1a2acosw2,a1

求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解：

HR(ejwjw)1acosw1a2acosw10.5a(zz)1210.5a(e2jwjwejw))1aa(e10.5a(e1ejw

jwHR(z)1aa(zz)21ejw)(1az)(1az)

求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。

he(n)12HjcR(z)zn1dz

F(z)HR(z)zn10.5azz0.5aa(za)(za)12zn1

1因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：azan1时，c内有极点a,

he(n)Res[F(z),a]0.5azz0.5aa(za)(za)12。

zn1(za)za12a

nn=0时，c内有极点a,0，

F(z)HR(z)zn10.5azz0.5aa(za)(za)12z1

所以

he(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]1

又因为

he(n)he(n)

所以

17

1,n0nhe(n)0.5a,n0

n0.5a,n01,n0he(n),n0nnh(n)2he(n),n0a,n0au(n)

0,n00,n0H(ejw)n0aenjwn11aejw

3.2 教材第三章习题解答

1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0nN1内,序列定义为 （2）x(n)(n)；

（4）x(n)Rm(n),0mN； （6）x(n)cos(2Nnm),0mN；

（8）x(n)sin(w0n)RN(n)； （10）x(n)nRN(n)。 解：

N1N1knN（2）X(k)(n)Wn0(n)1,kn00,1,,N1

N1（4）X(k)Wn0knN1WkmNkN1WejNk(m1)sin(sin(Nmk),k0,1,,N1 m)N12N1en0j2N(mk)n12N1en0j2N(mk)n22j(mk)Nj(mk)N11eN1eN22j(mk)j(mk)2NN1e1e

1,km且kNmN,0,km或kNm0kN1 18

2N2N2N2knmnWN（6）X(k)cosNn0N1N1n012(ejmnejmn)ejkn

（8）解法1 直接计算

x8(n)sin(w0n)RN(n)12jejw0nejw0nRN(n)

N1X8(k)x(n)Wn0knN12jen0N1jw0nejw0nej2Nkn

12jN1n02j（w0）nj（w02）n1NNee2jjwNjwN1e01e022j(w0k)j(w0k)NN1e1e 解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为

x7(n)ejw0nRN(n)cos(w0n)jsin(w0n)RN(n)

x8(n)sin(w0n)RN(n)Imx7(n)

所以

DFTjx8(n)12DFTjImx7(n)X70(k)

即

X8(k)jX(k)j70X7(k)X7(Nk)

jwNjwN1e01e01()22j(w0k)j(w0(Nk)2j2jNN1e1e1jwNjwN1e01e0()22j(wk)j(wk)00NN1e1e结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。

（10）解法1

N1X(k)nWn0knNk0,1,,N1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)nRN(n)

所以x(n)x((n1))NRN(n)N(n)RN(n) 等式两边进行DFT得到

X(k)X(k)WNNN(k)

k 19

故X(k)N[(k)1]1WkN,k1,2,N1

当k0时，可直接计算得出X（0）

N1N1X(0)n0nWNnn00N(N1)2

这样，X（k）可写成如下形式：

N(N1),k02X(k)

N,k1,2,N1k1WN解法2

k0时，

N1X(k)n0nN(N1)2

k0时，

X(k)0WN2WN3WN(N1)WNkn2k3k4kN1N1knNk2k3k(N1)k(N1)kWNX(k)0WN2WN3WN(N2)WNX(k)WknN(N1)

X(k)Wn1(N1)WN1(N1)Nn0kn所以，

X(k)N1WkN,k0

即

N(N1),k02X(k)

N,k1,2,N1k1WN2.已知下列X(k)，求x(n)IDFT[X(k)]; Nj2e,kmNj（1）X(k)e,kNm;

20,其它k 20

Njje,km2Njje,kNm （2）X(k)20,其它k解： （1）

x(n)IDFT[X(k)]1e2j(2Nmn)j(2N1NN1Wn0knN1NeN2jej2NmnN2ejej2N(Nm)n

emn)2mn),cos(Nn0,1,N1（2）

x(n)1NNj(Nm)njmn jeWeWNNN2222j(mn)1j(Nmn)2Neesin(mn),2jNn0,1,N1

3.长度为N=10的两个有限长序列

1,0n41,0n4x1(n)x2(n)

