教学目的
知识与技能：1.理解实数的概念和意义,并能按要求对实数进展分类.
2.理解实数与数轴上的点一一对应,知道实数的绝对值、相反数的意义,会求数的绝对值和相反数.
过程与方法：通过用类比的方法探究发现实数性质的过程,培养学生类比联想的才能,以及观察、分析、解决问题的才能.
情感态度与价值观：
通过介绍我国古代数学家祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进展爱国主义教育. 教学重难点
【重点】 实数的意义及分类.
【难点】1.实数的分类.2.把无理数在数轴上表示出来. 教学准备
【老师准备】 预设学生在实数分类的过程中会遇到的困难. 【学生准备】 复习有理数和无理数的有关概念和性质. 教学过程 一、导入新课
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导入一:[过渡语] 如今复习一下有理数和无理数的有关知识.
(1)什么是有理数?有理数怎样分类? (2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?
[设计意图] 回忆以前学习过的内容,为进一步学习引入实数的概念做准备.学生主动考虑并积极答复,通过互相补充完善,较为全面地复习了旧知识,通过对有理数分类的复习,使学生进一步明确了分类要按同一标准才能不重不漏.通过举例明确了无理数的表示形式,也为后续判断或者对实数进展分类提供了认知准备. 导入二:如下图,将两个边长为1的正方形分别沿它们
的一条对角线剪开,得到四个全等的等腰直角三角形,即可拼成一个大正方形.容易知道,这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长为√2.你能在数轴上找到表示√2的点吗? 二、新知构建 〔1〕实数的概念
1.把以下各数分别填入相应的集合内.
3
√2,4,√7,π,-2,√2, √3,-√5,-√8, √9,0,0.3737737773……
1520
3
4
(相邻两个3之间的7的个数逐次加1).
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知识整理:有理数和无理数统称为实数,即实数可分为有理数和无理数.
[设计意图] 通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.学生动手填写,并进展小组交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识.
2.你能把上面各数填入下面相应的集合内吗? 无理数和有理数一样,也有正负之分.
[过渡语] 总结一下,实数可以怎样分类呢? 1.从符号考虑,实数可以分为正实数,0,负实数,即: 正实数实数{0
负实数
2.另外从实数的概念也可以进展如下分类: 正有理数
有理数{0
负有理数 实数
正无理数
无理数{
负无理数{
[设计意图] 在实数概念形成的根底上对实数进展不同的分类.上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,此处强调0是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作为一类.提醒学生分类可以
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有不同的方法,但要按同一标准分类才能不重不漏.让学生讨论答复,达成共识.
〔2〕实数的相关概念
1.有理数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么?
2.√2的相反数是什么?√5的倒数是什么?√3,0,-π的绝对值分别是什么?
总结:在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
[设计意图] 从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的.学生类比有理数的相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
【想一想】 (1)a是一个实数,它的相反数为 ,绝对值为 ;
(2)假如a≠0,那么它的倒数为 . 【知识整理】
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0. (2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数).
a1
3
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(3)绝对值:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
a(a>0),
即|a|={0(a=0),
-a(a<0).
[设计意图] 加深学生对相关概念的理解.学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识. （3）实数的运算
[过渡语] 回忆有理数的运算法那么和运算律,比拟一下,在实数范围内,这些运算法那么和运算律是否适用呢?
1.在有理数范围内,能进展哪些运算(如加、减、乘、除、乘方)?适用哪些运算律?
2.判断以下各式是否成立. √2·√5=√5·√2; √3·√5·3
3
1√5=√3·(√5·3
3
1√5)=√3; 4√2+7√2=(4+7)√2=11√2.
总结:实数和有理数一样,可以进展加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法那么和运算律对实数仍然适用.
[设计意图] 从复习入手,类比有理数的运算法那么及运算律,得到有理数的运算法那么及运算律对实数仍然适用.
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（4）实数与数轴上的点的一一对应关系
[过渡语] 我们知道有理数能用数轴上的点表示,那么实数呢? 【议一议】 (1)如下图,OA=OB,数轴上点A对应的数是什么?它介于哪两个整数之间?
(2)你能在数轴上找到√5对应的点吗?与同伴进展交流. 【知识整理】
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. [知识拓展] 1.无理数是指无限不循环小数,并不是带根号的数都是无理数.
2.数的范围从有理数扩大到实数后,要注意有理数与无理数的区别.
三、课堂总结
1.在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
2.实数和有理数一样,可以进展加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法那么和运算律对实数仍然适用.
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3.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
4.在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 四、课堂练习
1.判断以下说法是否正确.
(1)无限小数都是无理数.(2)无理数都是无限小数. 解:(1)不正确. (2)正确.
2.求以下各数的相反数、倒数和绝对值. (1)√-27; (2)√25; (3) √11; (4) 2-√2.
解:(1)√-27=-3,√-27的相反数是3,倒数是-,绝对值是3.
3
3
3
3
1
(2)√25=5,√25的相反数是-5,倒数是,绝对值是5.
5(3)√11的相反数是-√11,倒数是1√111
,绝对值是√11.
1(4)2-√2的相反数是-(2-√2)=√2-2,倒数是2-√2. 五、板书设计
2.6 实 数
1.实数的概念.
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2−√2,绝对值是
2.实数的相关概念. 3.实数的运算.
