一•填空题（共 1小题）
1如图，抛物线 y =x2 - 2x - 3与x轴交于A、 B两点，过 B的直线交抛物线于 E，且 tan . EBA
蚂蚁从 A出发，先以1单位/s的速度爬到线段 BE上的点D处, 再以1.25单位Is的速度沿着 DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从
，有一只
A到E的最短时间是
二.解答题（共 7小题）
2•如图，已知抛物线y =m（x +1）（x -2）（m为常数，且m a 0）与x轴从左至右依次 交
于 A、B两点，与y轴交于点C ,且OA =OC，经过点B的直线与抛物线 的另一交点D在第二象限.
（1）求抛物线的函数表达式.
⑵若• DBA二30，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F ,再沿线段FD以每 秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运 动过程中用时最少？
1 2 1
3 .如图，抛物线 y x mx ■ n与直线y =…_x - 3交于A , B两点，交x轴与D , C两
2 2
第1页（共26页）
点，连接 AC , BC，已知 A(0, 3) , (1) 求抛物线的解析式； (2 )求 tan . BAC 的值；
C(3, 0).
(3)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以
每秒一个单位速度运动到 E点，再沿线段EA以每秒,2个单位的速度运动到 A后停止， 当点E的坐标是多少时，点
M在整个运动中用时最少？
第2页(共26页)
2
4. 如图1抛物线y =ax - (a - 3)x - 3(a - 0)与x轴交于点 A(4, 0),与y轴交于点B ,在x轴 上有一动点E(m , 0)(0 :：: m :：: 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N，交抛物线于点 P，过点P作PM _ AB于点M .
(2)设. ：PMN的周长为C， . AEN的周长为C，若
Ci 6 2
C2
(1 )求a的值和直线 AB的函数表达式;
(3)如图2，在(2)条件下, 将线段0E绕点0逆时针旋转得到
第3页(共26页)
'求m的值; 5
0E •，旋转角为(0「：：： 90 )，
2
5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y =ax bx c的图象经过点A(_1,0) , B(0, - .3), C(2, 0)，其对称轴与 x轴交于点 D
(1 )求二次函数的表达式及其顶点坐标；
1
(2) 若P为y轴上的一个动点，连接 PD，则丄PB PD的最小值为
；
2
(3) M (x, t)为抛物线对称轴上一动点
① 若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点 个；
② 连接 MA， MB ,若.AMB不小于60，求t的取值范围.
第4页(共26页)
共有N
6. 如图，在.SCE中，CA =CE , /CAE二30 ,、0经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上.
(1) 试说明CE是、0的切线；
(2) 若.ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示、0的直径AB ；
1
(3)
设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接0D，当_CD 0D的最小值为6时,
r
£
求.0的直径AB的长.
2
第5页(共26页)
7.如图，在.SCE中，CA =CE , /CAE二30 , 、0经过点C，且圆的直径 上. (1) 证明：CE是、0的切线；
(2) 设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接0D ,当AB =8时，
AB在线段AE
最小值.
c
1
_JCD 0D 的 2
第6页(共26页)
k
&如图，已知抛物线 y (x - 2)(x - 4)(k为常数，且k . 0)与x轴从左至右依次交于
8
A , B D .