0,5n91,5n9作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)。 解：

x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。

14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:

x(n)0,n0,8ny(n)0,n0,20n

对每个序列作20点DFT,即

X(k)DFT[x(n)],k0,1,,19Y(k)DFT[y(n)],k0,1,,19

如果

F(k)X(k)Y(k),k0,1,,19f(n)IDFT[F(k)],k0,1,,19

21

试问在哪些点上f(n)x(n)*y(n)，为什么？ 解：

如前所示，记f(n)x(n)*y(n)，而f(n)IDFT[F(k)]x(n)y(n)。fl(n) 长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为

f(n)mfl(n20m)R20(n)

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)fl(n)所以

f(n)fl(n)x(n)y(n),7n19

15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：

（1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；

（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：

（1）已知F50HZ

Tpmin1F1500.02s

（2）Tmax1fmin12fmax121030.5ms

（3）NminTpT0.02s0.510340

（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）

Nmin0.04s0.5ms80

18. 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n) 22

中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出y(n)。 （1）求V； （2）求B；

（3）确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解：

为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，…,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。

下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道

ym(n)rylm(n128r)R128(n)

因为ylm(n)长度为

N+M-1=50+100-1=149

所以从n=20到127区域，ym(n)ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论

V=49,B=51

选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。

5.2 教材第五章习题解答

1. 设系统用下面的差分方程描述：

y(n)34y(n1)18y(n2)x(n)13x(n1)，

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解：

y(n)3434y(n1)1818y(n2)x(n)1313x(n1)

将上式进行Z变换

Y(z)Y(z)z1Y(z)z2X(z)X(z)z1

23

1311H(z)134zz118 z2（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。 （2）将H(z)的分母进行因式分解

1H(z)134z131zz118 z21(1121131z)(114 z)1按照上式可以有两种级联型结构：

11312z1(a) H(z)(1z)11(1141314z)1

画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示

1(112z)11(1z1(b) H(z) z)1画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示 （3）将H(z)进行部分分式展开

1H(z)(112113z1z)(114 z)1H(z)zz(zz12131314)Az12Bz14

)(zA(z12)(z14(z)12z)12103

24

1314)10H(z)z3z12zB(z12(z1)(z4z73z14)1473

10H(z)3zz1273zz14110312z13 111z47根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。 2. 设数字滤波器的差分方程为

y(n)(ab)y(n1)aby(n2)x(n2)(ab)x(n1)abx(n)，

试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解：

将差分方程进行Z变换，得到

Y(z)(ab)Y(z)z1abY(z)z2X(z)z2(ab)X(z)z11abX(z)

H(z)Y(z)X(z)ab(ab)z1(ab)z1z22abz

（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。 （2）将H(z)的分子和分母进行因式分解：

(az)(bz)(1az)(1bz)1111H(z)H1(z)H2(z)

按照上式可以有两种级联型结构：

(a) H1(z)z1a11azz1

H2(z)b11bz

画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。 (b) H1(z)z1a11bzz1

H2(z)b11az

25

画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。 3. 设系统的系统函数为

H(z)4(1z)(11.414z(10.5z)(10.9z1111z2)20.18z)，

试画出各种可能的级联型结构。 解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

H(z)H1(z)H2(z)

41z1（1）H1(z)10.5z1，

122H2(z)11.414z10.9z1z0.81z

画出级联型结构如题3解图（a）所示●。 （2）H1(z)11.414z1z1210.5z,

41z10.9z11H2(z)20.81z

画出级联型结构如题3解图（b）所示。

4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d 解：

(d) h(n)h1(n)[h2(n)h3(n)h4(n)]h5(n)

h1(n)h2(n)h1(n)h3(n)h4(n)h5(n)

H(z)H1(z)H2(z)H1(z)H3(z)H4(z)H5(z)

5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解：

(d) H(z)rsinz1rcosz1122rcosz1rsinz2rcosz222

rsinz12rcosz11rz22

2y(n)2rcosy(n1)ry(n2)rsinx(n1)