4.实数与数轴上的点的一一对应关系. 六、布置作业 〔1〕、教材作业
【必做题】教材第39页随堂练习第1,3题,第40页习题2.8第1,2,3. 【选做题】教材第40页习题2.8第4题. 〔2〕、课后作业
【根底稳固】1.以下说法不正确的选项是
( )
A.有理数和无理数统称为实数B.无理数是无限不循环小数 C.无理数包括正无理数、零、负无理数 D.无理数都可以用数轴上的点来表示 2.-√2的倒数是 ( )
A.-√2 B.- C.√2 D. 22
√1√23.以下各组数中,互为相反数的是 ( )
A.-2与- B.|-2|与2 C.-2与√(-2)2 D.-2与√-8 21
3
4.把以下各数分别填在相应的集合里.
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-2,0 ,0.16 ,32 ,0.15,√3,-3√5,3√16,√-0.125 ,3.1415 ,-0.78
··
112𝜋
3
92 ,-√3+√2 .
有理数集合{ …}; 无理数集合{ …}; 正实数集合{ …}; 负实数集合{ …}.
【才能提升】5.如下图,以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以表示2的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,那么点A表示的数是 ( )
A.-√2 B.2-√2 C.1-√2 D.-2
6.一个等腰直角三角形的三角板沿着数轴正方向向前滚动,起始位置如下图,顶点C和A在数轴上的位置表示的实数分别为-1和1.那么当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数
是 . 7.在数轴上作出√13和-√17对应的点.
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【拓展探究】8.如下图,A,B,C三点分别对应数轴上的数a,b,c. (1)化简|a-b|+|c-b|+|c-a|; (2)假设a=
𝑥+𝑦4
,b=-z2,c=-4mn,且满足x与y互为相反数,z是绝对值
最小的负整数,m,n互为倒数,试求98a+99b+100c的值;
(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D,到点A,C的间隔 之和为10,且点D表示整数,并求出所有这些整数的和. 【答案与解析】 1.C 2.B 3.C 4.有理数集合
-2,0 ,0.16 ,32 ,0.15 ,√-0.125 ,3.1415,-0.7892 ,…;无理数集
合√3 ,-√5 ,√16 , -√3+√2 , … ;正实数集合
330.16 ,3 ,0.15 ,√3,√16,3.1415 ,…;负实数集合23
1
π
2
π
11
3
··
-2 ,-3√5 ,√-0.125 , -0.7892 ,-√3+√2 ,… .
5.B(解析: 由勾股定理得正方形的对角线长为√2,设点A表示的数为
12
3
··
x,那么2-x=√2,解得x=2-√2.应选B.)
6.3+2√2(解析: 在等腰直角三角形ABC中,AC=CB=2,根据勾股定理可以得到AB=2√2,那么当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实
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数是3+2√2.故填3+2√2.)
7.解:如下图,点C是√13对应的点,点G是-√17对应的点. 8.解:(1)由数轴可知:a-b>0,c-b<0,c-a<0,所以原式=(a-b)-(c-b)-(c-a)=a-b-c+b-c+a=2a-2c. (2)由题意可知
x+y=0,z=-1,mn=1,所以a=0,b=-(-1)2=-1,c=-4,∴
98a+99b+100c=-99-400=-499. (3)满足条件的点D表示的整数为-7或3,它们的和为-4. 教学反思
本节课作为有理数的扩张,关注前后知识之间的内在联络,关注运用类比的思想学习新的知识,这样学生比拟容易承受.
八年级的学生的认知状况不同,这种借助类比思想学习实数的有关知识,对有些学生来说比拟困难,因为这样的设计使课堂容量增大不少.
根据学生的认知状况,借助类比学习实数的有关知识,假如学生整体认知程度较高,教学过程可以更加开放,在讨论了实数的两个分类标准之后,引导学生尝试自主地进展实数的分类,再进展交流.
教材习题答案
随堂练习(教材第39页)
1.解:(1)不正确. (2)正确. (3)不正确.
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2.解:(1)√7的相反数是-√7,倒数是,绝对值是√7. (2)√-8的相反√713
数是2,倒数是-,绝对值是2. (3)√49的相反数是-7,倒数是,绝对
27值是7. 3.解:如下图.
习题2.8(教材第40页)
··23
1.(1)7.5,4,,√-27,0.31,0.15 3
9
2
··
9
11
(2) √15, √,-π (3)7.5,
17
3
√15,4, √17,3,0.31,0.15 (4)√-27,-π 2.解:(1)-3.8,,3.8. (2)√21,-19
1
1π
√35
1√21,√21.
3103
(3)π,-,π. (4)-√3,,√3. (5)-,,.
10310
3.解:如下图,点A就是-√10对应的点.
4.解:如下图,ΔABC为钝角三角形,且面积为3,AB=AC=√10,BC=6.(答
案不唯一) 素材
-√2的绝对值是 ( )
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A.√2 B.-√2 C. D. - 〔解析〕 |-√2|=√2.应选A.
√22√22
如下图,数轴上A,B两点表示的数分别为√2和5.1,那么
A,B两点之间表示整数的点共有 ( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
〔解析〕 因为1<√2<2,5<5.1<6,所以A,B两点之间表示整数的点所对应的数为2,3,4,5,共有4个.应选C.
[解题策略] 根据数轴的特点把数和点对应起来,也就是把“数〞和“形〞结合起来,二者互相补充,相辅相成,在学习中要注意数形结合思想的应用.
如下图,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,那么数轴上点A表示
的数是 .
〔解析〕 因为OB=√12+12=√2,所以OA=OB=√2,因为点A在数轴上原点的左边,所以点A表示的数是-√2.故填-√2.
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