两点，与y轴交于点C ,经过点B的直线y =_业x +b与抛物线的另一交点为
3
(1) 若点D的横坐标为 厘，求抛物线的函数表达式； (2)
三角形与AABC相似， 求k的值；
若在第一象限内的抛物线上有点
P，使得以A , B , P为顶点的
(3) 在(1 )的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF , 一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到 F ,再沿线段FD以每秒2个单位的速度 运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时最少？
LC -V 第7页(共26页)
胡不归问题
参考答案与试题解析
一•填空题(共 1小题)
2
1如图，抛物线 y - 2x - 3与x轴交于A、 B两点，过 B的直线交抛物线于
E，且
tan . EBA =4，有一只蚂蚁从 A出发，先以1单位/s的速度爬到线段 BE上的点D处,
3
再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从 A到E的最短时间是 竺
【解答】解：过点E作x轴的平行线，再过 D点作y轴的平行线，两线相交于点 H，如图，EH / / AB，
..HEB =/ABE，
/
y
DH 4 .tan ZHED = tan ZEBA =
EH 3
设 DH 二 4m， EH = 3m，贝U DE = 5m， .蚂蚁从D爬到E点的时间二5x二4(s)
1.25
若设蚂蚁从 D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从 D爬到H点的时「心4m二4(s),
1
.蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从 D爬到H点所用的时间相等，
•蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段 BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度 沿着DE爬到E点所用时间等于它从 A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位
/s速度爬到H点的时间，
作 AG _EH 于 G，贝U AD DH AH AG ,
第8页(共26页)
一 9
■ AD DH的最小值为 AQ的长，
当 y = 0 时，x - 2x - 3 二 0 ,解得 x 二「1 , x 二 3，贝U A(—1,0) ,
1 2
B(3, 0),
第9页(共26页)
第10页（共26页）
r 直线BE交y轴于C2 点，如图，
! y 二 x - 2x — 3 解方程组
中， 4 =CO =4 在Rt.QBC tan . CBO
小
小
OB 3
.OC = 4，则 C(0, 4),
设直线BE的解析式为y = kx b，
3k b = 0
把 B(3, 0)，
C(0, 4)代入得
b = 4
4
k - -4
3 ,
，解得
]b 二 4
.直线BE的解析式为 y == X 4，
x 一 7
Xy；3）或64，则E点坐标为（一[，F
y -
9
64
A爬到G点的时间
1
即蚂蚁从 故答案为
64
匸％），
9
A到E的最短时间为_64 s .
.V
第11页（共26页）
2.如图，已知抛物线y =m（x +1）（x -2）（m为常数，且m > 0）与x轴从左至右依次 交
于 A、B两点，与y轴交于点C ,且OA -OC，经过点B的直线与抛物线 的另一交点D在第二象限.
（1）求抛物线的函数表达式.
⑵若.DBA二30，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF , 一动点M 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F ,再沿线段FD以每 秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运 动过程中用时最少？ 【解答】解：
（1）抛物线y =m（x +1）（x - 2）（m为常数，且m > 0）与x轴从左至右依次交于A、
B两点，
令 y 二 0，解得 x - -1 或 x 二 2， 则 A(-1, 0)，B(2, 0)， OA =OC，
C(0, -1)，
；点 c(0,-1)在抛物线 y =m(x 1)(x - 2) 上,
.m (0
1) (0 - 2) - -1，
1 解得m =_.
2 1
-抛物线的函数表达式为： (2)
DBA 二 30，
y三(x 1)(x - 2)； 2
-设直线BD的解析式为y二-三x b，
3
B(2, 0)，
，
第12页（共26页）
，•” 0 =—上x2 +b，解得 b = 2少，
3
故直线BD的解析式为y 一诗％
联立两解析式可得
y -_(x i)(x - 2)
2
x 一 2、、3 3
解得」
3 2 v3 -3
y =
3
则D（年」，十3）， 如图，过点D作DN _x轴于点N，过点D作DK / / x轴, 贝U KDF -/DBA = 30 .
1
y = -43 x +2后 石V，
过点F作FG - DK于点G，贝U FG三1 DF .
2
1
AF DF，运动时间：t 二 AF 2 DF，
2
■ t =AF FG，即运动的时间值等于折线 AF FG的长度值.
由垂线段最短可知，折线 AF FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线 段.过点A作AH -
DK于点H，贝吐最小二AH , AH与直线BD的交点，即为所求的
占
第13页（共26页）
八、、・
-A点横坐标为-1，直线BD解析式为：y二-
F (-1,、3).
(-1)
综上所述，当点F坐标为(-143)时，点M在整个运动过程中用时最少.
1 2 1
3 .如图，抛物线 y x mx ■ n与直线y x 3交于A , B两点，交x轴与D , C两
2 2
点，连接 AC， BC，已知 A(0, 3)， (1)求抛物线的解析式； (2 )求 tan . BAC 的值；
C(3, 0).