26

6.写出图中流图的系统函数。图f 解：

214zz1238z22114z121z1(f) H(z)114138 z28．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)(n)(n1)(n4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。 解：

已知频率采样结构的公式为

H(z)(1zN)1NN11Wk04H(k)kNz1

式中，N=5

N1H(k)DFT[h(n)]2jk58jk5h(n)Wn0knN[(n)(n1)(n4)]Wn0knN

1ee,k0,1,2,3,4

它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2 教材第六章习题解答

1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp6kHz，通带最大衰减ap3dB，阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减as3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解：

（1）求阶数N。

Nlgksplgsp

ksp10100.1ap0.1as1110100.32.51130.0562

sp将ksp和sp值代入N的计算公式得

sp21210261032

27

Nlg0.0562lg24.15

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。） （2）求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为

Ha(p)1p3.2361p5.2361p5.2361p3.2361p11(p0.618p1)(p1.618p1)(p1)225432

或Ha(p)

当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

pke12k1j()22N,k0,1,2,3,4

按（6.11）式写出Ha(p)表达式

Ha(p)14

pk)(pk0代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数

Ha(s)。

由于本题中ap3dB，即cp2610rad/s，因此

3Ha(s)Ha(p)ps cc53245cs3.2361cs5.2361cs5.2361cs3.2361cs5423

对分母因式形式，则有

Ha(s)Ha(p)ps c 28

52cc(s0.6180cs22c2)(s1.6180cs)(sc)

如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp3kHz，通带最在衰减速

ap0.2dB，阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减as50dB。求出归一化传输函数

Ha(p)和实际的Ha(s)。

解：

（1）确定滤波器技术指标：

ap0.2dB，p2fp610rad/s as50dB,s2fs2410rad/s

33p1,s（2）求阶数N和：

Nsp4

Arch(k1)Arch(s)

k110100.1as0.1ap111456.65

NArch(1456.65)Arch(4)3.8659

为了满足指标要求，取N=4。

10（2）求归一化系统函数Ha(p)

Ha(p)1N0.1ap10.2171

k14

2N1(ppk1)1.7386(ppk)k1其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下：

pkch()sin((2k1)2N)jch()cos((2k1)2N),k1,2,3,4

29

111Arsh()Arsh()0.5580 N40.21711p1ch(0.5580)sin(p2ch(0.5580)sin(p3ch(0.5580)sin(p4ch(0.5580)sin(8)jch(0.5580)cos()jch(0.5580)cos()jch(0.5580)cos()jch(0.5580)cos(3858788385)0.4438j1.0715 )1.0715j0.4438 )1.0715j0.4438 )0.4438j1.0715

878（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)

Ha(s)Ha(p)ps cp44p44

1.7368(sppk)k11.7368(ssk)k1其中skppk610pk,k1,2,3,4，因为p4p1,p3p2，所以

s4s1,s3s2。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数

3全为实数。 Ha(s)7.268710222162

(s2Re[s1]ss1)(s2Re[s2]ss2)7.26871016248248(s1.673110s4.779110)(s4.039410s4.779010)

4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)sa(sa)bb(sa)b2222；

(2)Ha(s)。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变

法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解：

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，

30

解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）Ha(s)sa(sa)b22

Ha(s)的极点为：

s1ajb，s2ajb

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：

Ha(s)sa(sa)b22A1ss1A2ss2

A1(ss2)A2(ss1)(sa)b22(A1A2)sA1s2A2s1(sa)b22

比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程：

A1A21 A1s2A2s1a解之得

A112,A212

所以

2H(z)1ek1AkskTz10.51e(ajb)Tz10.51e(ajb)Tz11Ha(s)122 s(ajb)s(ajb)0.51e(ajb)T2H(z)1ek1AkskTz1z10.51e(ajb)Tz1