(3)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以 每秒一个单位速度运动到 E点，再沿线段EA以每秒.2个单位的速度运动到 A后停止, 当点E的坐标是多少时，点 M在整个运动中用时最少？
1 汽 9 + 3m +n = 0 解得
■抛物线的解析式为
C(3,0)代入y =丄x2亠mx亠n，得
2
(2)联立
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第15页(共26页)
第16页（共26页）
|x 二 0
（不符合题意，舍） 解得:
3 y =
.点B的坐标为（4,1）.
过点B作BH _x轴于H ,
C(3, 0)，B(4,1)， .BH 二 1 , OC =3 , OH .BH 二CH 二1.
.BHC =90 ,
x 二 4 Jy =1
如图
CH
2
同理： ZACO = 45 *, AC = 3/2 ,
-ZACB =180 - 45 - 45 ' =90 , / BC 、匚 1 2 ： .tan . BAC
AC 3^2 3
ZBCH = 45
, BC = . .
（3）过点E作EN _y轴于N , 在Rt. EN = AE -sin 45 ANE中 2
DE EA M在整个运动中所用的时间为 •点
D关于AC的对称点D •，连接DE , 1 ■- 2 作点
DE EN .
D E =DE , D C =DC ,
. D CA = . DCA = 45
则有
Z D CD =90 , DE EN =D E EN .
2
根据两点之间线段最短可得: 当D、E、N三点共线时， DE EN =D E EN最 小. 此时，
「D CD =./D NO 二/NOC 二 90 ,
.四边形OCD N是矩形，
.ND =0C = 3， ON =D C = DC .
对于 y =J x2 -J x 3，当 y 二 0 时，有 1 x[_ 5 x - 3 二 0 ,
2 2 2 2
解得：xi = 2 , X2 = 3 . .D(2, 0) , OD =2 ,
ON 二 DC 二 OC - OD 二 3 - 2 二 1 , .NE 二AN 二AO -ON = 3 - 1 = 2 ,
.点E的坐标为(2,1).
2
4.如图1,抛物线y =ax - (a - 3)x - 3(a - 0)与x轴交于点 A(4, 0),与y轴交于点B ,在x轴
上有一动点E(m , 0)(0 ::: m ::: 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N，交抛物线于点 P，过点P作PM _ AB于点M . (1 )求a的值和直线 AB的函数表达式； 1 =6，求m的值;
(2) 设.：PMN的周长为C ,
. AEN的周长为C，若
C2 5
1 2
(3) 如图2，在⑵条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE •，旋转角为〉(0 ：：：: ；：：2
E A — E B的最小值.
【解答】解：(1)令y =0 ,则ax2 (a 3)x 3二0 , .(x 1)(ax
3)二 0 ,
第17页（共26页）
90 ),
x 二 _1或 __ ,
a
第18页(共26页)
；抛物线 y =ax - (a - 3)x - 3(a - 0)与x轴交于点
3 --4 a
——丁 ?
2
A(4, 0),
A(4, 0) , B(0, 3),
设直线AB解析式为y =kx • b，贝U b二3
|4k b - 0 k 一3
解得
4 , Jb = 3
3
.直线AB解析式为y = - x 3 .
4
PM _AB , PE _OA , 上 PMN =/AEN ,
.^PNM s MNE , PN 6 ” AN _ 5， ‘ NE / /OB， AN- AE^ ” AB _OA，
5
.AN = —(4 -m)，
4
\"ZPNM =NANE，
'抛物线解析式为
3 2 .9 .
y =—- x 十-x 十 3，
3 丄
3
2 j
3
2
丄9 丄
第19页（共26页）
PN
4
m m ' 3 - ( m ' 3) m ' 3m ,
4
4
4
第20页(共26页)
0E ' = 2 , OM 、0B
3 2 54 m 3m 2
6 = ? 5 4 (4 -m)
解得m =2 .