按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

H(z)1ze12eaT1aTcos(bT)1cos(bT)z31

e2aTz2

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2）Ha(s)b(sa)b22

Ha(s)的极点为：

s1ajb，s2ajb

将Ha(s)部分分式展开：

11j22Ha(s) s(ajb)s(ajb)H(z)0.5j1e(ajb)Tjz10.5j1e(ajb)Tz1

通分并化简整理得

H(z)ze12eaT1aTsin(bT)1cos(bT)ze2aTz2

5. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）Ha(s)1ss112s3s122；

（2）Ha(s)试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波

器，设T=2s。 解：

（1）用脉冲响应不变法

①Ha(s)1ss12

方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：

3232s10.5j，s20.5j

jHa(s)3332)j3332)

s(0.5js(0.5j 32

jH(z)1e3332)Tjz13332)T

z1(0.5j1e(0.5j代入T=2s

jH(z)1e23333z1j1e133z1(1j3)(1j3)

ze12ze111sin33ez22

cos方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：

Ha(s)b(sa)b22c,c为一常数，

由于

ss1(s212)234(s12)(232)

2所以

Ha(s)1ss12s(s3/212)(232)2233

对比可知，a12,b32，套用公式得

1aTH(z)233233=ze12eaTsin(bT)1cos(bT)z1e2aTz2T=2

12s3s121ze12ze+-1s+1111sin33ez22

cos②Ha(s)s+0.5

-11-ez-T-1H(z)=11-ez-1-111-e-0.5Tz-1+T=2

=+-11-ez-2-1

或通分合并两项得

33

H(z)=(e-e)z-1-2-1-1-2-1-321-(e+e)z+ez

（2）用双线性变换法

①H(z)Ha(s)s21zT1z11

,T2(11z1z1)121z1z11

1(1z)12112112(1z)(1z)(1z)(1z)

12z1z223z

②H(z)Ha(s)s21zT1z11

,T22(11z1z1)3121z1z11 1(1z)2(1z)3(1z12122)(1z)12

12z1z1262z

7. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)Ha(s)H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。

sz1z1，数字滤波器

（1）w0 (低通)； （2）w（高通）；

（3）除0或外的某一频率（带通）。

解：

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按题意可写出

H(z)Ha(s)sz1 z1故

z1z1zejweejwjwsj11cosjw2jcotw w2sin2即

cotw2

原模拟低通滤波器以0为通带中心，由上式可知，0时，对应于w，故答案为（2）。 9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。 解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

wp0.2rad,ap1dBws0.3rad,as10dB

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

pswpTwsT0.21000200(rad/s),ap1dB

0.31000300(rad/s),as10dB（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

Nlgksplgsp

ksp10100.1ap0.1as11sp100.1111013002000.1696

sp1.5

35

Nlg0.1696lg1.54.376

取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：

Ha(p)14

pk)4(pk0p00.3090j0.9511pp10.8090j0.5818p

3p21

将Ha(p)部分分式展开：

4Ha(p)k0Akppk

其中，系数为：

A00.1382j0.4253, A10.8091j1.1135,

A21.8947, A30.8091j1.1135, A40.1382j0.4253

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率c。

cs(100.1as12N1)300(101)110756.566(rad/s)

4Ha(s)Ha(p)psc4sk0cAkcpkssk0Bk

k其中BkcAk,skcpk。

（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：

36

4H(z)1ek04BkskTz,T1ms1013s

k0Bk1e103skz1

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。

9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB之内；频

率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。 解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

wp0.2rad,ap1dBws0.3rad,as10dB

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

pswpTwsT0.21000200(rad/s),ap1dB

0.31000300(rad/s),as10dB（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

Nlgksplgsp

ksp10100.1ap0.1as11sp100.1111013002000.1696

sp1.5

Nlg0.1696lg1.54.376

取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：

Ha(p)14

pk)(pk0 37

p00.3090j0.9511pp10.8090j0.5818p4

3p21

将Ha(p)部分分式展开：

4Ha(p)k0Akppk

其中，系数为：

A00.1382j0.4253, A10.8091j1.1135,

A21.8947, A30.8091j1.1135, A40.1382j0.4253

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率c。

cs(100.1as12N1)300(101)110756.566(rad/s)

4Ha(s)Ha(p)psc4sk0cAkcpkssk0Bk

k其中BkcAk,skcpk。

（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：

4H(z)1ek04BkskTz,T1ms1013s

k0Bk1e103skz1

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，

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所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。

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