5 (3)如图2中，在y轴上取一点 M •使得OM = 4，连接AM , 在 AM •上取一点 E使得 3
OE =0E.
*
4
3 = 4 ,
.0E 2 =0M 9B ,
.0E =0B ,
. B0E ■ :ZM 0E ,
0M 0E
.△ M 0E s △ E 0B ,
M E 0E 2 ■ ________ ______
BE 0B 3’
2
.M E =_ BE ,
3 ，此时
2
AE「2_BE
.AE BE ' ^AE E M ： -AM
最小值二AM > 42 - ( 4)2 二4
V 3
3
■.10 .
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y = ax2 bx c 的图象经过点 A(-1,0) , B(0, - 一 3),
C(2, 0)，其对称轴与
x轴交于
点 D
(3) M (x, t)为抛物线对称轴上一动点
第21页（共26页）
第仃页（共26页）
①若平面内存在点N，使得以A , B , M , N为顶点的四边形为菱形，则这样的点
N共有
个;
（2）如图
AB，作2
x
DH _AB于 H，交0B于P ,
2
--x 一― 3 2 (I，
2
、3
a - b c = 0
a 二
1）由题意
c - 7 3
解得
2 -，3
4a 2b c = 0
——-: ------------- ?
2
.抛物线解析式为y =丄
--x 一.、3， 2
(x J ) 2 2
_空).
8
此时」PB
-PD最小.
2
②连接 MA， MB ,若.AMB不小于60，求t的取值范围.
理由：二 OA =1 , OB =.
/ OA 二「3
.tan ZABO 一 OB
,
3
ZABO =30 1
.PH PB ,
2
.1 PB PD 二 PH PD 二 DH ,
备用图
2
1
.此时-PB PD 最短 (垂线段最短).
【解答】解：（
AHD = 90 , AD =3 ,
6
. HAD = 60 2
第23页(共26页)
2
在Rt ADH 中， 1
sin 60 巴
AD
DH ■' 3 , 4
二1 PB +PD的最小值为 冬3 •
2
(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点, 以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点, 线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点, 所以满足条件的点 M有5个，即满足条件的点 N也有5个， 故答案为5.
②如图，Rt. AOB 中， tan . ABO
, OB 3
ZABO = 30
,
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则.AEB二120 , 以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点
G .贝U . AFB =. AGB = 60，从而线段FG上的点满足题意，
F、
AB
EB 2
2_3_, ：
cos30 3
■■ F (丄,t) , EF 2 二 EB2 ,
2
(1 厂(t 3 )2 2
.OE =0B -EB = ?,
3 二(2 3 亍， 3
解得t /39或士歿,
6
6
3
故 F (1 , -2 - - 3 6 - - ■ 39 ) , G(1- , 土 ■ t的取值范围
6
第24页(共26页)
图
1
6.如图，在「ACE中，CA =CE , . CAE二30,9经过点C，且圆的直径 AB在线段AE 上.
(1) 试说明CE是、0的切线；
(2) 若.ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示、一0的直径 AB ;
1
(3)设点D是线段AC上任意一点
(不含端点)，连接0D ,当—CD 0D的最小值为6时，
2
求9的直径AB的长.
1,
第25页(共26页)
CA =CE , . CAE 二 30 ,
. COE = 2 A 二 60
ZE =/CAE = 30 , ..OCE =90 , .CE是、O的切线；
(2)过点C作CH _AB于H，连接OC，如图2,
r
图
2
由题可得CH =h .
在 Rt . QHC 中， CH =OC、sin ZCOH , .h =OCQn 60 OC，
2
.OC
AB = 2OC ^4—. h
(3) 作OF平分.AOC，交、O于F，连接 AF、CF、 DF，
如图3，
贝y . AOF 二.COF =1 . AOC =1 (180 - 60 )二 60 °. 2 2
OA =OF =OC ,
.■ :AOF、 COF是等边三角形，
.AF 二 AO =OC 二 FC , ■四边形AOCF是菱形,
第26页(共26页)
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